范叔旺

摘 要 數(shù)學(xué)文化體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的行為方式、思維方式和價(jià)值觀(guān)念，是發(fā)展核心素養(yǎng)的主要途徑之一。如果將數(shù)學(xué)文化滲透到日常教學(xué)中，是每一位數(shù)學(xué)教師都必須直面的問(wèn)題。筆者依托“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施，對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行了探討，取得了較好的效果。現(xiàn)將部分教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)呈現(xiàn)如下。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)文化;問(wèn)題思路

中圖分類(lèi)號(hào)：G632????????????????????????????????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號(hào)：1002-7661（2018）17-0207-01

一、概念引入

問(wèn)題1：1545年，數(shù)學(xué)家Cardan在《重要的藝術(shù)》中出了這么一個(gè)題目：把10分為兩部分，使其乘積為40。

他按照自己的習(xí)慣，設(shè)其中一部分為x，列出方程為x（10-x）=40。但求出的根令他大為不解，甚至感到有些恐慌。你知道這是為什么嗎？

你認(rèn)為 能作為“數(shù)”嗎？它表示什么意義？

設(shè)計(jì)意圖：一是引領(lǐng)學(xué)生重溫歷史，展示數(shù)學(xué)家Cardan研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的風(fēng)采，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題——在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)法做到，從而產(chǎn)生認(rèn)知沖突;二是充分暴露數(shù)學(xué)家的思維過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)家的科研精神，感悟數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)并不神秘，數(shù)學(xué)家也是從常規(guī)問(wèn)題入手的。

問(wèn)題2：根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為該怎么解決Cardan的問(wèn)題？回顧數(shù)系經(jīng)歷了哪幾次擴(kuò)充？每一次擴(kuò)充分別解決了哪些問(wèn)題？

設(shè)計(jì)意圖：一是幫助學(xué)生重新建構(gòu)數(shù)集的擴(kuò)充過(guò)程，即自然數(shù)集—整數(shù)集—有理數(shù)集—實(shí)數(shù)集，并能提煉出數(shù)系擴(kuò)充的一般原則。這是本節(jié)課知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。二是使學(xué)生從 出發(fā)，自然想到只要“負(fù)數(shù)開(kāi)方”行得通。這樣的方程就能解了。

二、概念形成

問(wèn)題3：根據(jù)大家的想法，假設(shè)我們引進(jìn)了一個(gè)新的“數(shù)”i，它服從i²=-1。我們希望對(duì)i能與實(shí)數(shù)一起進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算，這樣，你覺(jué)得會(huì)產(chǎn)生哪些類(lèi)型的“新數(shù)”？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己“創(chuàng)造”出3i，-5i，2+3i，2-5i，……

追問(wèn)（1）這些“新數(shù)”能用一種統(tǒng)一的形式表示嗎？

追問(wèn)（2）如果把實(shí)數(shù)與i進(jìn)行加、乘后得到的“數(shù)”的集合記作C，那么實(shí)數(shù)集與集合C有什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生得出這種“新數(shù)”的一般符號(hào)表示 （其中 為實(shí)數(shù)），感受為什么把集合 作為實(shí)數(shù)集擴(kuò)充后的新數(shù)集，并得出實(shí)數(shù)集R是C的子集。

三、概念固化

（1）復(fù)數(shù)的定義;（2）復(fù)數(shù)的表示;（3）復(fù)數(shù)的分類(lèi);（4）復(fù)數(shù)集。

問(wèn)題4：閱讀教材（人教A版《數(shù)學(xué)》（選修2-2）第103頁(yè)第一、二自然段），復(fù)數(shù)的基本概念有哪些？

設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般，抽象概括出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，初步理解復(fù)數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力。

問(wèn)題5：形如 一定是虛數(shù)嗎？那么什么情況下是實(shí)數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生由實(shí)數(shù) 的不同取值對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，從而深化復(fù)數(shù)的概念，突破本節(jié)課的重點(diǎn)。

問(wèn)題6：請(qǐng)你說(shuō)出下列集合之間的關(guān)系：N，Z，Q，R，C。

教師結(jié)合PPT簡(jiǎn)單介紹復(fù)數(shù)的發(fā)展歷史：1545年意大利數(shù)學(xué)家“怪杰”Cardan第一次開(kāi)始討論負(fù)數(shù)開(kāi)平方的問(wèn)題，當(dāng)時(shí)復(fù)數(shù)被他稱(chēng)為“詭辯量”;1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒才給這種虛幻之?dāng)?shù)取名為“虛數(shù)”;1777年歐拉說(shuō)這種數(shù)只是存在于“幻想之中”并用i（imaginary，即虛幻的縮寫(xiě)）來(lái)表示他的單位;1801年德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯給出了復(fù)平面的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，使之通行于世。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)向?qū)W生介紹復(fù)數(shù)的發(fā)展史，說(shuō)明雖然現(xiàn)在看來(lái)簡(jiǎn)單的數(shù)系，但它的發(fā)展卻歷經(jīng)艱難與艱險(xiǎn)。數(shù)學(xué)的發(fā)展如同數(shù)系的發(fā)展一樣需要幾代數(shù)學(xué)家歷經(jīng)長(zhǎng)時(shí)間的努力才能得到完善，通過(guò)暗線(xiàn)的設(shè)置順利地完成了本節(jié)課的情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)的教學(xué)目標(biāo)。

四、教學(xué)反思

本節(jié)課的主要數(shù)學(xué)思想方法是類(lèi)比。首先，類(lèi)比“自然數(shù)—有理數(shù)—實(shí)數(shù)”的擴(kuò)充過(guò)程，教師從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展要求和解決實(shí)際問(wèn)題的需要出發(fā)，闡述數(shù)系擴(kuò)充的歷史、原則與方法，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)數(shù)及其運(yùn)算中得到啟發(fā)，自然地提出數(shù)系如何擴(kuò)充、擴(kuò)充應(yīng)研究哪些問(wèn)題。其次，指導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比方程x²-2=0來(lái)解 。再次，指導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比 探討 。本節(jié)課的另一種數(shù)學(xué)思想是分類(lèi)。教師指導(dǎo)學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分類(lèi)解一元二次方程 。學(xué)生在思考與研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，自然受到數(shù)學(xué)文化的熏陶。

在概念引入環(huán)節(jié)，教師通過(guò)問(wèn)題1—問(wèn)題3的設(shè)置，從學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā)，再現(xiàn)歷史上數(shù)學(xué)家Cardan的問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷與數(shù)學(xué)大師一起發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，感受數(shù)學(xué)大師就在自己的身邊，數(shù)學(xué)大師并不神秘，他們也曾有解不開(kāi)的難題;在虛數(shù)單位i引入環(huán)節(jié);讓學(xué)生追隨數(shù)學(xué)大時(shí)代足跡一步一步接近復(fù)數(shù)與虛數(shù)，慢慢地揭開(kāi)復(fù)數(shù)與虛數(shù)的神秘面紗。小小的“i”經(jīng)過(guò)了兩個(gè)世紀(jì)的努力才被人們接受。數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)并不神秘，大師們通常是在別人習(xí)以為常的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題并窮追不舍。

參考文獻(xiàn)：

[1]張敏.認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)文化挖掘數(shù)學(xué)文化滲透數(shù)學(xué)文化[J].科學(xué)咨詢(xún)（科技·管理），2016（3）：113.