淺析大學(xué)物理微積分思想與矢量思想教學(xué)

鄭大厚

摘要：數(shù)學(xué)是一門具有較強(qiáng)實(shí)用性的工具型學(xué)科，有不少思想方法都能夠運(yùn)用到大學(xué)物理的教學(xué)中，尤其是微積分思想和矢量思想，在大學(xué)物理教學(xué)中都有著較多且關(guān)鍵的使用。所以就微積分思想與矢量思想在大學(xué)物理教學(xué)中進(jìn)行應(yīng)用的教學(xué)研究，具備著比較重要的價(jià)值。本文基于此，圍繞大學(xué)物理微積分思想與矢量思想教學(xué)進(jìn)行討論，希望能找出一個(gè)的可靠的應(yīng)用范式，用以提升大學(xué)物理的教學(xué)水平。

關(guān)鍵詞：大學(xué)物理教學(xué)；微積分思想；矢量思想

Abstract：Mathematics is an auxiliary subject with strong practicality. There are many methods that can be used in university physics teaching， including calculus and vector concept， which have many key usages in university physics teaching. Therefore， the research of the application of calculus and vector in college physics teaching has a great value. Based on this notion， the paper discusses the theory of calculus and vector in college physics， hoping to find a reliable and applicable paradigm to improve the teaching process of College physics.

Key words：college physics teaching. calculus thought. vector thought

引言

學(xué)好大學(xué)物理課程，不僅能更更好的掌握現(xiàn)代自然科學(xué)和工程技術(shù)，也能增強(qiáng)學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)、科學(xué)思維和科學(xué)探索能力。學(xué)生在物理學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，能提升自己的科學(xué)素養(yǎng)、工程意識(shí)以及創(chuàng)新能力，因此大學(xué)物理對(duì)于理工科學(xué)生在未來(lái)邁入社會(huì)走向工作崗位有著比較重要的作用。從物理學(xué)的教學(xué)需要來(lái)說(shuō)，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以比較全面的掌握高等物理學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、理解一般概念、并能對(duì)物理基本規(guī)律和方法也有一定的認(rèn)知，可以通過(guò)使用科學(xué)研究的思維模式來(lái)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題加以解決，并能架構(gòu)起正確的分析和解開物理問(wèn)題的思路體系，為以后進(jìn)入社會(huì)負(fù)責(zé)工程技術(shù)亦或是科學(xué)研究工作夯實(shí)基礎(chǔ)。從已知的物理學(xué)應(yīng)用中能夠總結(jié)出，學(xué)習(xí)和應(yīng)用大學(xué)物理知識(shí)在很多時(shí)候都涉及到數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法，在這里又以微積分思想與矢量思想的使用比較多。

大學(xué)物理是通過(guò)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的定量學(xué)科，而微積分和矢量相關(guān)知識(shí)的熟練掌握是掌握物理知識(shí)的基本需要。所以本文以大學(xué)物理學(xué)教學(xué)中的微積分思想和矢量思想為出發(fā)點(diǎn)，綜合部分在現(xiàn)實(shí)生活中存在的應(yīng)用例證，來(lái)就微積分思想與矢量思想的教學(xué)使用進(jìn)行深入探討，意圖發(fā)現(xiàn)和歸納出使得大學(xué)物理教學(xué)效果更佳的教學(xué)模式。

一、構(gòu)建起微積分思想

（一）微積分思想的構(gòu)筑

微積分在大學(xué)物理中有著廣泛的使用。無(wú)論是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)還是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)，亦或是剛體運(yùn)動(dòng)、靜電場(chǎng)、穩(wěn)恒當(dāng)場(chǎng)，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)都有著微積分的影子。微積分的思想和分析手段也已成為大學(xué)物理中解決物理問(wèn)題的有效措施。

在對(duì)初中、高中階段基礎(chǔ)物理知識(shí)的學(xué)習(xí)后，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)掌握了部分基本的物理知識(shí)和分析能力，也構(gòu)建起了一套適合自己的物理學(xué)習(xí)手段。不過(guò)，大學(xué)物理的教學(xué)和學(xué)習(xí)與初等教育中物理的教學(xué)和學(xué)習(xí)有著比較大的差異，無(wú)論是教學(xué)目標(biāo)、學(xué)習(xí)思想方法還是原理都有著較多的變化。最明顯的就是從常量物理問(wèn)題變化為更為繁復(fù)的變量物理問(wèn)題。此外在大學(xué)物理問(wèn)題解答時(shí)，使用的更多是學(xué)生在大學(xué)才會(huì)系統(tǒng)學(xué)習(xí)的微積分知識(shí)，而學(xué)生并不能很快的轉(zhuǎn)變自己的學(xué)習(xí)思維模式，且微積分知識(shí)掌握和應(yīng)用還處在初級(jí)階段，所以學(xué)習(xí)到的知識(shí)是比較難以使用在大學(xué)物理的學(xué)習(xí)中去的。這也是有不少大學(xué)生認(rèn)為大學(xué)物理難度太大，即便在課堂上可以聽懂，也無(wú)法解決實(shí)際問(wèn)題的原因。所以在大學(xué)物理的教學(xué)當(dāng)中，教師應(yīng)該充分的介紹使用微積分思想的要領(lǐng)和途徑，協(xié)助學(xué)生構(gòu)建起自己的微積分思想體系，以提升學(xué)生在大學(xué)物理學(xué)習(xí)中的能力和效率。

（二）理解的微積分思想和方法

物理這一科目有一個(gè)比較明顯的特征，那就是它的研究都是從比較基礎(chǔ)和簡(jiǎn)單的現(xiàn)象開始進(jìn)行的。而所謂微積分思想，就是一種比較有效果的分析方法，而它本身也有著較好的辯證性。在使用這一思想來(lái)解決實(shí)際上的物理問(wèn)題時(shí)，微積分通常會(huì)將復(fù)雜的問(wèn)題拆分成幾個(gè)與之相關(guān)的問(wèn)題，這種化整為零的思路雖然讓問(wèn)題變得更加多，但這些問(wèn)題卻都較為簡(jiǎn)單，然后解題者就可以在這些問(wèn)題中分清主次，來(lái)進(jìn)行逐一解決，最后將這些問(wèn)題的答案原樣綜合起來(lái)，原本的物理問(wèn)題也就迎刃而解了。這一思想最大的優(yōu)點(diǎn)是，它有著可以把有限轉(zhuǎn)化成無(wú)限，把近似轉(zhuǎn)化成精準(zhǔn)的效果，把繁復(fù)的問(wèn)題分割成簡(jiǎn)易的問(wèn)題，使其能夠被很快解決。比如將復(fù)雜的變量轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)答的常量來(lái)進(jìn)行處理，進(jìn)而提升物理問(wèn)題的解題速度，加強(qiáng)物理教學(xué)和的學(xué)習(xí)成效。

比如在研究變力做功時(shí)，使用微積分思想的效果就比較好。例如：

例1：質(zhì)點(diǎn)在變力F的作用下曲線運(yùn)動(dòng)，由a點(diǎn)至b點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所做的功為多少。

這個(gè)問(wèn)題就可以以微積分思想來(lái)進(jìn)行解決?？梢赃@樣介紹其解題思路：把質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，劃分成無(wú)限多個(gè)微元段，并將其變力看為確定不變，再這樣的分割，他的曲線運(yùn)動(dòng)路線也可以看做是直線運(yùn)動(dòng)，在這樣的微元段中，力所做的功就是 。這樣一來(lái)，繁復(fù)的變力曲線做功問(wèn)題，在以微積分思路的方式解析后，即可轉(zhuǎn)變?yōu)楸容^簡(jiǎn)易的直線恒力做功的問(wèn)題，只需最后將這些直線恒力所做的功進(jìn)行相加，對(duì)于元功的求和就是積分： ，就能獲得這一變力曲線做的全部功。endprint

這樣的例證在大學(xué)物理教學(xué)中數(shù)不勝數(shù)，隨處可見(jiàn)。由此可知，微積分在大學(xué)物理中應(yīng)用，不只是將其作為一種數(shù)學(xué)工具來(lái)使用，它實(shí)際上也在思維理念上對(duì)物理問(wèn)題的解答有影響。所以在大學(xué)物理課程的教學(xué)中，教師也要注意通過(guò)舉出更多的具體案例來(lái)讓學(xué)生對(duì)于怎樣通過(guò)微積分來(lái)對(duì)物理問(wèn)題進(jìn)行解答，讓學(xué)生能把微積分的思維方式和具體的物理問(wèn)題相結(jié)合，掌握好應(yīng)用微積分思想來(lái)剖析和解決物理問(wèn)題的方法。

微積分在大學(xué)物理的整體學(xué)習(xí)上是占有重要位置的，它的使用也不限于上述例題類型，很多比較關(guān)鍵的物理概念和定理都是直接通過(guò)微積分來(lái)進(jìn)行定義的。引導(dǎo)學(xué)生更快的對(duì)微積分的原理以及其在解決實(shí)際物理問(wèn)題是所有大學(xué)物理教師的責(zé)任。讓學(xué)生的能夠構(gòu)建起較為全面的微積分思維，把微積分的理念、原理和的手段與物理的問(wèn)題相結(jié)合，進(jìn)而能使學(xué)生對(duì)大學(xué)物理知識(shí)的微積分部分的數(shù)學(xué)知識(shí)有比較全面的掌握，并能學(xué)有所用，從而達(dá)到提升授課效果和效率的目的。

二、矢量思想的構(gòu)筑

（一）構(gòu)建矢量思想的重要性和學(xué)生對(duì)矢量的掌握情況

1、構(gòu)建矢量思想的重要性

舉個(gè)例子：一個(gè)50g重的小球，以20m/s的素質(zhì)做圓周運(yùn)動(dòng)，求在1/4周期內(nèi)向心力給它施加多少?zèng)_量。

在解決問(wèn)題時(shí)學(xué)生大多會(huì)直接通過(guò)沖量的定義計(jì)算，但向心力是隨時(shí)間不斷變化的，對(duì)時(shí)間做積分并不容易。也有學(xué)生會(huì)認(rèn)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)的小球受到恒定的向心力，這很明顯是對(duì)矢量理解不夠徹底所致。那么沖量定義并不適用于本題，就會(huì)有不少學(xué)生會(huì)考慮使用動(dòng)量定理求解，但實(shí)際上這樣計(jì)算對(duì)于學(xué)水平生而言準(zhǔn)確率并不高。這時(shí)如果想到畫出矢量示意圖，解題就比較容易了。

從這樣一個(gè)簡(jiǎn)答的例子中就可以比較明顯的看出，學(xué)生如果建立起矢量思想，解題時(shí)畫出矢量示意圖，那么解決問(wèn)題就比較簡(jiǎn)單了，也能更好的理解其中含有的物理知識(shí)。

2、當(dāng)前學(xué)生對(duì)矢量的掌握

在物理這門科目中，學(xué)生認(rèn)識(shí)的最多的物理量，究其根本均為矢量，所以“矢量運(yùn)算法則”及“矢量方程”在物理問(wèn)題的解決中有著比較廣泛的使用。不過(guò)，因?yàn)槌醺?、中物理?duì)這些的要求比較松散，筆者在修改學(xué)生上交的作業(yè)或試卷時(shí)，也發(fā)現(xiàn)有不少的學(xué)生并不注重矢量的標(biāo)準(zhǔn)表示，而仔細(xì)思考其原因，與其說(shuō)學(xué)生沒(méi)有受到過(guò)正確書寫矢量的教育，倒不如說(shuō)這些學(xué)生還沒(méi)有跳出以前物理學(xué)習(xí)的思考方式，并且對(duì)矢量相關(guān)名詞的意義并不了解，在意識(shí)中還沒(méi)有構(gòu)建出矢量思維。如此，也讓為數(shù)不少的學(xué)生在走進(jìn)大學(xué)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)物理學(xué)時(shí)，還是無(wú)法準(zhǔn)確的書寫矢量（也就是在字母上方加上箭頭，并不難掌握），而對(duì)于矢量方程的了解更是極其淺顯，難以使用它了解決一些問(wèn)題。所以在大學(xué)物理教學(xué)中幫助學(xué)生構(gòu)筑起矢量思維就顯得尤為必要。人教版的高中《物理》課本中提到，標(biāo)量只存在大小，而無(wú)其方向；矢量則兼具大小和方向。這樣，有一些學(xué)生就錯(cuò)誤的認(rèn)為“有明確方向的量都屬于矢量，沒(méi)有方向的量則均可看做是標(biāo)量”的定勢(shì)思維，這樣的定勢(shì)思維是本身就是的錯(cuò)誤的，既不嚴(yán)謹(jǐn)，也無(wú)法作為定義使用，教師在物理教學(xué)的過(guò)程當(dāng)中應(yīng)該注意糾正。不可只是片面地認(rèn)為“有明確方向的量都屬于矢量，沒(méi)有方向的量則均可看做是標(biāo)量”，矢量的精確定義是能遵照平行四邊形合成法則的物理量才可稱為矢量，反之則為標(biāo)量。不過(guò)，有不少學(xué)生對(duì)這一定義沒(méi)有深刻的理解，認(rèn)定“如果物理量有方向，那么它就是矢量”，這明顯有失準(zhǔn)確，電流、電動(dòng)勢(shì)一類的物理量，雖然它們都有大小和方向，但卻并非算是矢量。在矢量定義但中，最為關(guān)鍵的就是矢量必定是合乎平行四邊形合成法則的。

（二）教學(xué)中矢量思想的構(gòu)筑

在利用矢量思想來(lái)對(duì)物理問(wèn)題加以解決時(shí)，一般要把矢量轉(zhuǎn)變成標(biāo)量，再作后續(xù)的計(jì)算，還要把它置于合適的坐標(biāo)體系中進(jìn)行（也就是將矢量向某個(gè)方向或是某個(gè)坐標(biāo)系投影處理），所以選取一個(gè)合適的坐標(biāo)系是比較關(guān)鍵的。譬如在解答斜面運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，矢量思想在處理實(shí)際物理問(wèn)題中的有效性，就有著比較不錯(cuò)的表現(xiàn)。先構(gòu)建出坐標(biāo)體系，一般會(huì)按照斜面及垂直斜面方向來(lái)建立，這樣就能把繁復(fù)的矢量轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)易的標(biāo)量。又如在研究曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果使用自然坐標(biāo)系就能讓題目的解答變得簡(jiǎn)單化。大學(xué)物理涉及到矢量的物理問(wèn)題往往都和微元有一定的聯(lián)系，而在解決有關(guān)矢量微積分的物理問(wèn)題時(shí)，首先要將矢量玩某個(gè)方向進(jìn)行投影，通過(guò)將矢量點(diǎn)積或者叉積轉(zhuǎn)變成標(biāo)量后再計(jì)算，最后把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成積分運(yùn)算；亦或通過(guò)直角坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行正交分解，做點(diǎn)積或叉積后，以積分計(jì)算結(jié)束。能合理的使用并解出微積分與對(duì)矢量微積分的解題原理的領(lǐng)會(huì)是息息相關(guān)的。大學(xué)教師在授課時(shí)要遴選出典型例題，以更好的引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)通過(guò)微積分思想來(lái)在腦中構(gòu)筑起解題的模型和范式，掌握剖析和解答物理問(wèn)題的方法。

總結(jié)

總而言之，不能只是把大學(xué)物理中的微積分和矢量看成數(shù)學(xué)工具，而是一種有效的思維方式。所以，在實(shí)際教學(xué)中，教師要注意通過(guò)選取適當(dāng)?shù)睦C進(jìn)行講解，引導(dǎo)學(xué)生把微積分與矢量的思想同解決物理問(wèn)題相結(jié)合，使其可以通過(guò)微積分和矢量方法解答物理問(wèn)題，這對(duì)提高大學(xué)物理的教學(xué)效果是比較重要的，此外，對(duì)于幫助學(xué)生構(gòu)建科學(xué)思維方式和科研能力也有所幫助。

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