王文相

【摘要】 動(dòng)態(tài)分析的一個(gè)顯著特征是要計(jì)算變量的時(shí)間，這就要引進(jìn)時(shí)間因素來(lái)實(shí)現(xiàn).本文討論了積分和微分方程關(guān)于連續(xù)時(shí)間計(jì)算的數(shù)學(xué)方法，通過(guò)動(dòng)態(tài)模型中的時(shí)間問(wèn)題，根據(jù)變量的變化形式，來(lái)探討變量的時(shí)間路程.

【關(guān)鍵詞】 積分;動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué);時(shí)間序列;靜態(tài)模型

動(dòng)態(tài)學(xué)這個(gè)詞應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析時(shí)，對(duì)不同的經(jīng)濟(jì)學(xué)分類，有各自不同的含義.鮑莫爾（Baumol）教授在其著作“動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)”中，討論過(guò)幾種動(dòng)態(tài)分析方法，每一種對(duì)這個(gè)術(shù)語(yǔ)都賦予了不同含義.在一篇關(guān)于語(yǔ)義學(xué)的文章里，馬契拉普教授羅列了這個(gè)術(shù)語(yǔ)的各種意義，其中包括這樣一種含義：“通常，‘靜態(tài)學(xué)就是靜止的，而‘動(dòng)態(tài)學(xué)是屬于自己的、具有極大優(yōu)越性的理論.”然而，近年來(lái)，動(dòng)態(tài)學(xué)這個(gè)術(shù)語(yǔ)已獲得幾乎是專門的用法：現(xiàn)在它是指這樣的一種分析法，目的在于找出和研究變量明確的時(shí)間路程，或者是給出充分的時(shí)間來(lái)確定這些變量是否會(huì)收斂于某些（均衡）值，這種方法是很重要的，因?yàn)樗@示了妨礙我們研究靜態(tài)學(xué)和比較靜態(tài)學(xué)的關(guān)鍵原因.在比較靜態(tài)學(xué)中，我們總是有這樣的假定：經(jīng)過(guò)調(diào)整過(guò)程必然導(dǎo)致均衡.在動(dòng)態(tài)分析中，我們分兩面性地看待“可達(dá)均衡”的問(wèn)題，而不是假定它必然達(dá)到.

動(dòng)態(tài)分析的一個(gè)顯著特征是要計(jì)算變量的時(shí)間，這就要引進(jìn)時(shí)間因素來(lái)實(shí)現(xiàn).一般有兩種引進(jìn)的方法：一種是把時(shí)間看作連續(xù)變量，另一種是把時(shí)間看作離散變量.前一種情況，在時(shí)間的每一點(diǎn)上變量都要發(fā)生某些變化（例如計(jì)算連續(xù)復(fù)利的情況）;而后一種情況，僅在一個(gè)時(shí)期內(nèi)變量發(fā)生變化（例如僅在每6個(gè)月末加利息）.在某些情況下，一種時(shí)間概念較另一種也許更合適，但正如我們已經(jīng)看到的，當(dāng)離散時(shí)間間隔變得非常短時(shí)，連續(xù)的情況通?？醋麟x散情況的極限.我們先討論與積分和微分方程中和數(shù)學(xué)方法有關(guān)的連續(xù)時(shí)間的情況，之后再轉(zhuǎn)到離散時(shí)間的情況，并利用差分方程來(lái)進(jìn)行分析.

一般說(shuō)來(lái)，靜態(tài)模型中的問(wèn)題，是要求出問(wèn)題內(nèi)某些變量的值，這些內(nèi)生變量滿足某些規(guī)定的均衡條件.應(yīng)用于最優(yōu)化模型的狀況，則變?yōu)榍蟪鍪固厥饽繕?biāo)函數(shù)達(dá)到極大（?。┲档膯?wèn)題（如果二階條件有問(wèn)題，則簡(jiǎn)化為一階條件作為均衡條件）.與此相反，動(dòng)態(tài)模型中的問(wèn)題，通常是根據(jù)變量的已知變化形式（比方已知瞬時(shí)變化率）描述某一變量的時(shí)間路程.

舉一個(gè)例子，上述描述就清楚了，假定已知人口數(shù)量H按照變化率

dH dt =t- 1 2? （1）

隨著時(shí)間而變化.那么我們要問(wèn)：與（1）相符合的人口時(shí)間路程H=H（t）等于什么，也就是說(shuō)，函數(shù)H（t）的具體形式是什么，才使人口數(shù)量與時(shí)間t的關(guān)系滿足（1）式中所規(guī)定的變化規(guī)律.大家都了解，如果我們一開(kāi)始就已經(jīng)知道函數(shù)H=H（t），那么由微分法可求出 dH dt ，但我們現(xiàn)在面臨的問(wèn)題相反，需要從已知的導(dǎo)出函數(shù)求出原函數(shù)，而不是從原函數(shù)求出導(dǎo)出函數(shù)，在數(shù)學(xué)上，我們需要與微分學(xué)的方法完全相反的方法，也就是積分法或積分學(xué).下面我們通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)H=2t 1 2 的確具有形如（1）式中的導(dǎo)數(shù)，因而，顯然它是問(wèn)題的一個(gè)解.麻煩的是還存在類似的函數(shù)，例如，H=2t 1 2 +15或H=2t 1 2 +99，更一般地，

H=2t 1 2 +c（c為任意常數(shù)）. （2）

它們都正好具有同樣的導(dǎo)數(shù)（1）.因此，不能確定唯一的時(shí)間路程，除非有某種方法確定常數(shù)c的值.為了達(dá)到這個(gè)目的，在模型中加入附加信息，這種附加信息就是初始條件或邊界條件.如果我們知道初始人口H（0）[即t=0的H值，讓我們假定H（0）=100]，那么可以確定常數(shù)c的值，在（2）式中，令t=0時(shí)得到

H（0）=2（0） 1 2 +c=c.

假如H（0）=100，那么c=100，且（2）式變?yōu)?/p>

H=2t 1 2 +100.

此處常數(shù)不再是任意的.更一般地，對(duì)任意給定的初始人口H（0），時(shí)間路程將是

H=2t 1 2 +H（0）.

本例中，在任意時(shí)間點(diǎn)上的人口數(shù)量將由初始人口H（0）與包含時(shí)間變量t的另一項(xiàng)之和所組成.這樣的時(shí)間路程的確表明變量隨時(shí)間變化的全部行程.因而，它的確形成動(dòng)態(tài)模型的解.

這個(gè)人口例子雖然簡(jiǎn)單，但說(shuō)明動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì).已知一個(gè)變量隨時(shí)間變化的方式，我們?cè)O(shè)法求出描述這變量的時(shí)間路程函數(shù).在這個(gè)過(guò)程中，我們將遇到一個(gè)或多個(gè)任意常數(shù)，但如果有足夠多的以初始條件形式出現(xiàn)的附加信息，就總可以確定這些任意常數(shù).在比較簡(jiǎn)單的一類問(wèn)題中，例如上面所提到的例子中，可用積分學(xué)的方法求出其解.積分是研究已知導(dǎo)函數(shù)反求其原函數(shù)的方法.在更復(fù)雜的情況下，我們也可以求助于微分方程的已知方法.微分方程是與積分學(xué)有密切關(guān)系的數(shù)學(xué)分支.因?yàn)槲⒎址匠潭x為含有微分或?qū)?shù)表示式的方程，所以，（1）式確實(shí)可看作一個(gè)微分方程.因此，求出它的解時(shí)，我們事實(shí)上已經(jīng)解出了一個(gè)微分方程，雖然它是非常簡(jiǎn)單的一個(gè).

【參考文獻(xiàn)】

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