浙江省紹興魯迅中學(xué) (郵編：312000)

利用杠桿原理解決平面幾何問題

浙江省紹興魯迅中學(xué)徐耀虞關(guān)壽(郵編：312000)

阿基米德說過，“給我一個(gè)杠桿和支點(diǎn)，我可以撬動(dòng)整個(gè)地球.”這里說的就是物理學(xué)中的杠桿原理的威力.不同學(xué)科之間的知識(shí)是可以相通的，把杠桿原理應(yīng)用于某些數(shù)學(xué)問題，可以取得簡潔明快的效果.本文想利用杠桿原理去解決一些平面向量問題.

1 杠桿原理

杠桿原理亦稱杠桿平衡條件，即要使杠桿平衡，作用在杠桿上的兩個(gè)力矩(力與力臂的乘積)大小必須相等，即：動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂(F1·L1=F2·L2).具體解釋如下：

對(duì)于線段AB，將其視為輕質(zhì)杠桿，O為支點(diǎn).如果在AB的端點(diǎn)處分別放置質(zhì)量為m1、m2的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，使杠桿平衡，則有m1·AO=m2·BO，或AO∶OB=m2∶m1.此時(shí)，支點(diǎn)O處所承受的質(zhì)量為mO=m1+m2.

2 杠桿原理在平面幾何中的應(yīng)用

2.1 利用杠桿原理解決平面幾何中的比例問題

例1如圖在△ABC中，已知點(diǎn)P、Q在邊BC上，點(diǎn)G在邊AC上，滿足BP∶PQ∶QC=3∶2∶1，CG∶GA=2∶3，求BE∶EF∶FG.解設(shè)BE,EF,FG的長分別為a,b,c.把線段AC看成杠桿，以G為支點(diǎn)，設(shè)mA=2.

由已知條件CG∶GA=2∶3，得mC=3；再把線段BC看成杠桿，以P為支點(diǎn),由CP∶PB=1∶1，又mC=3，則mB=3；以BG為杠桿，E為支點(diǎn)，由上述結(jié)果可得：BE∶EG=a∶(b+c)，mB=3,mG=mA+mC=5，

①

②

聯(lián)立①②解得：a:b:c=35:15:6，即BE∶EF∶FG=35∶15∶6.

故可設(shè)mE=λ，由杠桿原理得mC=1-λ，mB=3λ.

①

②

因?yàn)镈是BC中點(diǎn)，由杠桿原理知

mB=m，mD=2m.

設(shè)mA=n，以AB為杠桿，F(xiàn)為支點(diǎn)得：

AF·n=BF·m，

以AD為杠桿，E為支點(diǎn)，得

AE·n=DE·2m，

2.2 利用杠桿原理解決平面幾何中的面積問題

說明本題可作以下的推廣

顯然，推廣(1)是推廣(2)的特例，下面我們只需解決推廣(2).

如圖，設(shè)mC=1，以AC為杠桿，D為支點(diǎn)，

說明此例還可推廣到任意比的情形，題設(shè)條件同例題.

2.3 利用杠桿原理解決平面幾何中的不等關(guān)系

①

②

③

把上述①②③三式相加可得：

2.4 利用杠桿原理證明平面幾何中重要定理

例9 (梅涅勞斯Menelauss定理)設(shè)直線l

情況(2)同理可證.

注：利用同樣的方法也可以證明Ceva定理.

2017-03-28)