以點(diǎn)帶面 精彩紛呈

劉媚

【摘要】用“待定系數(shù)法”求二次函數(shù)解析式，用“數(shù)形結(jié)合”“分類討論”的思想復(fù)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)，這種以點(diǎn)帶面的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，能切實(shí)提高復(fù)習(xí)效率。

【關(guān)鍵詞】 二次函數(shù)；知識(shí)發(fā)散；綜合運(yùn)用

二次函數(shù)部分的知識(shí)在中考中占相當(dāng)重要的位置。學(xué)生學(xué)時(shí)覺(jué)得吃力，教師教時(shí)覺(jué)得費(fèi)勁。我在聽(tīng)了一位老教師的“二次函數(shù)復(fù)習(xí)課”后深受啟發(fā)，借鑒這位老師的復(fù)習(xí)過(guò)程，用學(xué)案的形式貫穿課堂，學(xué)生學(xué)得輕松，步步深入，效果甚佳?，F(xiàn)我把這些略加梳理編輯成文，供數(shù)學(xué)同仁們參閱，能提出更完善的建議。

一、導(dǎo)入階段

問(wèn)題一：已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）、C（2，-3），求此二次函數(shù)的解析式，并畫(huà)出它的圖像。

【點(diǎn)評(píng)】用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是必須掌握的基礎(chǔ)題。解決方法有三種：（1）一般式y(tǒng)=ax?+bx+c（a≠0）、（2）頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+h）?+k（a≠0）、（3）兩根式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x?）（a≠0）。選擇哪一種方法必須根據(jù)問(wèn)題的要求而定，而對(duì)于本題來(lái)說(shuō)運(yùn)用兩根式更便捷。

【解】設(shè)所求二次函數(shù)為y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）

y=a（x+1）（x-3）

又過(guò)點(diǎn)c： -3=a（2+1）（2-3）

解之： a=1

∴ 所求二次函數(shù)解析式為y=（x+1）（x-3）

即 y=x?-2x-3

圖像略，但在后面將在此圖像上不斷探究。

二、回顧性質(zhì)

問(wèn)題二：針對(duì)所求的 y=x?-2x-3回顧思考下列問(wèn)題 ①開(kāi)口方向； ②對(duì)稱軸方程； ③頂點(diǎn)坐標(biāo)； ④最大（?。┲?； ⑤增減性。

【點(diǎn)評(píng)】此處可以師生互動(dòng)給出二次函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)說(shuō)明其性質(zhì)取決于兩個(gè)方面，一方面是頂點(diǎn)坐標(biāo)，把上述二次函數(shù)配方得y=（x-1）?-4聯(lián)想到頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+h）?+k（a≠0）能得到對(duì)稱軸方程，頂點(diǎn)坐標(biāo)。另一方面由a決定開(kāi)口方向，最大（小）值和增減性，同時(shí)采用“數(shù)形結(jié)合”“分類討論”的思想解決問(wèn)題將能使學(xué)生更能理解。

【解】把y=x?-2x-3配方成y=（x-1）?-4

① ∵a=1>0 ∴拋物線開(kāi)口向上

②對(duì)稱軸方程為x=1

③頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，-4）

④當(dāng)x=1時(shí)，有最小值為-4

⑤∵a>0 ∴當(dāng)x>1時(shí)，y隨著x的增大而增大

當(dāng)x<1時(shí)，y隨著x的增大而減小

三、知識(shí)發(fā)散

問(wèn)題三：由y=x?-2x-3的圖像，設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為D，頂點(diǎn)坐標(biāo)為P，①求直線BD的解析式；②△APB是等腰三角形嗎？說(shuō)明理由；③△BDP是何形狀的特殊三角形？④△AOD和△BDP相似嗎？說(shuō)明理由；⑤試求四邊形ABPD的面積。

【點(diǎn)評(píng)】二次函數(shù)知識(shí)難在把幾何圖形鑲嵌到直角坐標(biāo)系中，與二次函數(shù)圖像巧妙地結(jié)合在一起。教師必須有層次地把直角三角形、等腰（等邊）三角形、特殊的四邊形、圓等分別量入進(jìn)行分析，能解決基礎(chǔ)性的綜合題。而本題③中還將與勾股定理相結(jié)合，④中相似三角形相結(jié)合，⑤中學(xué)生討論最為熱烈，方法也最多，老師要小結(jié)出最好方法。

【解】①由圖形信息可得點(diǎn)B（3，0） 和D（0，-3）

設(shè)BD的解析式為y=kx+b

∴直線BD解析式為：y=x-3

②∵拋物線是關(guān)于直線x=1成軸對(duì)稱圖形

∴ AP=BP

∴△APB是等腰三角形

③由勾股定理易得：BD?=18 PD?=2 PB?=20

∴BD?+PD?=PB?

∴△BDP是以PB為斜邊的直角三角形

④∵= ==

∴=

∵∠AOD=∠BDP=90?

∴△AOD∽△PBD

⑤S四邊形ABPD=S△OBP+S△ODP+S△AOD

==9

四、綜合運(yùn)用

問(wèn)題四：根據(jù)y=x?-2x-3的圖像，作直線x=a（0

【點(diǎn)評(píng)】針對(duì)本題中求線段EF的最大值，實(shí)際上就是確定點(diǎn)E和F的坐標(biāo)，用縱坐標(biāo)“上減下”的方法就可。

【解】當(dāng)x=a時(shí)，點(diǎn)E（a，a-3）點(diǎn)F（a，a?-2a-3）

EF=（a-3）-（a?-2a-3）=-a?+3a=-（a-）?+

∴當(dāng)a=時(shí)，線段EF最大值為

而△BDF的面積的最大值也迎刃而解

S△BDF=

=

如果學(xué)生學(xué)有余力或可供學(xué)生在課外思考，還可有備用題，如：①在拋物線上取點(diǎn)Q，解使S△ABQ= S△ABD ；②求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、P 三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)。

不妨請(qǐng)你試一下定能有所收獲。