柯炳春

摘 要：解題教學(xué)中利用變式對一個數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深入地探究和適當(dāng)?shù)耐卣?，有利于改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

關(guān)鍵詞：探究教學(xué)；學(xué)習(xí)方式；思維創(chuàng)新

在解題教學(xué)中，利用變式對一個數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深入地探究，能激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動學(xué)生數(shù)學(xué)思維的自主性和靈活性，促進(jìn)學(xué)生自主地進(jìn)行多方位、多角度的自主探究、合作交流，利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性，從而轉(zhuǎn)變學(xué)生他主、單一、被動接受的學(xué)習(xí)方式，形成自主探索、動手實踐、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣.下面以華東師大版七年級下冊《多邊形的內(nèi)角和與外角和》的教學(xué)片斷為例，談?wù)勛兪教骄繉Ω纳茖W(xué)生學(xué)習(xí)方式的作用.

1 教學(xué)片斷及分析

1.1 主體變式，促進(jìn)樂學(xué)

例：一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的5倍，這個多邊形是幾邊形？

師：經(jīng)過剛才的探究與求解，你能對這道例題設(shè)計其他條件嗎？

學(xué)生1：一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的6倍，這個多邊形是幾邊形？

學(xué)生2：多邊形的內(nèi)角和與外角和的比為m︰n，求這個多邊形的邊數(shù).

…

師：同學(xué)們的變式題型有以下兩類：一是多邊形的內(nèi)角和是外角和的倍數(shù)關(guān)系，如：一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的n倍，求這個多邊形的邊數(shù)；二是多邊形的內(nèi)角和與外角和的比的關(guān)系，如：一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的比為m︰n，求這個多邊形的邊數(shù).

教學(xué)分析：學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體對問題進(jìn)行變式，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性.促進(jìn)學(xué)生對問題思考，經(jīng)歷提出問題、分析問題、解決問題的實踐過程，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗.老師適時將問題進(jìn)行一般化總結(jié)歸納，利于學(xué)生對知識的掌握，思維和能力得到了培養(yǎng).

1.2 分享交流，優(yōu)化思維

師：開展分享交流活動，一位同學(xué)提出問題，另一位同學(xué)解決問題.

學(xué)生3：一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的幾分之幾，求這個多邊形的邊數(shù).如，一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的三分之一.

學(xué)生4：不對，應(yīng)該是“一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的三分之一”.因為多邊形的內(nèi)角和（n-2）×180°中n≥3，除了三角形的內(nèi)角和為180°，其他的多邊形的內(nèi)角和都不小于它的外角和.

師：你說得很好，不但思考了如何變式，還把問題的可行性都考慮周全.我們嘗試一下這種方法的變式與求解.如，一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的，求這個多邊形的邊數(shù).同學(xué)們先獨立完成，然后再小組進(jìn)行交流.

學(xué)生5：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，得：360°=（n-2）×180°×，去分母，得n=9.

學(xué)生6：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，得：360°=（n-2）×180°×，兩邊同除以180°，得2=（n-2）×，從而n=9.

教學(xué)分析：讓學(xué)生嘗試?yán)}變式提出新條件，既能幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和的內(nèi)在聯(lián)系，又能較好地激勵學(xué)生主動地進(jìn)行多思考、多探索、多動手.

1.3 呵護(hù)奇思，激發(fā)創(chuàng)新

學(xué)生7（主動舉手）：老師，我們小組有一種好方法.設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，因為n邊形的外角和是內(nèi)角和的，所以得：n=2+7=9（其中2 是分子，7是分母）.

師：“直接用分子與分母相加？這種解法竟然如此簡易！解法是否正確呢？能適合其他題目嗎？”

眾生：變式一些題目試試看.

學(xué)生8：可以，我們小組發(fā)現(xiàn)如果一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的或，用分子與分母相加或者用公式運算結(jié)果都是正確.

學(xué)生9：我們小組發(fā)現(xiàn)，如果一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的，用此法求這個多邊形的邊數(shù)，則這個多邊形應(yīng)該是三角形，但是通過計算卻是六邊形.

學(xué)生10：我們小組發(fā)現(xiàn)，如果一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的，如果用此法求這個多邊形的邊數(shù).這個多邊形應(yīng)該是四邊形，但是通過計算卻是八邊形.因此，我們采用逆向的方法求多邊形的外角和與內(nèi)角和的比，發(fā)現(xiàn)只有兩種情況，即一種是分子是1，這時多邊形的邊數(shù)是偶數(shù)；另一種分子是2，這時多邊形的邊數(shù)是奇數(shù).奇數(shù)邊的多邊形此法是適用的，但偶數(shù)邊的多邊形此法不能用.

學(xué)生11：老師，如果多邊形邊數(shù)是偶數(shù)，把分子加上分母后，再乘以2就可以了.

師生共同歸納，探討得出結(jié)論：

一個n邊形的外角和是內(nèi)角和的時，求這個多邊形的邊數(shù)n.

（1）當(dāng)b=1時，n邊形的邊數(shù)是偶數(shù)，且n=2×（a+b）.

（2）當(dāng)b=2，且a≠1時，n邊形的邊數(shù)是奇數(shù)，且n=a+b.

學(xué)生12：老師，三角形是特殊的，即：當(dāng)b=2，且a=1時，n邊形的邊數(shù)是三角形.

學(xué)生13：老師，我們可以把都化成，就可以得：

（1）當(dāng)m>2時，且n=m+2.

（2）當(dāng)m=1時，n邊形是三角形.

教學(xué)分析：學(xué)生在參與數(shù)學(xué)變式的過程中，往往會有出乎意料、超乎教學(xué)預(yù)設(shè)的“奇思妙想”.而同學(xué)們的這些“奇思妙想”，往往是課堂教學(xué)有價值的“生成”，是學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和思維創(chuàng)新的雛形.

2 教學(xué)反思

2.1 數(shù)學(xué)變式教學(xué)有利于改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式

課標(biāo)指出，學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程；除接受學(xué)習(xí)外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.學(xué)生以主體方式對“內(nèi)角和與外角和的關(guān)系問題”進(jìn)行變式探究與解答，一方面調(diào)動學(xué)生的積極性、主動性，激發(fā)學(xué)生的求知欲，激發(fā)學(xué)生的主體潛能；另一方面學(xué)生在動手實踐、自主探索中不斷地感受成功的體驗，獲得學(xué)習(xí)的快樂，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生進(jìn)行生動活潑的、主動的和富有個性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).隨著問題變式與拓展的深入，學(xué)生那些常識性、經(jīng)驗性的知識派上用場的同時，不斷地出現(xiàn)對數(shù)學(xué)問題的表述、歸納以及新問題等諸多困難，此時，同學(xué)與同學(xué)之間、同學(xué)與老師之間進(jìn)行多角度、多形式的互動成為學(xué)習(xí)探究、問題解決的必然趨勢，每一位學(xué)生在生生、師生互動中積極地自主探索、獨立思考、動手實踐.從而，學(xué)生自主探索、動手實踐、合作交流的學(xué)習(xí)方式逐步形成，他主、單一、被動接受的學(xué)習(xí)方式得到改變.

2.2 尊重學(xué)生的獨特感悟有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識

從學(xué)生對“內(nèi)角和與外角和的關(guān)系”的問題變式到“一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的，求這個多邊形的邊數(shù)”的一題多解，由淺入深、由易到難、從特殊到一般，循序漸進(jìn)地誘發(fā)學(xué)生積極探索，使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的探究欲望，始終處于“跳一跳摘果子”的狀態(tài)，達(dá)到“道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而旨達(dá)”的境界，不斷地提升主體的思維參與程度，積極主動地參與探究發(fā)現(xiàn)活動，大膽地進(jìn)行“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)，積極地孕育著數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)新.正如德國教育家第斯多惠所說：“教學(xué)的藝術(shù)不僅在于傳授本領(lǐng)，而更重要的是善于激勵、喚醒和鼓舞”.