吳濤

【摘要】數(shù)形結合思想是中學數(shù)學中最為常見的數(shù)學思想之一，在對“數(shù)”與“形”的綜合應用與轉化之中解決許多看似困難的問題.因為其應用廣泛并且意義非凡，因而，也成為中學數(shù)學學習的一個重點和難點，本文主要通過數(shù)形結合在中學數(shù)學中的應用實例來明確其應用的方式和相應的解題方法.并提出相應的學習方法，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合能力和意識.

【關鍵詞】數(shù)形結合思想；中學數(shù)學；結合應用

中學數(shù)學是一門需要技巧與思想的學科，其內容如三角函數(shù)、立體幾何、導數(shù)、向量均不是容易掌握的內容，而數(shù)形結合思想的應用可以便利的解決這些內容中大部分原本晦澀難懂的問題.而如何準確且熟練地在解題過程中應用數(shù)形結合思想便利學生的數(shù)學學習便是本文的研究重點，具體而言，數(shù)形結合思想有何明顯的特征？如何使用數(shù)形結合思想解決現(xiàn)實問題？都是本文要回答的問題.

一、數(shù)形結合思想簡述

數(shù)與形是數(shù)學研究的兩個基礎學科.早在數(shù)學發(fā)展的初期，人們就知道他們可以用簡單的數(shù)字表達，以幫助他們理解和記憶.近代以來，“數(shù)形結合”四個字正式出現(xiàn)是在華羅庚先生的數(shù)學著作《談談與蜂房有關的數(shù)學問題》一書中，算是近代數(shù)學思維體系中第一次把數(shù)形結合確立為思想的范疇加以分析和應用.數(shù)形結合思想和應用幾乎貫穿整個中學數(shù)學學科教材的始終，從實數(shù)、平面幾何、方程、函數(shù)到導數(shù)、立體幾何、圓錐曲線、實際應用等幾乎全部的數(shù)學學習內容都可以發(fā)現(xiàn)數(shù)形結合思想的蹤跡，這也是為什么要研究數(shù)形結合思想的最重要的因素，分布廣泛.

二、數(shù)形結合思想的具體應用

（一）利用數(shù)形結合求解集合問題

例1 已知集合U={x|x2-3x-28≤0}，K={x|x2-x-6>0}，則U∩K為（ ）.

A.{x|x>3或x<-2}

B.{x|-1≥x≥-4或3≤x<7}

C.{x|-2≥x≥-4或3

D.{x|x<-2或x≥3}

集合作為中學數(shù)學的基本問題解決的是一定范圍的、確定的對象之間關系的問題.它是一個數(shù)學的基礎理論.但是對問題的描述往往枯燥而缺乏生動形象的形式.因而，數(shù)形結合能夠有效地解決這類問題.首先，所有的集合問題都可以根據(jù)對相應對象的代數(shù)描述獲取其幾何表示的信息，這要求具有一定的數(shù)形結合能力和意識，具體到本題而言，根據(jù)題干中提供的兩個集合（求解二次方程獲得解集）將解集各自表示在一條一維坐標軸上，如下圖所示.

根據(jù)集合中對交集的描述，很容易解決問題.

（二）利用數(shù)形結合求解函數(shù)問題

例2 一次函數(shù)y=kx+b與二次函數(shù)y=cx2+bx+k在同一直角坐標系中的圖像大致位置可能是（ ）.

“以形助數(shù)”思想在數(shù)形結合問題中最為常見，其可以化解傳統(tǒng)代數(shù)問題缺乏形象直觀的問題，它可以應用于函數(shù)的最基本的功能，以及更復雜的三角函數(shù)，多函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等，基本方法就是利用直觀的函數(shù)圖像來還原隱藏在題目字里行間的解題信息，圖像的交點，單調性，對稱性的函數(shù)，定義域和值域，最值問題可以通過適當?shù)暮瘮?shù)圖像解決.例2是一類基本的函數(shù)應用問題——畫函數(shù)圖像.函數(shù)圖像是數(shù)形結合的重點，而這類型的應用也是后期很多題型的基本特點和組成要素.所以，在初識函數(shù)的時候要善于利用數(shù)形結合思想理清不同函數(shù)的性質和圖像走勢，這對學習知識、強化能力都大有裨益.

（三）利用數(shù)形結合求解特殊問題

數(shù)形結合思想還可用來求解一類中學數(shù)學中的特殊問題.所謂特殊問題，是指這類問題常常是某個具體知識的變化或者某幾種不同問題的結合.這類問題主要有：復雜函數(shù)的對稱性問題、零點問題、多內容綜合問題等.

例3 已知0

D.1，2，3

上述問題就屬于本節(jié)所言的特殊問題，初看上去，這是一道求解方程實根的問題，可是該方程并不是一個簡單的基本形式的方程，可以看出，

在其中含有指數(shù)，對數(shù)，絕對值.而且對數(shù)函數(shù)的底數(shù)是一個有自身定義域的值.這樣一個綜合性的問題，它是中學數(shù)學教學當中用來比較學生解決問題的能力和用組合思想解決問題的次數(shù).根據(jù)相關函數(shù)的圖像，可以畫出該方程的圖像，如右圖.

根據(jù)基本方程，我們可以知道，根的數(shù)目是兩個圖像的交點的數(shù)目，所以我們可以在解決這個問題的幫助下，得知組合的數(shù)量和形狀.

三、結 語

“數(shù)形不分家”是基本的數(shù)學理論，數(shù)形結合思想可以將枯燥的“數(shù)”和生動的“形”緊密地結合起來.在該選題對數(shù)形結合思想的研究之中，筆者對其在化繁為簡、化難為易方面的能力有了直觀的感受，相信這也是奮斗在中學教學一線的教師和學生們共同的感受.而要在日常的教學學習實踐過程中多加總結才能豐富數(shù)學見聞、掌握數(shù)學知識、領略數(shù)學科學精深的魅力.

【參考文獻】

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