劉 彤 ， 李 晶 ， 王美玲， 孫榮凱

(1.北京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院 北京，100081) (2.北京理工大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)智能控制與決策國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京，100081)(3.北京自動(dòng)化控制設(shè)備研究所 北京，100074)

角加速度信號(hào)自適應(yīng)小波的去噪方法

劉 彤1,2， 李 晶1,2， 王美玲1,2， 孫榮凱3

(1.北京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院 北京，100081) (2.北京理工大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)智能控制與決策國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京，100081)(3.北京自動(dòng)化控制設(shè)備研究所 北京，100074)

針對(duì)多擾動(dòng)、大負(fù)載環(huán)境下角加速度計(jì)輸出信號(hào)中含有脈沖噪聲和高斯白噪聲的情況，提出一種改進(jìn)的離散小波閾值法與中值濾波算法相結(jié)合的角加速度計(jì)信號(hào)自適應(yīng)去噪算法。首先，使用中值濾波對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行去除脈沖噪聲的預(yù)處理；其次，使用分解層數(shù)的自適應(yīng)確定方法與改進(jìn)的閾值選取準(zhǔn)則，通過(guò)離散小波閾值去噪法去除高斯白噪聲。仿真結(jié)果表明，該算法能夠有效地提高信噪比，降低最小均方誤差。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法既能去除分子型液環(huán)式角加速度計(jì)信號(hào)中噪聲，又能很好地保留真實(shí)信號(hào)中的高動(dòng)態(tài)部分。

角加速度信號(hào)； 中值濾波； 離散小波閾值； 自適應(yīng)

引 言

相對(duì)于角位移和角速度量，角加速度作為角運(yùn)動(dòng)高階特性的表達(dá)，能夠更快速、準(zhǔn)確、直接地表征角運(yùn)動(dòng)。在航空航天、船舶武器、交通運(yùn)輸、地質(zhì)探測(cè)及機(jī)器人結(jié)構(gòu)分析等領(lǐng)域中，角加速度參數(shù)都有至關(guān)重要的作用及廣泛的需求[1]。因此，為全面了解物體的運(yùn)動(dòng)狀況，高精度、高可靠地獲取角加速度信號(hào)具有十分重要的意義。

目前，角加速度信號(hào)的獲取途徑主要有直接法和間接法[2-3]。間接法又分為2種：a.對(duì)傳統(tǒng)的角速率陀螺數(shù)據(jù)進(jìn)行電子或電磁微分得到角加速度信號(hào)，但該方法會(huì)造成噪聲放大和響應(yīng)延遲，要求去除高頻噪聲的同時(shí)盡可能縮短信號(hào)的響應(yīng)時(shí)間，因此難以得到可靠性高的角加速度信號(hào)；b. 運(yùn)用多個(gè)線性加速度計(jì)組合間接求取角加速度[4]。有些載體如大機(jī)動(dòng)狀態(tài)下的戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈、高姿態(tài)抖動(dòng)的新型小衛(wèi)星及進(jìn)行變負(fù)荷運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)械臂[5]等，常常處于大過(guò)載、變負(fù)載、多擾動(dòng)等復(fù)雜環(huán)境中，其角加速度信號(hào)往往呈現(xiàn)出高動(dòng)態(tài)的特征。此方法需要先對(duì)線性加速度信號(hào)進(jìn)行去噪和解算工作，計(jì)算量較大，求取精度和實(shí)時(shí)性也無(wú)法滿足實(shí)際應(yīng)用的需求。直接法則是采用可以直接敏感角加速度信號(hào)的傳感器來(lái)測(cè)量，相比于間接法，采集到的角加速度信號(hào)可靠性及抗干擾能力更強(qiáng)，精度更高。筆者針對(duì)采用分子型液環(huán)式角加速度計(jì)[6]的測(cè)量信號(hào)開展去噪法的研究。文獻(xiàn)[7]提出將Kalman濾波方法運(yùn)用于角加速度信號(hào)估計(jì)。該方法適用于間接法測(cè)量的角加速度，按照位移、速度和加速度三者的微分關(guān)系對(duì)其建立狀態(tài)方程，得到信號(hào)的最優(yōu)估計(jì)。但Kalman濾波算法的局限性在于須得知系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與噪聲的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)知識(shí)，對(duì)于直接法獲得的信號(hào)則難以獲得角加速度傳感器的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用范圍十分有限。文獻(xiàn)[8]提出一種應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)角加速度的算法，這種算法削弱了對(duì)系統(tǒng)模型的依賴，同時(shí)具有良好的自學(xué)習(xí)性、自組織性及高度適應(yīng)性，但該方法需求的數(shù)據(jù)量巨大，算法實(shí)時(shí)性還有待進(jìn)一步研究。文獻(xiàn)[9]提出一種運(yùn)用低通濾波器先對(duì)線加速度計(jì)信號(hào)去噪，再解算求取角加速度的方法，但此方法僅僅當(dāng)噪聲信號(hào)和原始信號(hào)的帶寬完全分開時(shí)效果較好，無(wú)法用于高頻振蕩環(huán)境中的角加速度傳感器。此外，受自身材料結(jié)構(gòu)、載體機(jī)械振動(dòng)及摩擦等復(fù)雜環(huán)境因素的限制，角加速度傳感器信號(hào)中會(huì)帶有大量混合種類的噪聲，其中主要包括脈沖及高斯白噪聲兩類，采用單一的去噪算法并不能有效地去除混合噪聲帶來(lái)的影響。傳統(tǒng)的中值濾波對(duì)于脈沖噪聲的剔除效果較好，但該方法可能會(huì)破壞信號(hào)的細(xì)節(jié)信息[10]。由Donoho[11]提出的基于閾值的離散小波變換技術(shù)可以針對(duì)性地去除高斯白噪聲，對(duì)處于高頻震蕩環(huán)境中的角加速度計(jì)能更精確地保留其信號(hào)中的有用細(xì)節(jié)。

針對(duì)上述問(wèn)題，筆者提出一種基于改進(jìn)的小波閾值與中值濾波相結(jié)合的角加速度計(jì)信號(hào)自適應(yīng)去噪算法，并對(duì)仿真和實(shí)測(cè)信號(hào)的降噪效果與單一中值濾波算法、傳統(tǒng)閾值小波去噪法進(jìn)行分析和對(duì)比。

1 自適應(yīng)小波去噪算法設(shè)計(jì)

在使用角加速度傳感器時(shí)，電源電壓的波動(dòng)、載體的機(jī)械振動(dòng)及摩擦、信號(hào)傳輸中的電磁干擾等因素都會(huì)對(duì)角加速度信號(hào)造成一定影響。這些噪聲在時(shí)域中或是具有平坦的帶寬特性，或是具有無(wú)規(guī)則的突發(fā)性，因此在研究時(shí)可看做是加性高斯白噪聲和加性脈沖噪聲。長(zhǎng)度為的原始角加速度數(shù)字信號(hào)XN(t)如式(1)所示

XN(t)=S(t)+N1(t)+N2(t) (t=1,2,…，n)

(1)

其中：S(t)為真實(shí)角加速度信號(hào)；N1(t)為脈沖噪聲信號(hào)；N2(t)為高斯白噪聲信號(hào)。

對(duì)角加速度計(jì)信號(hào)進(jìn)行去噪的目的是盡可能地將信號(hào)中的噪聲成分N1(t)和N2(t)去掉，并盡可能精確地獲得去噪后的估計(jì)信號(hào)S(t)。

1.1 中值濾波預(yù)處理

本算法先采用傳統(tǒng)中值濾波法對(duì)原始角加速度帶噪信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，實(shí)現(xiàn)的具體方法[10]如下。

中值濾波算法的關(guān)鍵問(wèn)題在于需要根據(jù)不同信號(hào)特征選取大小不同的濾波窗口。窗口選取過(guò)大，信號(hào)會(huì)丟失部分細(xì)節(jié)信息；反之，窗口過(guò)小會(huì)導(dǎo)致脈沖干擾剔除不夠。由于角加速度信號(hào)可能會(huì)含有高頻震蕩的部分，為了能在有效平滑信號(hào)的同時(shí)，使預(yù)處理之后的信號(hào)盡可能保留有用的細(xì)節(jié)和能量，此處中值濾波窗口的選擇應(yīng)盡量偏小。通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定，當(dāng)選擇窗口大小為5時(shí)，中值濾波算法去掉了大部分的脈沖噪聲，預(yù)處理結(jié)果較好。該過(guò)程可以表示為

(2)

由于傳統(tǒng)中值濾波窗口寬度通常為固定值，針對(duì)帶有混合噪聲的信號(hào)，此算法的自適應(yīng)性和處理能力極為有限。因此，采用離散小波閾值去噪算法與中值濾波相結(jié)合可以取長(zhǎng)補(bǔ)短，以達(dá)到更佳濾波效果。

1.2 離散小波閾值去噪

離散小波閾值去噪方法是目前應(yīng)用最廣泛的小波去噪方法之一[11[12-13]。筆者將重點(diǎn)研究分解層數(shù)的自適應(yīng)確定及合理閾值的選取。

1.2.1 基于小波能量熵的自適應(yīng)層數(shù)確定

離散小波閾值去噪法中，分解層數(shù)通常是對(duì)信號(hào)分解所得的細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行白化檢驗(yàn)[14]得到的。由于多擾動(dòng)、大負(fù)載下的角加速度信號(hào)會(huì)具有與白噪聲相關(guān)的高動(dòng)態(tài)特性，此時(shí)無(wú)法簡(jiǎn)單對(duì)分解后的細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行白化檢驗(yàn)來(lái)區(qū)分真實(shí)信號(hào)與噪聲信號(hào)。若從能量角度分析，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)高斯白噪聲序列用sym6小波進(jìn)行1～9層分解，用式(3)計(jì)算出分解后1～9層細(xì)節(jié)系數(shù)的能量

(3)

其中：fj(t)為信號(hào)f(t)進(jìn)行小波分解后第j層細(xì)節(jié)系數(shù)的幅值。

從圖1可看出，白噪聲信號(hào)細(xì)節(jié)系數(shù)的能量是隨分解層數(shù)的增加而單調(diào)遞減的。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)高斯白噪聲信號(hào)細(xì)節(jié)系數(shù)的能量隨分解層數(shù)的分布圖Fig.1 The distribution of standards Gaussian white noise signal detail coefficients′ energy with the decomposition layers

對(duì)含白噪聲在內(nèi)的高動(dòng)態(tài)角加速度信號(hào)進(jìn)行小波分解后，細(xì)節(jié)系數(shù)中會(huì)因?yàn)榘@部分高動(dòng)態(tài)信號(hào)，導(dǎo)致其1～9層的能量分布與單獨(dú)白噪聲信號(hào)分解的能量分布發(fā)生差異。因此，筆者根據(jù)最大熵原理[15]， 提出用小波能量熵(wavelet energy entropy，簡(jiǎn)稱 WEE)更深刻地描述這種差異[16]，其計(jì)算公式為

其中：fi(t),i=1,2,…,M為信號(hào)進(jìn)行M層離散小波分解后每層的細(xì)節(jié)系數(shù)；Pj為每層細(xì)節(jié)系數(shù)能量占細(xì)節(jié)系數(shù)能量總和的比例系數(shù)；Ej為每層細(xì)節(jié)系數(shù)的能量；j表示1～M層。

信號(hào)序列的復(fù)雜程度與其小波能量熵的值呈正相關(guān)關(guān)系，對(duì)比帶噪信號(hào)和噪聲信號(hào)在相同分解層數(shù)下的小波能量熵差異，通過(guò)設(shè)定此差異的閾值可自適應(yīng)得出合理的分解層數(shù)。具體的計(jì)算步驟如下。

(6)

由此得到用來(lái)確定分解層數(shù)的信號(hào)樣本XNsam，且其最大分解層數(shù)Mmax為9層。

2) 生成與XNsam長(zhǎng)度相同的白噪聲序列樣本Nsam，并用式(7)對(duì)其進(jìn)行歸一化處理

(7)

3) 分別對(duì)信號(hào)X和N進(jìn)行M=1層小波分解，由式(4)、式(5)可計(jì)算出X和N的1層小波能量熵WEEX(1)和WEEN(1)

4) 計(jì)算X與N進(jìn)行M=1層離散小波分解所得分層能量熵的差

T=|WEEX(1)-WEEN(1)|

(8)

通過(guò)設(shè)定閾值來(lái)檢測(cè)信號(hào)X和噪聲N分層能量熵的明顯差異來(lái)判斷是否得到最佳分解層數(shù)，若T<0．2，則分解層數(shù)M加1，跳至步驟3繼續(xù)進(jìn)行離散小波分解；若T≥0．2則停止運(yùn)算，并得到最終的最佳分解層數(shù)M0=M-1。

1.2.2 小波閾值的選取

硬閾值和軟閾值函數(shù)[9]在小波閾值去噪領(lǐng)域已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用，其表達(dá)式為

(9)

其中：sgn(·)為符號(hào)函數(shù)。

關(guān)于閾值λ的選取，由Donoho提出了啟發(fā)式SURE準(zhǔn)則、嚴(yán)格SURE準(zhǔn)則和極大極小準(zhǔn)則。其中嚴(yán)格SURE準(zhǔn)則和極大極小準(zhǔn)則在去噪效果上較為保守，啟發(fā)式SURE準(zhǔn)則抑制噪聲效果較好，但仍然可能丟失有用信息[11]。對(duì)此筆者提出一種新的閾值選取準(zhǔn)則：利用中值濾波對(duì)細(xì)節(jié)系數(shù)中的噪聲強(qiáng)度進(jìn)行估計(jì)，并結(jié)合法則來(lái)設(shè)置門限閾值[14]。具體實(shí)現(xiàn)步驟如下。

2) 定義噪聲的平均半寬度W，其值為噪聲強(qiáng)度絕對(duì)值的均值，計(jì)算公式為

(11)

(12)

4) 求得門限閾值的下界與上界

(13)

按照門限閾值對(duì)小波系數(shù)采用硬閾值函數(shù)處理，進(jìn)行一維離散小波逆變換即可得到去噪后的信號(hào)。

2 仿真分析

2.1 典型信號(hào)仿真分析

為驗(yàn)證本方法的優(yōu)良性，本節(jié)著重體現(xiàn)自適應(yīng)分解層數(shù)算法的有效性及閾值選擇的合理性。以Matlab中Blocks，Doopler，Heavysine和Bumps這4種與角加速度計(jì)信號(hào)特征相似的非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。如圖2所示，信號(hào)長(zhǎng)度均為2 048，在信號(hào)中疊加脈沖噪聲和高斯白噪聲以獲得信噪比為5 dB左右的含噪信號(hào)。由圖3可看到，由于噪聲影響，各信號(hào)的細(xì)節(jié)部分已完全淹沒(méi)在噪聲中。

用窗口為3的中值濾波對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，選擇同時(shí)具正交性和緊支撐性的sym6作為小波基函數(shù)對(duì)預(yù)處理后的信號(hào)進(jìn)行離散小波分解，確定最佳分解層數(shù)分別為4層、5層、7層和5層。閾值處理函數(shù)均采用硬閾值函數(shù)，閾值準(zhǔn)則分別采用通用閾值、啟發(fā)式SURE準(zhǔn)則、極大極小值閾值準(zhǔn)則及筆者提出的閾值準(zhǔn)則。

圖2 Matlab中4種非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)原始信號(hào)Fig.2 Four kinds of non-stationary random signal

圖3 信噪比為5 dB的4種仿真非平穩(wěn)隨機(jī)帶噪信號(hào)Fig.3 Four kinds of simulation non-stationary random signal with noise that SNR is 5 dB

將4種信號(hào)按本算法得到的最佳分解層數(shù)進(jìn)行降噪處理，采用信噪比(signal noise ratio，簡(jiǎn)稱SNR)和均方根誤差(mean square error，簡(jiǎn)稱MSE)兩項(xiàng)指標(biāo)對(duì)去噪效果進(jìn)行評(píng)估，并與最佳分解層數(shù)分別加1、減1的處理結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表1～4所示。由表中數(shù)據(jù)可知，對(duì)于不同信號(hào)，當(dāng)分解層數(shù)未達(dá)到最佳時(shí)，信噪比同樣未達(dá)到最佳。然而當(dāng)分解層數(shù)超過(guò)最佳層數(shù)時(shí)，信號(hào)去噪后的信噪比或者會(huì)有較大下滑或者會(huì)平穩(wěn)不變?？紤]到分解層數(shù)增多會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算量加大和不穩(wěn)定，因此該仿真結(jié)果可說(shuō)明筆者提出的自適應(yīng)分解層數(shù)確定的算法是有效的。

對(duì)比最佳分解層數(shù)下各閾值選取準(zhǔn)則的去噪結(jié)果，可看到在使用通用閾值準(zhǔn)則、極大極小閾值準(zhǔn)則對(duì)Blocks，Bumps及Doopler信號(hào)進(jìn)行處理時(shí)，信噪比沒(méi)有提高反而降低了，最小均方誤差也增大了；而筆者提出的閾值準(zhǔn)則在最佳分解層數(shù)下針對(duì)4種仿真信號(hào)均能有效地提高信噪比，降低最小均方誤差。由表中還可以看出，對(duì)于其他幾種閾值準(zhǔn)則，產(chǎn)生最大信噪比時(shí)對(duì)應(yīng)的最佳分解層數(shù)發(fā)生了變化，這說(shuō)明對(duì)于不同的信號(hào)，分解層數(shù)的確定及閾值準(zhǔn)則的選取對(duì)于去噪效果的影響并不互相獨(dú)立[17]，而筆者提出的自適應(yīng)分解層數(shù)確定與閾值準(zhǔn)則可以有機(jī)地結(jié)合在一起，從而得到最佳效果。

2.2 仿真效果比較

以Doopler信號(hào)為例，通過(guò)將本算法去噪結(jié)果與只對(duì)信號(hào)進(jìn)行中值濾波去噪、只對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波降噪這兩種方案進(jìn)行對(duì)比，如圖4所示，小波分解最佳層數(shù)為5層。從圖中結(jié)果可以看出，只采用其中一種算法的降噪效果明顯要差于將二者結(jié)合之后，說(shuō)明本研究將中值濾波與離散小波閾值去噪法進(jìn)行結(jié)合后可以得到比單一濾波效果更佳的降噪結(jié)果。

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 低頻轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)測(cè)信號(hào)分析

為驗(yàn)證本算法的實(shí)用性，對(duì)角加速度傳感器實(shí)測(cè)信號(hào)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示。實(shí)驗(yàn)選用開放式中型雙軸位置速率轉(zhuǎn)臺(tái)作為載體，并由轉(zhuǎn)臺(tái)控制系統(tǒng)設(shè)定輸入信號(hào)的頻率和幅值。選用分子型液環(huán)式角加速度計(jì)[3]來(lái)敏感測(cè)量載體的角加速度，并由嵌入式數(shù)字信號(hào)采集系統(tǒng)采集角加速度計(jì)輸出信號(hào)。

表1 Blocks信號(hào)的處理結(jié)果

表2 Doopler信號(hào)的處理結(jié)果

表3 Heavysines信號(hào)的處理結(jié)果

表4 Bumps信號(hào)的處理結(jié)果

圖4 本算法去噪結(jié)果與單一濾波方法去噪結(jié)果比較圖Fig.4 De-noising results of propose algorithm compared with single filter method

首先給轉(zhuǎn)臺(tái)設(shè)定輸入固定頻率為1Hz、固定角速度為5 (°)/s的正弦激勵(lì)信號(hào)。在測(cè)試過(guò)程中某些時(shí)刻對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)施加沖擊，使角加速度計(jì)測(cè)量信號(hào)在對(duì)應(yīng)時(shí)刻產(chǎn)生高動(dòng)態(tài)變化，采集在該激勵(lì)下的角加速度原始信號(hào)，并運(yùn)用單一中值濾波算法、離散小波通用閾值去噪法及本算法對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行處理，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.5 Experimental setup

圖6 轉(zhuǎn)臺(tái)施加外部沖擊測(cè)試結(jié)果Fig.6 Test results of turntable with attack

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可看出，當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)做低頻運(yùn)動(dòng)時(shí)，載體機(jī)械摩擦、信號(hào)傳輸中的電磁干擾等噪聲信號(hào)頻率較高且幅值較小，而對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)施加干擾產(chǎn)生的高動(dòng)態(tài)部分的信號(hào)頻率、幅值都很高。因此，不論是中值濾波還是小波去噪法，在保留信號(hào)細(xì)節(jié)方面效果都較好；而在去除噪聲平滑信號(hào)方面，本算法的優(yōu)勢(shì)較為明顯。

3.2 無(wú)人車平臺(tái)實(shí)測(cè)信號(hào)分析

將角加速度傳感器及嵌入式數(shù)字信號(hào)采集系統(tǒng)安裝在無(wú)人車車頂，測(cè)試并采集無(wú)人車行駛在沙石路況中得到的角加速度帶噪信號(hào)，并運(yùn)用單一中值濾波算法、離散小波通用閾值去噪法及本算法對(duì)該原始信號(hào)進(jìn)行處理，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示。

圖7 無(wú)人車沙石路況測(cè)試結(jié)果Fig.7 Test results of driverless vehicle in gravel road

從結(jié)果中可以看到，由于無(wú)人車行駛在路況較差的沙石路段，車體顛簸較為明顯，此時(shí)角加速度計(jì)信號(hào)整體呈現(xiàn)出高動(dòng)態(tài)特征。采用單一濾波算法使得信號(hào)平滑度較好，但丟失了許多細(xì)節(jié)；采用通用閾值小波去噪算法在保留細(xì)節(jié)方面效果較好，但對(duì)于信號(hào)的去噪能力較差；本算法不僅可以有效去除角加速度信號(hào)中的噪聲，同時(shí)能夠很好地保留由負(fù)載產(chǎn)生的高動(dòng)態(tài)部分。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)角加速度信號(hào)的獲取及測(cè)量方式以及角加速度信號(hào)特征的分析，針對(duì)采用直接法獲取到的角加速度計(jì)信號(hào)及其噪聲特性，提出了一種采用中值濾波與離散小波閾值去噪法相結(jié)合的自適應(yīng)降噪算法，并用于分子型液環(huán)式角加速度計(jì)信號(hào)的降噪處理中。通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)分析，可以看到所提出的自適應(yīng)降噪算法能有效提高信噪比，降低最小均方誤差，在處理實(shí)測(cè)角加速度計(jì)信號(hào)中完整保留信號(hào)趨勢(shì)和細(xì)節(jié)。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.06.012

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(6142805,61473040)

2016-03-02；

2016-04-28

TP216.1；TP274.2；TH864

劉彤，男，1975年8月生，講師。主要研究方向?yàn)榻M合導(dǎo)航與智能導(dǎo)航。曾發(fā)表《An optimization method for self-calibration method of dual-axis rotational inertial navigation system》(《Control Conference (CCC)》2013，Vol. 32)等論文。

E-mail：liutong2002@bit.edu.cn