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      高等數(shù)學中的概念教學探究

      2017-12-29 23:40王正衛(wèi)
      成才之路 2017年34期
      關(guān)鍵詞:定積分概念教學高等數(shù)學

      王正衛(wèi)

      摘 要: 文章以定積分概念教學為例,從明確預(yù)備知識的重要性、循序漸進充分挖掘?qū)W生的潛力、抓住概念的本質(zhì)分解難點、總結(jié)應(yīng)用鞏固認知結(jié)構(gòu)等方面,研究高等數(shù)學中的概念教學策略,以提高學生的學習興趣和學習效果。

      關(guān)鍵詞:高等數(shù)學;概念教學;定積分;教學活動

      中圖分類號:G642 文獻標志碼:A 文章編號:1008-3561(2017)34-0019-01

      數(shù)學概念是高等數(shù)學的基石,沒有它,便無法構(gòu)筑高等數(shù)學的理論體系。在高等數(shù)學教學中,部分教師有時省略概念的引入,直接下定義,這樣會使學生對數(shù)學概念的理解停留在表面,一知半解,影響后續(xù)課程的學習。本文以定積分概念教學為例,研究高等數(shù)學中的概念教學策略。

      一、明確預(yù)備知識的重要性

      定積分是高等數(shù)學的重要概念之一,概念本身體現(xiàn)了微積分的基本思想極限思想。教師若引入得當,預(yù)備知識準備充分,可以高效地幫助學生建立新的認知體系。定積分的理論基礎(chǔ)是極限,包括極限的定義、極限的唯一性等。定積分概念的本質(zhì)就是Riemann和的極限,即 f(x)dx= f(ξi)Δxi。下面,比較兩者的定義。定義1 (函數(shù)極限的ε-δ定義) :設(shè)函數(shù)f在點x0的某個空心鄰域U0(x0,δ')內(nèi)有定義,Α為定數(shù)。若對任給的ε>0存在正數(shù)δ(<δ'),使得當0<|x-x0|<δ時有|f(x)-Α|<ε,則稱函數(shù)f當x趨于x0時以Α為極限,記作 f(x)=Α。定義2 (定積分的定義):設(shè)f是定義在[a,b]上的一個函數(shù),J是一個確定的實數(shù)。若對任給的正數(shù)ε,總存在某一正數(shù)δ,使得對[a,b]的任何分割T,以及在其上任意選取的點集{ξi},只要‖T‖<δ,就有 f(ξi)Δxi-J<ε,則稱函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上可積或黎曼可積,數(shù)J稱為f在[a,b]上的定積分或黎曼積分,記作J= f(x)dx??梢钥吹?,定積分定義與極限ε-δ的定義有很大相似性。在授課過程中,教師要注意新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,注重引導學生復習與之相關(guān)的舊知識,減少學生學習時的困難。

      二、循序漸進,充分挖掘?qū)W生的潛力

      在高等數(shù)學教學過程中,教師要重視概念引入教學,循序漸進地提高學生的認知能力。下面,介紹兩個經(jīng)典的引例:一是曲邊梯形面積問題,另一個是變速運動路程。第一個引例,教師可以遵循“以直代曲”“有限逼近無限”的極限思想,教學時主要采用以下四個步驟。1)分割。在區(qū)間[a,b]內(nèi)任取n-1個分點,它們依次為a=x0

      三、抓住概念的本質(zhì),分解難點

      定積分概念的建立,重點在于極限思想的應(yīng)用。首先,通過求和的極限的四個步驟,我們發(fā)現(xiàn)不同的問題采用同樣的求解方法和過程,最終得到相同的極限表示,這個極限定義為定積分。其次,有限分割的和只能求近似值,而無限分割的和的極限能求得精確值。這也是學習定積分概念的價值所在,能為后續(xù)定積分的應(yīng)用打下基礎(chǔ)。對比導數(shù)定義的建立,也是極限思想的應(yīng)用,其思想方法上是一致的。要特別強調(diào),對于‖T‖→0所表示的極限過程,不能隨便改成n→∞,但不同的分割卻可以表示相同的意義。這一點,教師可通過舉例予以說明。

      四、總結(jié)應(yīng)用,鞏固認知結(jié)構(gòu)

      及時組織學生進行練習,是理解和鞏固所學概念的重要環(huán)節(jié)?!胺指?、近似、求和、取極限”的數(shù)學解題步驟,不僅能讓學生鞏固理論知識,而且能讓學生發(fā)現(xiàn)解決問題的方法,在理論聯(lián)系實際的過程中體會定積分的應(yīng)用價值。在高等教學過程中,教師可以引導學生去解決一些更為抽象復雜的數(shù)學問題,使學生剛建立的概念與已有的知識不斷融合,形成新的認知結(jié)構(gòu)。

      五、結(jié)束語

      總之,概念教學是高等數(shù)學教學活動的重要組成部分。教師要根據(jù)學生的實際情況有針對性地備課,認真研究高等數(shù)學中的概念教學策略,提高學生的學習興趣和學習效果。

      參考文獻:

      [1]毛京中. 高等數(shù)學概念教學的一些思考[J].數(shù)學教育學報,2003(12).

      [2]陳國玉,肖金艷.淺談定積分概念教學的設(shè)計[J].巢湖學院學報,2003(15).

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