郭琪

[摘? 要] 一題多解是強化學生知識脈絡(luò)、深度拓展解題思維的一種重要的學習方式，對于一題多解的開展應(yīng)該從方法和思想兩個層面來進行，讓學生在學習中不僅獲得解題的方法技巧，還獲得數(shù)學思想的提升. 結(jié)合兩道解析幾何題分別講解方法、思想兩個層面的多解推進.

[關(guān)鍵詞] 一題多解;圓錐曲線;方法;思想;素養(yǎng)

在現(xiàn)階段的多解探究學習中主要沿用了“問題分析—多解嘗試—方法總結(jié)”的模式，對于多解的角度和層面定位較為模糊，不能對問題的多解分析形成更為透徹的認識，實質(zhì)上一題多解應(yīng)該從方法和思想兩個層面來滲透，這樣兩者結(jié)合的多解學習更能體現(xiàn)一題多解開展的價值.

基于方法的多解

開展多題一解，從方法層面多視角地對同一問題進行解答是現(xiàn)階段強化學生知識、提升學生能力最為重要的一種方式. 采用不同的方法，基于不同的原理來分析問題需要學生掌握基本的運算法則和較為清晰的解題思路，下面結(jié)合一道考題講解方法層面的多解.

考題：（2017年全國卷1第10題）已知拋物線C：y2=4x，F(xiàn)為其焦點，過焦點F作兩條相互垂直的直線l1，l2，且直線l1與拋物線C相交于點A和B，直線l2與拋物線C相交于點D和E，求AB+DE的最小值.

分析：相互垂直的直線l1，l2與拋物線C交于四點，求AB+DE的最小值，需要構(gòu)建關(guān)于直線的方程，然后聯(lián)立直線與拋物線的方程，從而分別找到AB和DE關(guān)于相關(guān)參數(shù)的關(guān)系. 構(gòu)建的方法可以采用直接法和參數(shù)法在直角坐標中進行，也可以采用極坐標法在極坐標系中進行，需要注意的是獲得的AB+DE的值必然是一個取值范圍，要注意其等號成立的條件，下面將詳細講解直接法、參數(shù)法和極坐標法的解題過程.

解法1：直線法

解法2：參數(shù)法

解法3：極坐標法

由題意可知p=2，以拋物線焦點為極點建立極坐標系，拋物線開口向右，極坐標方程為ρ=■，假設(shè)點A的極角為α，點B的極角為π+α，AB=ρA+ρB=■，同理可得DE=■，AB+DE=■+■=■≥16，當且僅當α=■時，AB+DE取得最小值16.

點評：直接法、參數(shù)法和極坐標法都是構(gòu)建直線或曲線方程常用的方法，都有其自身的特點，以參數(shù)法為例，通過參數(shù)的設(shè)定，利用參數(shù)來描述直線的變化規(guī)律，將待求問題轉(zhuǎn)化為研究解析幾何的參數(shù)關(guān)系，避免了中間繁復的運算過程. 三種方法的解題思路均是相同的，構(gòu)建直線方程是基礎(chǔ)，探究弦長與相關(guān)參數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵，選擇合理的等號成立條件是重點.

■基于思想的多解

在解題過程中滲透數(shù)學思想是數(shù)學解題的更深層次，同樣開展數(shù)學一題多解的學習可以從思想層面進行，即采用不同的數(shù)學思想對同一問題進行分析、運算，從而降低思維難度，實現(xiàn)問題的簡單作答，該過程不僅可以強化解題技巧，還可以深入學習解題思想，實現(xiàn)思想方法與實戰(zhàn)練習的結(jié)合，接下來將結(jié)合一道?？碱}講解思想層面的一題多解.

考題：已知一拋物線C：y=x2+1，以及x軸上一動點A（a，0），過點A引出拋物線的兩條切線AP和AQ，其切點分別為點P，Q，設(shè)其切線AP，AQ的斜率分別為k1和k2.

（1）試證明k1k2=-4;

（2）試分析直線PQ是否會通過定點，如果通過請寫出定點坐標，否則說明不通過的理由.

第（1）問分析：證明兩斜率之積為一定值，該過程必然需要將斜率用相關(guān)參數(shù)表示，則需要聯(lián)立直線與拋物線的方程，為減少計算量可嘗試采用設(shè)而不求思想和類比思想.

解法1：設(shè)而不求思想

假設(shè)經(jīng)過點A并與拋物線相切的直線斜率為k，切線方程為y=k（x-a），聯(lián)立切線方程和拋物線解析式，y=k（x-a），y=x2+1，整理得x2-kx+（ka+1）=0，Δ=k2-4ak-4=0，k1和k2是方程的兩個解，所以有k1k2=-4，證畢.

解法2：類比思想

第（2）問分析：分析直線通過的定點，需要求出直線的方程，總體上來說可以先設(shè)出直線上點P和Q的坐標，通過關(guān)系聯(lián)立，基于兩點來建立直線的斜率公式，從而逐步求解直線的方程，從思想層面來分析構(gòu)建過程可以采用類比思想、整體代換思想和設(shè)而不求思想.

解法1：類比思想

解法2：整體代換思想

解法3：設(shè)而不求思想

點評：上述題目為高中解析幾何問題，計算量大、求解復雜是其最為典型的特點，因此從思想層面的分析、簡化步驟可以采用設(shè)而不求、類比和整體代換等思想，題目的求解過程也同樣是基于上述思想來設(shè)未知量，構(gòu)建基本的解題框架，最終實現(xiàn)了問題的高效求解.

關(guān)于教學實踐的啟示

1. 扎實基礎(chǔ)知識，生成程序化思路

小問題蘊含大智慧，同樣的大問題需從基礎(chǔ)問題入手，尤其適用于高考、?？贾械木C合題，上述求解解析幾何的綜合題是從不同的角度進行的分析解答，可以明顯注意到無論是哪種角度都是采用最為基礎(chǔ)的方法、定理以及公式，運用基礎(chǔ)知識來逐步探究問題，從而構(gòu)建問題的解題思路. 當然，基礎(chǔ)知識是一方面，靈活選用是解題的另一方面，但是沒有扎實的基礎(chǔ)以及對基礎(chǔ)知識的深刻理解，就做不到準確把握解題方向，無法順利推進解題進程，更無法在解題過程中抓住思維靈光一閃的瞬間，促成解題思維的頓悟. 因此，注重基礎(chǔ)、生成程序化思考問題的習慣應(yīng)成為學習的重要任務(wù).

2. 并重方法與思想，擴充思維深度

傳統(tǒng)的多解探究更為注重對于方法選取的思考，多解的思想過于狹隘，在當下注重學生方法、能力、思想等多方面提升的環(huán)境下，開展一題多解的探究應(yīng)從方法和思想兩方面來進行，尤其是更深層的多思應(yīng)成為多解學習過程中的重點. 將方法和思想結(jié)合起來，在多解的過程中滲透數(shù)學思想，用思想方法來引領(lǐng)一題多解，讓學生不僅掌握數(shù)學的解題方法，還要通過思想方法的多思獲得數(shù)學思想的提升，從而真正實現(xiàn)“解一道題，會一類題”的學習效果，確保學生思想深度的擴充.

3. 培養(yǎng)思維品質(zhì)，落實核心素養(yǎng)

在中學教學中落實數(shù)學的核心素養(yǎng)是課改推行的首要任務(wù)，提升數(shù)學的核心素養(yǎng)，不止于解題本身，是真正做到理解數(shù)學，掌握數(shù)學. 對于圓錐曲線問題，解題的關(guān)鍵能力是數(shù)學關(guān)系的邏輯推理和數(shù)學的技巧運算，做到兩者的完美結(jié)合可實現(xiàn)問題的完美作答，對于一題多解同樣適用，只是在前者的基礎(chǔ)上增加了更多思想層面的思考. 因此，在實踐教學中需要引導學生更多地掌握解題的運算法則、解題的思路要點，領(lǐng)悟解題的思維視角，逐步幫助學生養(yǎng)成有條理、重論據(jù)、講道理的思維品質(zhì)，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提升.

寫在最后

總之，對于一題多解的探究需要從方法和思想兩個層面來進行，透過問題現(xiàn)象，把握問題本質(zhì)，從解題思路入手，選取合適的解題方法和解題思想，用思想指導方法，用方法簡化過程，最終實現(xiàn)高效解題的目的. 另外，在教學中要合理、適度地開展一題多解，通過方法和思想的雙重指導，提升學生解題能力，發(fā)展學生思維的靈活性和發(fā)散性，在解題中逐步培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)，形成數(shù)學的核心素養(yǎng).