梁彩霞

【摘 要】針對(duì)線性規(guī)劃學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，結(jié)合具體案例，說明了在線性規(guī)劃案例教學(xué)中借助LINGO軟件可省去繁瑣的計(jì)算，提高學(xué)習(xí)效率。

【關(guān)鍵詞】LINGO；線性規(guī)劃；案例教學(xué)

0 引言

運(yùn)籌學(xué)是近幾十年發(fā)展起來的一門新興學(xué)科。它是用數(shù)學(xué)方法研究各種系統(tǒng)最優(yōu)化的學(xué)科。應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)的目的是通過求解系統(tǒng)最優(yōu)化問題，從而為決策者制定合理運(yùn)用人力、物力、財(cái)力的最優(yōu)方案[1]。運(yùn)籌學(xué)已廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運(yùn)輸?shù)雀鱾€(gè)領(lǐng)域。線性規(guī)劃作為運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支，是研究最早、理論較完善、應(yīng)用最廣泛的一個(gè)學(xué)科。它所研究的問題主要包括兩個(gè)方面：一是如何以最低的成本去完成一項(xiàng)確定的任務(wù)；二是如何在現(xiàn)有資源條件下進(jìn)行組織和安排，以產(chǎn)生最大收益。線性規(guī)劃不僅僅是一種數(shù)學(xué)理論和方法，而且已成為現(xiàn)代管理工作中幫助管理者作出科學(xué)決策的重要手段[2]。

傳統(tǒng)的重理論輕實(shí)踐的課堂教學(xué)，使得運(yùn)籌學(xué)這門原本源于應(yīng)用的科學(xué)又遠(yuǎn)離了應(yīng)用。由于教學(xué)中脫離了具體的情景，大部分學(xué)生在學(xué)完了線性規(guī)劃這部分內(nèi)容后，印象就是單純形法很復(fù)雜，對(duì)偶理論很抽象，遇到具體的問題時(shí)都不知該如何“運(yùn)籌”。采用案例教學(xué)以強(qiáng)化實(shí)踐教學(xué)，是當(dāng)下教學(xué)改革的一個(gè)重要方向。由于實(shí)際案例規(guī)模較大，計(jì)算量大且繁瑣且學(xué)生計(jì)算機(jī)編程能力不強(qiáng)，在案例教學(xué)可采用運(yùn)籌學(xué)軟件輔助教學(xué)。

1 LINGO軟件簡(jiǎn)介

目前常用的運(yùn)籌學(xué)軟件有LINGO/LINDO，WINQSB、MATLAB、EXCEL 等。LINGO軟件是美國(guó)的LINDO系統(tǒng)公司（Lindo System Inc）開發(fā)的一套用于求解最優(yōu)化問題的軟件包，可用于求解線性規(guī)劃、二次規(guī)劃和非線性規(guī)劃等問題。由于其輸入模型簡(jiǎn)練直觀；執(zhí)行速度快，計(jì)算能力強(qiáng)；內(nèi)置建模語(yǔ)言，對(duì)編程能力要求不高，便于掌握等優(yōu)點(diǎn)，深受用戶歡迎[1]。

2 案例分析

由于學(xué)生在學(xué)習(xí)線性規(guī)劃時(shí)，普遍感覺公式多，定理多，運(yùn)算復(fù)雜，不能很好地運(yùn)用線性規(guī)劃和對(duì)偶理論來分析、解決實(shí)際問題。下面結(jié)合具體案例，說明線性規(guī)劃及相關(guān)知識(shí)在解決實(shí)際問題時(shí)的應(yīng)用。

案例1[3]某公司正在制造兩種產(chǎn)品，產(chǎn)品I和產(chǎn)品Ⅱ，每天的產(chǎn)量分別是30個(gè)和120個(gè)，利潤(rùn)分別為500元/個(gè)，和400元/個(gè)，公司負(fù)責(zé)制造的副總經(jīng)理希望了解是否可以通過改變這兩種產(chǎn)品的數(shù)量而提高公司的利潤(rùn)。公司各個(gè)車間的加工能力和制造單位產(chǎn)品所需要的加工工時(shí)，如1表所示。

（1）假定生產(chǎn)的全部產(chǎn)品都能銷售出去，確定使得總利潤(rùn)最大的生產(chǎn)方案。

（2）在（1）所求得的最優(yōu)產(chǎn)品組合中.在四個(gè)車間中哪些車間的能力還有剩余？剩余多少？這在線性規(guī)劃中稱為剩余變量還是輪弛變量？

（3）四個(gè)車間能力的對(duì)偶價(jià)格各為多少？即四個(gè)車間的加工能力分別增加一個(gè)加工工時(shí)數(shù)時(shí)能給公司能帶來多少額外的利潤(rùn)

（4）當(dāng)產(chǎn)品I的利潤(rùn)不變時(shí)，產(chǎn)品Ⅱ的利潤(rùn)在什女范圍內(nèi)變化，此最優(yōu)解不變？當(dāng)產(chǎn)品Ⅱ的利潤(rùn)不變時(shí)，產(chǎn)品I的利潤(rùn)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，此最優(yōu)解不變？

（5）當(dāng)產(chǎn)品I的利潤(rùn)從500元降為400元，產(chǎn)品Ⅱ的利潤(rùn)從400元增加為430元時(shí)，原來的最優(yōu)產(chǎn)品組合是否還是最優(yōu)產(chǎn)品組合？如有變化，新的最優(yōu)產(chǎn)品組合是什么？

上述案例是一個(gè)非常典型的企業(yè)的生產(chǎn)管理案例。如果單純用人工計(jì)算來分析這個(gè)案例，計(jì)算非常繁雜，不僅耗時(shí)，而且很容易因計(jì)算錯(cuò)誤得出錯(cuò)誤結(jié)論。引入LINGO軟件來幫助進(jìn)行案例分析，則起到事半功倍的效果。

根據(jù)題意，假設(shè)制造產(chǎn)品1、產(chǎn)品2的數(shù)量分別為x1、x2，在LINGO模型窗口中輸入模型如圖1所示：

從LINGO菜單中選擇Solve按鈕，得

在求解該模型之后，可進(jìn)一步激活靈敏度分析功能，對(duì)模型進(jìn)行靈敏度分析。激活靈敏度分析的方法有兩種，一是運(yùn)行工具欄中依次選擇LINGO—options—General Solver—Dual Com-putations—Prices&Ranges；二是在Window|Command Window窗口中輸入“：range”。靈敏度分析結(jié)果如圖3所示。

結(jié)合線性規(guī)劃求解結(jié)果和靈敏度分析結(jié)果，即可解答案例1中的5個(gè)問題。

（1）圖2的報(bào)告說明：運(yùn)行1步找到全局最優(yōu)解，目標(biāo)函數(shù)值為103000，變量值分別為x1=150，x2=70。即制造產(chǎn)品I150個(gè)，產(chǎn)品Ⅱ70個(gè)為最優(yōu)生產(chǎn)方案，此時(shí)可獲得最大利潤(rùn)103000元。

（2）“Row”是輸入模型中的行號(hào)，目標(biāo)函數(shù)是第一行；“Slack or Surplus”的意思是松弛或剩余，即約束條件左邊與右邊的差值，對(duì)于“？燮”的不等式，右邊減左邊的差值為Slack（松弛），對(duì)于“？叟”的不等式，左邊減的右邊差值為Surplus（剩余），當(dāng)約束條件兩邊相等時(shí)，松弛或剩余的值等于零。由圖2報(bào)告中Row2、 Row4的“Slack or Surplus”均為0，，表明制造產(chǎn)品I150個(gè)，產(chǎn)品Ⅱ70個(gè)市，車間1、車間3的生產(chǎn)能力已經(jīng)飽和；報(bào)告中Row3、 Row5的“Slack or Surplus”分別為“330，15”，，表明制造產(chǎn)品I150個(gè)，產(chǎn)品Ⅱ70個(gè)時(shí)，車間2、車間4的生產(chǎn)能力分別剩余330小時(shí)和15小時(shí)，是松弛變量。

（3）“Dual Price”的意思是對(duì)偶價(jià)格，由圖2的求解結(jié)果表明，四個(gè)車間的對(duì)偶價(jià)格分別為50，0，200，0。即四個(gè)車間的加工能力分別增加一個(gè)加工工時(shí)數(shù)時(shí)能給公司能帶來額外利潤(rùn)分別是50元，0元，200元，0元。

（4）靈敏度分析報(bào)告表明，當(dāng)產(chǎn)品I的利潤(rùn)不變時(shí)，要使最優(yōu)解不變，產(chǎn)品Ⅱ的利潤(rùn)允許增加量（Allowable Increase）為100，允許減少量（Allowable Decrease）為400，從而有產(chǎn)品Ⅱ的利潤(rùn)應(yīng)在（400-400，400+100）內(nèi)變化；同樣可得，當(dāng)產(chǎn)品Ⅱ的利潤(rùn)不變時(shí)，產(chǎn)品I的利潤(rùn)在（400，+∞）范圍內(nèi)變化時(shí)，此最優(yōu)解不變。

（5）LINGO中線性規(guī)劃的靈敏度分析結(jié)果都是基于“其他系數(shù)保持不變，只有一個(gè)系數(shù)發(fā)生變化”這樣一個(gè)重要假設(shè)的。兩個(gè)價(jià)值系數(shù)同時(shí)變化的情況可在LINGO的靈敏度分析的基礎(chǔ)上，用百分之一百法則[3]進(jìn)行分析。當(dāng)產(chǎn)品I的利潤(rùn)從500元降為400元，產(chǎn)品Ⅱ的利潤(rùn)從400元增加為430元時(shí)，經(jīng)計(jì)算，得c1的允許減少百分比為：×100%=25%；c2的允許增加百分比為：×100%=43%。25%+43%=68%<100%，故原來的最優(yōu)產(chǎn)品組合是否還是最優(yōu)產(chǎn)品組合。

3 結(jié)語(yǔ)

在線性規(guī)劃的案例教學(xué)中應(yīng)用LINGO軟件，能把師生從繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算中解放出來，有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率。

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳華友.運(yùn)籌學(xué)[M].北京：人民郵電出版社，2015.

[2]焦寶聰，陳蘭平.運(yùn)籌學(xué)的思想方法及應(yīng)用[M].北京，北京大學(xué)出版社，2007.

[3]韓伯棠.管理運(yùn)籌學(xué)[M].四版.北京，高等教育出版社，2015.

[責(zé)任編輯：田吉捷]endprint