楊麗平

【摘要】 數(shù)學(xué)是一種文化.數(shù)學(xué)不僅具有工具屬性，還具有文化屬性.本文從文科學(xué)生的特點(diǎn)分析了數(shù)學(xué)文化對大學(xué)文科數(shù)學(xué)教學(xué)的意義和作用，并從傳播數(shù)學(xué)文化的角度，以“定積分概念”為例，從教學(xué)內(nèi)容分析、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)、教學(xué)方法設(shè)計(jì)和教學(xué)過程設(shè)計(jì)等方面進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì).

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)文化;文科數(shù)學(xué);教學(xué)設(shè)計(jì)

自1983年南開大學(xué)在部分文科專業(yè)中開設(shè)數(shù)學(xué)課程以來 [1] ，國內(nèi)許多高校相繼開設(shè)了大學(xué)文科數(shù)學(xué)等課程.經(jīng)過三十多年的探索和實(shí)踐，大學(xué)文科數(shù)學(xué)教育已取得了巨大成就.實(shí)踐已表明：在大學(xué)文科專業(yè)中開設(shè)數(shù)學(xué)課程對于培養(yǎng)文科生的數(shù)學(xué)意識和提升文科生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著重要的作用.然而，與理工科數(shù)學(xué)相比，文科數(shù)學(xué)還比較年輕，還存在諸多問題，如對數(shù)學(xué)價(jià)值認(rèn)識不明、學(xué)習(xí)興趣不濃、教學(xué)方式不足、學(xué)習(xí)方法不當(dāng)、教學(xué)內(nèi)容不適等 [2] .近年來，數(shù)學(xué)文化這一概念引起了國內(nèi)外專家學(xué)者的廣泛關(guān)注.數(shù)學(xué)文化觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一種文化.數(shù)學(xué)不僅具有工具屬性，還具有文化屬性 [3] .因此，數(shù)學(xué)教育理應(yīng)承擔(dān)起傳授數(shù)學(xué)知識和傳播數(shù)學(xué)文化的雙重責(zé)任.特別是文科學(xué)生有著與理工科學(xué)生顯著不同的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、專業(yè)背景、學(xué)習(xí)需求和認(rèn)知特點(diǎn)，則對于文科學(xué)生而言，“了解數(shù)學(xué)文化，增進(jìn)理性思維”要比“掌握數(shù)學(xué)工具”更加重要 [4] .

一、數(shù)學(xué)文化對大學(xué)文科數(shù)學(xué)教育的意義

數(shù)學(xué)文化概念雖提出有三十多年，但至今沒有統(tǒng)一的定義.顧沛教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)文化的解釋有狹義和廣義之分，狹義的數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言以及它們的形成和發(fā)展;廣義的數(shù)學(xué)文化是指除狹義解釋外，還包含數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)與人文的交叉、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系 [5] .王新民等人認(rèn)為：數(shù)學(xué)文化是指人類在數(shù)學(xué)行為活動的過程中所創(chuàng)造的物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品，物質(zhì)產(chǎn)品是指數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)語言等知識性成分;而精神產(chǎn)品是指數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)美等觀念性成分.在數(shù)學(xué)文化中，觀念性成分即數(shù)學(xué)觀念是數(shù)學(xué)文化的核心，它可以從精神層面上來影響人們的信念、行為和價(jià)值觀 [6] .

日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏在《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》一書中說道：“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會去用，不到一兩年，就忘掉了.然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等，隨時隨地產(chǎn)生作用，使他們終身受益.”對于大學(xué)文科學(xué)生而言，亦是如此.首先，文科學(xué)生中大部分學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，對數(shù)學(xué)缺乏學(xué)習(xí)興趣，甚至畏懼?jǐn)?shù)學(xué).其次，文科類專業(yè)對數(shù)學(xué)知識要求不高，掌握數(shù)學(xué)知識的多與少、深與淺，不會對后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生直接影響.第三，文科學(xué)生在未來所從事的工作中用到大學(xué)數(shù)學(xué)知識的機(jī)會很少，甚至部分學(xué)生根本就沒有機(jī)會用大學(xué)數(shù)學(xué)知識去解決生活和工作中的問題.第四，文科學(xué)生擅長感性認(rèn)識和形象思維，但理性認(rèn)識和邏輯思維相對較弱，對具體的、直觀的事物認(rèn)識較強(qiáng)，對抽象的、邏輯的概念理解較弱.以上這些特點(diǎn)決定了在大學(xué)文科數(shù)學(xué)教學(xué)中傳播數(shù)學(xué)文化要比單純地傳授數(shù)學(xué)知識有意義得多.

除此之外，在大學(xué)文科數(shù)學(xué)教學(xué)中傳播數(shù)學(xué)文化還具有以下作用：

1.有助于提高文科學(xué)生對數(shù)學(xué)及其價(jià)值的認(rèn)識.文科學(xué)生通常對數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值認(rèn)識較為充分，但對數(shù)學(xué)所具有的社會價(jià)值知之甚少.通過數(shù)學(xué)與文化的融合，可以使他們了解數(shù)學(xué)在人類文明進(jìn)步和社會文化發(fā)展中的作用，提高他們對數(shù)學(xué)的價(jià)值，特別是社會價(jià)值的認(rèn)識.

2.有助于培養(yǎng)文科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.數(shù)學(xué)文化讓學(xué)生面對的不再是枯燥的計(jì)算和復(fù)雜的推導(dǎo)，而是豐富而有趣的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)趣聞、數(shù)學(xué)美以及數(shù)學(xué)應(yīng)用等文化成分，可以使文科學(xué)生更好地感受數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

3.有助于提高文科學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)觀將學(xué)生的視野局限于數(shù)學(xué)知識.將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)，可以拓展文科學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，培養(yǎng)他們用數(shù)學(xué)的眼光看世界的意識，提高他們用數(shù)學(xué)思維分析問題和解決問題的能力.

二、“定積分概念”的教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)內(nèi)容分析

定積分是大學(xué)文科數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一.定積分概念是學(xué)習(xí)定積分的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)、物理等有關(guān)問題高度抽象的 結(jié)果.除定積分的定義外，本節(jié)還蘊(yùn)含了以下數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容：

1.數(shù)學(xué)史.定積分起源于計(jì)算面積和體積等實(shí)際問題，演化于窮竭法（The method of exhaustion）.古希臘智人學(xué)派學(xué)者安提豐（Antiphon）在解決“化圓為方”的問題上最早表述了“窮竭法”;歐多克索斯（Eudoxus）發(fā)展建立了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母F竭法，并計(jì)算了圓、圓錐和棱錐的體積;歐幾里得（Euclid）在《幾何原本》第Ⅻ篇中運(yùn)用窮竭法證明了命題2，5，10，11，12，18;阿基米德（Archimedes）運(yùn)用窮竭法計(jì)算了橢球體、旋轉(zhuǎn)拋物體等幾何體的體積以及一些阿基米德螺線所包圍的面積.16世紀(jì)至17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們認(rèn)識到窮竭法在邏輯上的優(yōu)美，增長了純計(jì)算的興趣，并從修改阿基米德的窮竭法開始，獲得了計(jì)算面積、體積以及物體重心等的新方法，他們的探索推動了窮竭法向積分的發(fā)展，其中開普勒、費(fèi)馬、格雷戈里、卡瓦列里、瓦利斯等人都做出了巨大貢獻(xiàn).直到牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，窮竭法才被根本地修改，演化成了定積分.今天，窮竭法已成為歷史名詞.

2.數(shù)學(xué)思想.定積分的概念與性質(zhì)中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法.如曲邊梯形面積求解問題、變速直線運(yùn)動路程求解問題都蘊(yùn)含了以直代曲、以常代變，將未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想;定積分定義的導(dǎo)出過程蘊(yùn)含了從特殊到一般，從具體到抽象的歸納思想;以及用近似代替精確的思想方法;用極限求解無限的思想方法;以及量變引起質(zhì)變、用局部認(rèn)識整體的辯證思想等.

3.數(shù)學(xué)應(yīng)用.定積分的產(chǎn)生和發(fā)展從未離開過應(yīng)用.定 積分起源于計(jì)算面積、體積等實(shí)際問題，廣泛應(yīng)用于幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)以及工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)等領(lǐng)域.典型的例子如幾何學(xué)中的曲邊梯形的面積問題、旋轉(zhuǎn)體的體積問題、物理學(xué)中變速直線運(yùn)動的路程問題等.

4.數(shù)學(xué)美.定積分用一個簡單的公式形象直觀地描述了“大化小，常代變，近似和，取極限”的過程，充分展現(xiàn)出了數(shù)學(xué)的形式美和簡潔美.

（二）教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

1.知識與技能：了解定積分的定義過程，能用自己的語言描述曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動的路程求解思路;理解定積分的概念，能用自己的語言描述定積分的定義以及公式中各部分的名稱和含義;理解定積分的幾何意義，能用定積分表示平面圖形的面積.

2.文化與素養(yǎng)：了解定積分的起源、發(fā)展過程及其應(yīng)用;體會以直代曲、以常代變、將未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想;體會從特殊到一般，從具體到抽象的歸納思想;體會量變引起質(zhì)變、用局部認(rèn)識整體的辯證思想等;體會定積分公式展現(xiàn)出的數(shù)學(xué)美.

（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：曲邊梯形面積求解過程和變速直線運(yùn)動路程求解過程及蘊(yùn)含的將未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想;定積分的定義過程及蘊(yùn)含的從具體到抽象的歸納思想;定積分的幾何意義及數(shù)形結(jié)合思想方法.

2.難點(diǎn)：理解曲邊梯形面積求解過程和變速直線運(yùn)動路程求解過程;理解以直代曲、以常代變、將未知轉(zhuǎn)化為已 知的化歸思想;理解從特殊到一般，從具體到抽象的歸納思想.

（四）教學(xué)方法設(shè)計(jì)

本節(jié)主要采用啟發(fā)式、探究式教學(xué)方法.定積分是一個新的概念，但其定義建立在極限基礎(chǔ)上，可以通過極限方法導(dǎo)出.因此，在教學(xué)過程中，可以引導(dǎo)學(xué)生積極思考，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

（五）教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.概述.概述主要介紹定積分產(chǎn)生的過程、思想來源以及應(yīng)用領(lǐng)域，重點(diǎn)闡述“窮竭法”思想，為第三步分析問題做好思路上的鋪墊.

2.提出問題，導(dǎo)入新課.定積分的概念來源于計(jì)算面積和體積等實(shí)際問題.以曲邊梯形面積問題為例導(dǎo)入新課，不僅能帶領(lǐng)學(xué)生“穿越時空”回到古希臘時代，追尋定積分的“足跡”，為探究式教學(xué)創(chuàng)設(shè)情境，還有助于引發(fā)學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生思考.

3.引導(dǎo)探究，解決問題.從方法論的角度講，定積分在概念形成過程中體現(xiàn)出的“以直代曲”“以常代變”“將未知轉(zhuǎn)化為已知”的化歸思想要比定積分概念本身重要得多.因此，在此過程中，要注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，充分體會數(shù)學(xué)的化歸思想.首先引導(dǎo)學(xué)生對“曲邊梯形面積問題”進(jìn)行探究，提煉出“大化小，常代變，近似和，取極限”思路，并將思維過程表示為

A= lim ??λ→0 ?∑ n ?i=1 ?f（ξ i）Δx i. （1）

然后再提出“變速直線運(yùn)動路程問題”，啟發(fā)學(xué)生利用類比方法，按照曲邊梯形面 積問題的解題思路，再次提煉出“大化小，常代變，近似和，取極限”思路，并將思維過程表示為

S= lim ??λ→0 ?∑ n ?i=1 ?v（τ i）Δt i. （2）

在分析過程中，注意讓學(xué)生體會量變與質(zhì)變、局部與整體之間的辯證關(guān)系.

4.啟發(fā)歸納，提煉定義.首先啟發(fā)學(xué)生對上述兩個問題及其結(jié)果進(jìn)行比較分析，引導(dǎo)學(xué)生“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”，去除兩個問題的具體情境和意義，抽取共同特征：（1）問題相同，均是“非均勻分布總量問題”;（2）思路相同，均為“大化小，常代變，近似和，取極限”;（3）結(jié)果相同，表達(dá)式結(jié)構(gòu)一致.然后引導(dǎo)學(xué)生抽象出定積分的定義及其表達(dá)式為

∫b af（x）dx= lim ??λ→0 ?∑ n ?i=1 ?f（ξ i）Δx i. （3）

再引導(dǎo)學(xué)生回到曲邊梯形面積問題，結(jié)合圖形討論定積分的幾何意義.

在此過程中，可以讓學(xué)生充分體會從特殊到一般，從具體到抽象的歸納思想.

5.討論練習(xí)，提升能力.練習(xí)的目的是讓學(xué)生充分理解定積分的定義，理解“大化小，常代變，近似和，取極限”的思維過程.如，

∫1 0x2dx= lim ??λ→0 ?∑ n ?i=1 ?ξ2 iΔx i= lim ??n→∞ ?∑ n ?i=1 ???i n? 2 1 n

= lim ??n→∞ ??1 6? 1+ 1 n?? 2+ 1 n? = 1 3 .

解題的難點(diǎn)在于根據(jù)定義寫出表達(dá)式 ?lim ??λ→0 ?∑ n ?i=1 ?ξ2 iΔx i，關(guān)鍵在于“大化小”，即積分區(qū)間的分割方式.定義中雖對積分區(qū)間的分割結(jié)果有明確要求（即最大分割區(qū)間λ→0），但并沒有給出具體的分割方式（“任意插入若干個分點(diǎn)”）.因此，要引導(dǎo)學(xué)生采用等分方式進(jìn)行分割，在分析過程中，注意讓學(xué)生體會一般與特殊的辯證關(guān)系.

6.總結(jié).引導(dǎo)學(xué)生回顧總結(jié)從兩個實(shí)際問題導(dǎo)出定積分定義和應(yīng)用定積分定義分析解題的過程，將“大化小，常代變，近似和，取極限”解題思路升華到“以直代曲”“以常代變”“將未知轉(zhuǎn)化為已知”的化歸思想，將定積分定義的導(dǎo)出過程升華到“從特殊到一般”“從具體到抽象”的歸納思想，將定義導(dǎo)出到例題求解升華到“實(shí)踐上升到理論，理論指導(dǎo)實(shí)踐”的哲學(xué)思想.

三、結(jié) 語

數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)文化不是一分為二的，而是相互融合、相互滲透的，只有找到二者的最佳契合點(diǎn)，恰如其分地融合在一起，才能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的作用.就如茍長義所說：“數(shù)學(xué)文化在教學(xué)中不是點(diǎn)綴的，而是整體的;不是附著的， 而是有機(jī)的;不是鋪天蓋地的，而是恰如其分的;不是牽強(qiáng)附會的，而是水到渠成的;不是長篇大論的，而是畫龍點(diǎn)睛的.” [7]

【參考文獻(xiàn)】

[1]顧沛，戴瑛，溫媛.借助現(xiàn)代信息技術(shù)手段促進(jìn)數(shù)學(xué)文化融入“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”的教改[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010（2）：1-6.

[2]何穗，胡典順，李書剛.大學(xué)文科數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀與對策[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013（1）：47-50.

[3]張永新.大學(xué)文科數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的雙重性及教學(xué)對策[J].樂山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（11）：34-35，97.

[4]顧沛.培養(yǎng)學(xué)生形象思維、邏輯思維、辯證思維的相輔相成——兼談“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”的教學(xué)改革[J].中國大學(xué)教學(xué)，2010（3）：31-35.

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[7]茍長義，顧沛.以數(shù)學(xué)文化的融入改進(jìn)文科數(shù)學(xué)教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008（6）：5-7.