數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用

羅逸凡

摘 要：數(shù)學(xué)是研究在現(xiàn)實(shí)世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門(mén)學(xué)科。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法。其中數(shù)與形是矛盾但又統(tǒng)一的兩個(gè)方面。數(shù)是形的抽象和概括；形是數(shù)最直觀的體現(xiàn)方式。利用數(shù)形結(jié)合的思想可以深刻揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。本文在概述了數(shù)形結(jié)合定義的基礎(chǔ)上，通過(guò)實(shí)例分析了數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中的重要性。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；解題；應(yīng)用

一、數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，指的是根據(jù)數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。利用數(shù)形結(jié)合的思想，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形相結(jié)合，可以使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得直觀化、生動(dòng)化，大大簡(jiǎn)化了解題的過(guò)程。

數(shù)形結(jié)合主要包括兩種情況。第一種情況是“以數(shù)解形”，指的就是有些圖形比較簡(jiǎn)單，直接觀察時(shí)并不能看出其中的規(guī)律，這個(gè)時(shí)候就需要給予圖形相應(yīng)的比值，比如邊長(zhǎng)等；第二種情況是“以形助數(shù)”，指的就是把“數(shù)”相對(duì)應(yīng)的形找出來(lái)，然后利用形象直觀的圖形來(lái)解答問(wèn)題，比如利用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)。

二、數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合的思想方法在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中的應(yīng)用是非常廣泛的。接下來(lái)我們通過(guò)具體的實(shí)例來(lái)說(shuō)明數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用。

（一）數(shù)形結(jié)合在解方程方面的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合在應(yīng)用解方程時(shí)，首先要根據(jù)所給的方程構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)；其次根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)繪制出相應(yīng)的函數(shù)圖像；最后觀察圖像，利用圖像的特點(diǎn)對(duì)方程進(jìn)行解答。數(shù)形結(jié)合在解方程方面的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下兩種情況。

1.判斷方程解的個(gè)數(shù)

如果給出的方程等號(hào)兩邊是可以作出圖像的函數(shù)，包括三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等，這時(shí)利用數(shù)形結(jié)合，觀察在同一坐標(biāo)系中兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)和交點(diǎn)的情況就可以判斷方程解的個(gè)數(shù)。

例1：解x的方程[x-2=logxa]，其中a>0且a≠1。

一次函數(shù)[y=x-2]與對(duì)數(shù)函數(shù)[y=logxa]直接求解其個(gè)數(shù)難度是比較大的，但是利用數(shù)形結(jié)合就可以直觀地解出答案。先在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖像，然后根據(jù)a的取值情況來(lái)確定解的個(gè)數(shù)。

當(dāng)0

當(dāng)a>1時(shí)，由圖2可以看出兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以原方程有兩個(gè)解。

2.解方程中參數(shù)的取值范圍

如果已經(jīng)知道含有參數(shù)方程解的個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像，之后由形思數(shù)，與不等式或者是不等式組相結(jié)合，就可以求出參數(shù)的取值范圍。

例2：關(guān)于x的方程x2+2mx+2m=0的兩個(gè)解都在-1和3之間，求參數(shù)m的取值范圍。

設(shè)f（x）=x2+2mx+2m，如圖3所示，其圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解。由y=f（x）的圖像可以知道，想要使x的方程x2+2mx+2m=0的兩個(gè)解都在-1和3之間，只需要f（-1）>0，f（3）>0，f（-m）<0同時(shí)成立，可以求出-1

（二）數(shù)形結(jié)合在求最值問(wèn)題方面的應(yīng)用

最值問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，在實(shí)際應(yīng)用中也是十分廣泛的。求最值問(wèn)題的方法很多，有均值不等式、三角函數(shù)法和換元法等，但利用數(shù)形結(jié)合法是很直觀的。利用數(shù)形結(jié)合對(duì)最值問(wèn)題進(jìn)行求解，就可以將代數(shù)中的計(jì)算與幾何圖形的直觀描述相互結(jié)合，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。數(shù)形結(jié)合在求最值問(wèn)題中的應(yīng)用主要包括兩個(gè)方面。

1.形如m=ax+by函數(shù)的最值問(wèn)題，我們就可以借助直線的截距來(lái)求解

例3：假設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2+8x-6y+16=0，求x+y的最小值。

通過(guò)已知條件x2+y2+8x-6y+16=0，可以得到（x+4）2+（y-3）2=9，于是x+y的最小值變成通過(guò)圓（x+4）2+（y-3）2=9上的點(diǎn)。令x+y=m，那么y=-x-m，作斜率為-1的平行直線系，那么x+y的最小值就是這些平行直線中縱截距的最小值。

例4：已知x、y滿足[x216+y225=1]，求y-3x的最大值與最小值。

令y-3x=m，那么y=3x+m，于是原題就成為在橢圓[x216+y225=1]上求一點(diǎn)，通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的直線斜率是3，并且在y軸上的截距最大或最小。如圖4所示，當(dāng)直線y=3x+m與橢圓[x216+y225=1]相切時(shí)，存在最大截距和最小截距。所以由直線y=3x+m與橢圓[x216+y225=1]相結(jié)合得出169x2+96mx+16m2-400=0，又有λ=0，得出m=±13，所以y-3x的最大值是13，最小值是-13。

2.形如[y=fx+ag（x）+b]函數(shù)的最值問(wèn)題

我們就可以將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)點(diǎn){g（x），f（x）}，（-b，-a）連線斜率的最值來(lái)求解。

（三）數(shù)形結(jié)合在不等式方面的應(yīng)用

利用數(shù)形結(jié)合解不等式主要是要根據(jù)題設(shè)的條件和解題的目的，構(gòu)造合適的圖形，用圖形與圖形之間的關(guān)系來(lái)說(shuō)明數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。有些題型是具有很明顯的特征，具有這種特征的不等式用數(shù)形結(jié)合是較簡(jiǎn)便的。

第一種是不等式兩邊的表達(dá)式不能轉(zhuǎn)化成熟悉的形式，一般是結(jié)合指數(shù)和對(duì)數(shù)的形式，然后與一次函數(shù)或者是二次函數(shù)做比較。遇到這類題型，首先要確定做哪些函數(shù)的圖像，再寫(xiě)出這些函數(shù)的表達(dá)式，將等式兩邊的函數(shù)，左邊部分寫(xiě)成y=f（x），右邊部分寫(xiě)成y=g（x）；接著做出y=f（x）與y=g（x）的圖像；最后根據(jù)給出的條件判斷不等式的解集?？偟囊缶褪莊（x）的圖像在g（x）上方時(shí)x的取值范圍。

例5：解不等式[x+2>x]。

設(shè)y=f（x）=[x+2]，y=g（x）=x，那么不等式[x+2>x]的解集就是使y=f（x）=[x+2]的圖像在y=g（x）=x上方的那段對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，如圖5所示，不等式的解集是{xIxA≤x≤xB}，xB從[x+2]=x得到xB=2，xA=-2，所以不等式[x+2>x]的解集是{xI-2≤x≤2}。

第二種是通過(guò)不等式組就可以求出x和y的取值范圍。遇到這類題型，首先是由已知的不等式求出x和y所在的區(qū)域；其次是要把要求的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成y=f（x）的形式，將所求的量看成一個(gè)參數(shù)，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)做出y=f（x）的圖像；最后是求出這個(gè)參數(shù)的最值。

三、總結(jié)

利用數(shù)形結(jié)合可以解決方程方面、最值問(wèn)題和不等式方面等問(wèn)題，因此數(shù)形結(jié)合的思想方法在數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的地位。數(shù)形結(jié)合將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得直觀、具體，讓人們更容易發(fā)現(xiàn)解題的途徑，所以靈活掌握和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是非常必要的。

參考文獻(xiàn)

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