追本溯源，三視圖巧回幾何體

毛明明

縱觀歷年高考數(shù)學(xué)全國卷，幾乎年年都會命制這樣的選擇題：給出幾何體的三視圖，求幾何體的體積或者表面積.試題突出考查考生識圖、畫圖、用圖的空間想象能力，是高考的熱點之一.由幾何體的三視圖還原為直觀圖是解決這類問題的關(guān)鍵.本文試圖通過從空間幾何體產(chǎn)生三視圖的源頭中，追溯到連接空間幾何體及其三視圖的根本，從而巧妙地解決三視圖還原幾何體問題.

提出問題

【例1】如圖1，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（ ）

A.6 B.6 C.4 D.4

【分析】這是2014年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ選擇題的壓軸題，由三視圖還原幾何體是解題的關(guān)鍵，也是這道題的難點，很多考生都無法完成.那么對于這類問題如何解決呢？以點定線、以線定面、追本溯源是解決這類問題的簡單方法.

追本溯源

一、從直觀圖到三視圖的啟示

我們知道點動成線、線動成面、面動成體.點是所有空間幾何體的根本，而有些點對空間幾何體又起到關(guān)鍵作用，如多面體頂點所在的位置，就決定了該多面體的形狀和大小.因此，我們可以利用這些關(guān)鍵點快速、準確地由直觀圖畫出三視圖.

【例2】如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，畫出三棱錐C1-BDE的正視圖.

【解析】我們知道光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖稱為幾何體的正視圖.根據(jù)正視圖的定義，我們就清楚地看到了正視圖產(chǎn)生的過程.

1.確定投影面

在本題中，我們可以把平面CDD1C1當作是投影面.

2.選擇幾何體的關(guān)鍵點

在本題中，三棱錐C1-BDE的關(guān)鍵點為四個頂點，即B，C1，D，E.

3.確定關(guān)鍵點在投影面上的投影點

在本題中，點B在投影面上的投影為C，其余三點的投影C1，D，E與自身重合.

4.確定各線段在投影面上的投影線（各線段對應(yīng)的投影點相連就得到對應(yīng)的投影線）

在本題中，棱BC1的投影為CC1，棱BD的投影為CD，棱BE的投影為CE，其余的棱的投影不變.

5.確定所畫線段的虛實

看得見的線畫成實線，看不見的線畫成虛線，畫出正視圖如圖3所示.

按照上述步驟，把平面CBB1C1當作是投影面畫岀例2中三棱錐C1-BDE的側(cè)視圖（圖4），把平面ABCD當作是投影面畫岀例2中三棱錐C1-BDE的俯視圖（圖5）.

名師點撥：由空間幾何體的直觀圖畫三視圖，確定空間幾何體的關(guān)鍵點是根本.找準了關(guān)鍵點和關(guān)鍵點的投影，再連接關(guān)鍵點的投影就得到線段（棱）的投影，最后把看得見的線畫成實線，看不見的線畫成虛線，即完成了由空間幾何體的直觀圖畫出三視圖的畫圖過程.所以，點是幾何體的根本.

二、轉(zhuǎn)換思路——還原幾何體直觀圖逆向思維法

三視圖還原幾何體的題目，從考查空間想象能力的要求看，就是要考生能根據(jù)三視圖想象出直觀圖. 高考試題的幾何體往往是由我們熟悉的空間幾何體（如正方體、長方體等）截去一些部分得到.我們能否利用這一思路來巧妙解決三視圖還原幾何體的問題呢？

再看例1的圖1，三視圖都與邊長為4的正方形有關(guān)，我們可以考慮該幾何體是由邊長為4的正方體截去一些部分得到.

由直觀圖到三視圖的啟示可知，畫幾何體的三視圖關(guān)鍵是從幾何體的關(guān)鍵點找到對應(yīng)投影點.因此，由幾何體的三視圖想象其直觀圖，解題的關(guān)鍵也應(yīng)該是從三視圖的關(guān)鍵點找?guī)缀误w投影對應(yīng)的點.若找其三視圖對應(yīng)的點難時，不妨從不是其三視圖對應(yīng)的點進行突破.我們可以按照下面的步驟來解例1.

【解析】設(shè)該幾何體是由邊長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1截去一些部分得到.

第一步，由正視圖我們可以確定點A，D一定不在該空間幾何體上，如圖6，用空心圓點表示，從而得到AD上的點也一定不在該空間幾何體上.

第二步，由側(cè)視圖我們可以確定點A，B和A1，B1一定不在該空間幾何體上，從而得到AB和A1B1上的點也一定不在該空間幾何體上.

第三步，由俯視圖我們可以確定點A，A1一定不在該空間幾何體上，從而得到AA1上的點也一定不在該空間幾何體上。

第四步，由側(cè)視圖我們知道棱AA1，BB1的中點至少有一個在該幾何體上，但由俯視圖我們可以排除棱AA1的中點，故棱BB1的中點M一定在該幾何體上.

第五步，通過前面的排除，還保留的點有C，C1，D1，M ，可以得到三棱錐M-CC1D1，如圖7所示.我們可以利用例2的方法得到三棱錐M-CC1D1的三視圖.

第六步， 對比驗證，通過對比題目給出的三視圖，從而驗證所得結(jié)果是否正確. 如果三視圖完全一致，我們得到滿足要求的幾何體；如果三視圖不一致，我們可以考慮刪減個別點再進行驗證，直到得到滿足要求的幾何體為止.

綜上所述，我們得到三棱錐M-CC1D1為滿足題目要求的幾何體，易知其中最長棱為D1M，D1M= =6，故選B.

【名師點睛】如果考生在三視圖中不能確定點在不在幾何體上，就可以用粘貼法來確定.

如將正視圖復(fù)制粘貼在正方體的正面（圖8-1），從圖中就很容易知道點A，D不在幾何體上；將俯視圖復(fù)制粘貼在正方體的上面（圖8-2），確定點A，A1不在幾何體上；將左視圖復(fù)制粘貼在正方體的左面（圖8-3），確定點A，B和A1，B1不在幾何體上.

【例3】（2016年全國卷Ⅲ）如圖9，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（ ）

A. 18+36

B. 54+18

C. 90

D. 81

【解析】該幾何體由長、寬、高分別為6，3，6的長方體截去一些部分得到.

第一步， 由三視圖可以確定點B，C，A1，D1 不在該幾何體上，而棱AB，DC，A1B1，D1C1的中點E，F(xiàn)，M，N可能在該幾何體上.

第二步，如圖10，經(jīng)過驗證可知，四棱柱AEFD-MB1C1N為滿足要求的幾何體.

綜上所述，該幾何體為四棱柱AEFD-MB1C1N，底面是邊長為3的正方形，側(cè)棱長為3，所求表面積S=（3×3+3×6+3×3）× 2=54+18，故選B.

點石成金

當我們遇到給出幾何體的三視圖求幾何體的體積或表面積的試題時，利用關(guān)鍵點由三視圖想象并畫出直觀圖是解題的關(guān)鍵.我們可以先假設(shè)空間幾何體是由我們熟悉的空間幾何體（如正方體、長方體等）截去一些部分得到.當直接找關(guān)鍵點困難時，我們通過轉(zhuǎn)換思路，依三視圖排除不在幾何體上的點，留下在幾何體上的關(guān)鍵點，最后再由關(guān)鍵點連接得到幾何體.endprint