謝石月

[摘 要]模型思想是數(shù)學(xué)思想中的重要思想之一，尤其是在“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)中，模型思想的思維過程是理解數(shù)理和問題解決的重要途徑，又特別是數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)規(guī)律等內(nèi)容，都蘊含著了豐富的數(shù)學(xué)模型思想。滲透模型思想和發(fā)展學(xué)生的模型思維是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂改革不可忽視的教學(xué)使命。以一年級上冊“減法”的教學(xué)片段為例，闡述“表象——抽象——內(nèi)化——建模”四步式滲透模型思想的教學(xué)策略。

[關(guān)鍵詞]減法；模型思想；滲透

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）29-0026-02

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”。模型思想作為10個核心概念之一，并首次被以“數(shù)學(xué)基本思想”作為“四基”之一提出，足以證明其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位和重要性。史寧中教授在《數(shù)學(xué)思想概論（第1輯）》中指出：“至今為止，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個： 抽象、推理、模型，即抽象是核心，推理是得到數(shù)學(xué)發(fā)展的重要過程，而通過模型建立數(shù)學(xué)的聯(lián)系則是不可缺少的環(huán)節(jié)?！庇纱丝梢?，模型思想的滲透在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)中有舉足輕重的作用。

“數(shù)學(xué)模型， 一般是指用數(shù)學(xué)語言、符號或圖形等形式， 來刻畫、描述、反映特定的問題或具體事物之間關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)， 它是對客觀事物的一般關(guān)系的反映， 也是人們以數(shù)學(xué)方式認(rèn)識具體事物、描述客觀現(xiàn)象的最基本的形式。”研究表明，數(shù)學(xué)模型有幾個特點：首先，模型的建構(gòu)需要以現(xiàn)實問題或具體情境為依托；其次，模型的建構(gòu)過程需要運用抽象思想；再次，對模型的理解和解釋需要滲透符號化思想及科學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵表述。

教學(xué)實踐表明，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)和運用對學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)知識、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)和發(fā)展學(xué)生的思維能力有重大的意義。模型的建構(gòu)和模型思想的滲透不同于數(shù)學(xué)知識的簡單交待，它的實施過程具有“隱蔽性”和“間接性”，不能靠機(jī)械生硬的說教，而要讓學(xué)生以經(jīng)歷、體驗、感悟和內(nèi)化為主，經(jīng)歷信息處理、抽象與概括、數(shù)學(xué)表達(dá)、模型驗證和模型應(yīng)用等環(huán)節(jié)，以“滲透”為基調(diào)，即“表象—抽象—內(nèi)化—建?！彼膫€步驟。

[教學(xué)片段]

師（出示情境圖）：誰來說一說你從第一幅圖中看到了什么？

生1：我看到小丑手上有4只氣球。

師：第二幅圖呢？

生1：第二幅圖中有1只藍(lán)色的氣球飛走了，還剩下3只紅色的氣球。

師：你能把兩幅圖連起來說一說嗎？

生1：小丑手上有4只氣球，飛走了1只，還剩下3只。

師：你能根據(jù)這兩幅圖提出一個數(shù)學(xué)問題嗎？

生1：小丑手上有4只氣球，飛走了1只，還剩下幾只？

生（齊）：3只。

師：太棒了！你能用圓片代替氣球，動手?jǐn)[一擺這個過程嗎？ （學(xué)生對照情境圖擺圓片）

師：小丑手上有4只氣球，飛走了1只，還剩下3只；從4張圓片中拿走1張，還剩3張，都可以用同一個算式“4-1=3”來表示。（板書：4-1=3）

師：誰來說一說這里的“4”表示什么？“1”表示什么？“3”又表示什么呢？生活中還有許許多多這樣的數(shù)學(xué)問題，“ 4-1=3”還可以表示什么呢？請同桌互相說一說。

一、建立表象——模型思維的孕育

小學(xué)生的思維以直觀形象為主，現(xiàn)實生活、具體情境和形象直觀的圖像可以讓學(xué)生的思維起點靠近其思維的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生快速確立思維起點。數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)實際上也是一種數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。思維的產(chǎn)生和發(fā)展起源于學(xué)生豐富的數(shù)學(xué)表象，而數(shù)學(xué)表象的積累則大多依靠直觀形象，因此，數(shù)學(xué)模型思想的孕育必須將數(shù)學(xué)問題置于生動有趣的情境之下，誘發(fā)學(xué)生的認(rèn)知欲望，為引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和解決問題，激發(fā)學(xué)生更深入的思考奠定基礎(chǔ)。在教學(xué)片段中，教師將減法數(shù)學(xué)問題建立在氣球由多變少的情境中，讓學(xué)生觀察情境圖后說一說從第一幅圖中看到了什么，從第二幅圖中又看到了什么。學(xué)生在解讀情境后找到數(shù)學(xué)信息，并對信息進(jìn)行加工：從第一幅圖中看到小丑手上有4只氣球；從第二幅圖中看到有1只氣球飛走了，剩下3只氣球。

有了表象，才能使心理活動得以進(jìn)一步的深入，才能再現(xiàn)已有的認(rèn)知信息，才能將已有經(jīng)驗與新的數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行溝通和聯(lián)系，激發(fā)和孕育新的思維。氣球由多變少的情境既讓學(xué)生感知到現(xiàn)實中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，又能讓學(xué)生初步感悟數(shù)量的變化，為數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)積累了充足的數(shù)學(xué)表象。研究表明，記憶要經(jīng)歷識記、保持、重現(xiàn)和再認(rèn)四個過程，因此數(shù)學(xué)表象的建立大致有幾個步驟，即發(fā)現(xiàn)—想象—重現(xiàn)—調(diào)整。在此過程中，學(xué)生通過觀察情境，在教師的引導(dǎo)下運用信息進(jìn)行想象并描述數(shù)學(xué)現(xiàn)象，然后在教師的引導(dǎo)下不斷調(diào)整和完善，模型思維逐步形成。

二、抽象問題——模型思維的萌發(fā)

數(shù)學(xué)表象是數(shù)學(xué)模型建立所依托的素材和基礎(chǔ)，對學(xué)生而言，在積累了充分的數(shù)學(xué)表象之后，還要從所積累的數(shù)學(xué)表象體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)信息中提煉和抽象出數(shù)學(xué)問題，為問題的解決提供思維方向和目標(biāo)。如教學(xué)片段中，教師把抽象問題的任務(wù)拋給學(xué)生：“你能根據(jù)這兩幅圖提一個數(shù)學(xué)問題嗎？”其目的就是讓學(xué)生的思維能從具體的情境中過渡到數(shù)學(xué)問題，這是從形象到抽象的過程，更是模型思維的萌發(fā)時機(jī)——這是求“剩下幾個”的問題。有了問題的指引，學(xué)生也就有了學(xué)習(xí)的目標(biāo)和方向，這樣學(xué)生才能在數(shù)學(xué)問題的驅(qū)動下，經(jīng)歷問題的發(fā)現(xiàn)、探究、解決等一系列思維活動，因為有效問題的提出，除了可以讓學(xué)生體驗到解決問題的步驟、思路和策略，感受探究帶來的喜悅外，還可以讓學(xué)生在解決問題的過程中，通過與同伴的思維交流和互動，感受解決問題方法的多樣性和策略多樣性?？梢姡谀Ｐ退枷氲臐B透教學(xué)中，在學(xué)生充分感受了數(shù)學(xué)情境后，要有一個“去情境化”的思維過程，因為情境創(chuàng)設(shè)的最高境界就是“去情境化”，即起于情境但又高于情境，是讓學(xué)生有效地由形象直觀抽象出數(shù)學(xué)問題，為學(xué)生深入探究數(shù)學(xué)模型提供指引。endprint

三、內(nèi)涵表述——模型思維的內(nèi)化

數(shù)學(xué)符號是一種特殊的數(shù)學(xué)語言，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可缺少的工具，用數(shù)學(xué)符號對數(shù)學(xué)過程、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律進(jìn)行表述，是對數(shù)學(xué)表象的進(jìn)一步解釋，是對數(shù)學(xué)信息的加工和分析，是數(shù)學(xué)探究的必由之路。符號的運用可以讓學(xué)生從個別數(shù)學(xué)現(xiàn)象過渡到一類數(shù)學(xué)現(xiàn)象，是從個性到共性的過程。

王永春在《小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法》一書中指出：“數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?！睂τ跀?shù)學(xué)模型來說，模型的建構(gòu)其實就是對一種特殊的“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的理解和發(fā)展，而對這種“結(jié)構(gòu)”的認(rèn)識離不開數(shù)學(xué)符號對數(shù)學(xué)過程的科學(xué)表述，這種內(nèi)涵的表述就是一個思維的過程。如教學(xué)片段中，教師有意識地對學(xué)生進(jìn)行了“符號思想”的滲透——你能用圓片代替氣球，動手?jǐn)[一擺這個過程嗎？適時地引導(dǎo)學(xué)生用圓片替代氣球，能讓其重新體驗“數(shù)量減少”的過程，再次積累數(shù)學(xué)表象，積累模型建構(gòu)的思想。教師采取情境啟發(fā)和操作體驗，讓學(xué)生在“氣球飛走”和“圓片移走”的情境下，把物（氣球和圓片）分別抽象成數(shù)字（4、1、3），引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言去描述這種數(shù)學(xué)現(xiàn)象：有4只氣球，飛走了1只，還剩下3只；有4張圓片，拿走1張，還剩下3張，這種數(shù)學(xué)變化都可以用同一個算式“4-1=3”來表示——這就是建模。在這個過程中，學(xué)生親歷了符號的運用過程，這也是學(xué)生尋找特征和共性的過程，是對從個別算法引向共性的算理的感悟和理解，更是思維的一次飛躍。

四、應(yīng)用和拓展——模型思想的建構(gòu)

經(jīng)過“表象——抽象——符號——內(nèi)化”的過程，數(shù)學(xué)模型“4-1=3”悄然在學(xué)生的思維中成型，但它在學(xué)生的思維里還只是一個模糊的“結(jié)構(gòu)”，這個特殊的結(jié)構(gòu)還需要有足夠的發(fā)散思維去印證和充實。這時，只有對模型的意義進(jìn)行“再認(rèn)知”，才能讓模型思想成為學(xué)生的主動思維習(xí)慣，并在將來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中將其應(yīng)用和發(fā)展。如在教學(xué)片段中，教師在得出了“4-1=3”后，繼續(xù)讓學(xué)生結(jié)合情境說一說“這里的“4”表示什么？“1”表示什么？“3”又表示什么呢？”目的是讓學(xué)生深入感受“總數(shù)”“部分?jǐn)?shù)”和“剩下”的意義，并理解它們?nèi)咧g的數(shù)學(xué)本質(zhì)聯(lián)系和意義。這時將數(shù)學(xué)生活化，讓學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗，發(fā)散個性思維，說一說“生活中還有許許多多這樣的數(shù)學(xué)問題，‘4-1=3還可以表示什么呢？”學(xué)生就能提出：“樹上有4只小鳥，飛走1只，還剩3只?！?“我有4個蘋果，吃了1個，還剩3個?！薄?/p>

“還有哪些數(shù)學(xué)問題可以用‘4-1=3表示呢？”教師的追問絕對不是簡單、機(jī)械、生硬的重復(fù)，而是基于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的特點——模型思維需要由具體、形象開始，借助操作予以內(nèi)化和強(qiáng)化，依托思維發(fā)散和思維聯(lián)想加以擴(kuò)展和推廣。這種思維發(fā)散和思維聯(lián)想將賦予“4-1=3”以更豐富的“模型”意義，有利于促進(jìn)和加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的理解，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，也有利于鞏固模型的應(yīng)用和發(fā)展學(xué)生的模型應(yīng)用意識。

唐代詩人杜牧說過：“學(xué)非探其花，要自拔其根。”這里的“根”指的就是數(shù)學(xué)思想與方法，它和“授之以魚，不如授之以漁”的教育理念有異曲同工之處，因為它是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂。數(shù)學(xué)的教學(xué)不僅要注重對顯性數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知和理解，作為“四基”之一的數(shù)學(xué)思想方法更加不容忽視，當(dāng)今乃至未來的數(shù)學(xué)課堂都應(yīng)注重激發(fā)學(xué)生更多的思考，滲透更多的思想方法，讓學(xué)生真正成為“智慧型”的學(xué)生而不是單純的“知識型”學(xué)生。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2] 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第1輯）[M]. 哈爾濱：東北師范大學(xué)出版社，2008.

[3] 王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法[M]. 上海：華東師范大學(xué)出版社 ，2014.

（責(zé)編 金 鈴）endprint