馮玉明+陳賈

【摘要】對(duì)一個(gè)行列式的擴(kuò)階指的是：在已知行列式中，添加適當(dāng)?shù)男泻土?，得到新的行列式，使得該行列式的值與已知行列式的值相等.本文利用行列式的基本性質(zhì)，對(duì)行列式擴(kuò)階進(jìn)行了初步研究，得到了一些有意思的結(jié)果.

【關(guān)鍵詞】矩陣；行列式；擴(kuò)階

一、預(yù)備知識(shí)

通過文獻(xiàn)[1]我們知道行列式的基本算法和表示方法.現(xiàn)在我們看一看如何表示和計(jì)算一個(gè)矩陣的行列式.

n階矩陣A的行列式，記做

D=|A|=a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann.

矩陣A的行列式也可以定義為

D=|A|=∑i1i2…in（-1）t（i1i2…in）ai11ai22…ainn，

其中i1i2…in為n個(gè)自然數(shù)1，2，…，n的一個(gè)排列，t（i1i2…in）為i1i2…in排列的逆序數(shù).

對(duì)于n各不同的元素，先規(guī)定各元素間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序，在這n個(gè)元素的任意排列中，當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就說有一個(gè)逆序.一個(gè)排列i1i2…in中所有逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序，記做t（i1i2…in）.

n階行列式中，把元素aij所在的第i行及第j列劃去后，留下的（n-1）2個(gè)元素按照原來的排法構(gòu)成的n-1階行列式稱為元素aij的余子式，記Mij.

Mij冠以符號(hào)（-1）i+j得Aij=（-1）i+jMij，Aij稱為元素aij的代數(shù)余子式.

定義1.1[1] 設(shè)A=（aij）是n階矩陣，D=|A|，那么

（1）D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin.（i=1，2，…，n）

（2）D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj.（j=1，2，…，n）

二、主要結(jié)論

定理2.1 在n階行列式中每個(gè)相鄰元素間插入0，其他空余位置插入1，行列式結(jié)果不變.

證明 經(jīng)計(jì)算可以知道

a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann

=∑i1i2…in（-1）t（i1i2…in）ai11ai22…ainn，

a110a120…0a1n0101…10a210a220…0a2n01001000101…10an10an20…0ann

=∑i1i2…in（-1）t（i1i2…in）ai11ai22…ainn.

因此，定理結(jié)論正確.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張志讓，劉啟寬.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2008.endprint