顏科

[摘 要] 本文以“勾股定理”教學(xué)為例，論證了課堂是問題解決的最佳場所，問題的提出可以讓學(xué)生充分演繹已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識，并將思維延伸到問題解決的過程. 問題解決的過程可以保證學(xué)生的知、情、意、行同時參與，因而可以促進學(xué)生智慧的成長.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)課堂；問題解決；智慧成長

學(xué)生在課堂上的學(xué)習(xí)過程，可以理解為利用所學(xué)知識去分析問題、解決問題的過程. 對于初中數(shù)學(xué)而言，問題解決已經(jīng)作為一個重要的內(nèi)容寫入了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版），從學(xué)生的角度來看，尤其是從學(xué)生成長的角度來看問題及其解決，筆者以為需要挖掘其中別樣的意蘊，這樣才能讓數(shù)學(xué)課堂生動和諧起來，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧得到生長. 本文試以初中數(shù)學(xué)“勾股定理”的教學(xué)為例，談?wù)劰P者的四個基本觀點.

數(shù)學(xué)課堂：問題解決的最佳場所

曾經(jīng)在很長的時間里，數(shù)學(xué)課堂成為學(xué)生厭煩的課堂，一個重要原因，就是學(xué)生在課堂上只接觸到了生硬的數(shù)學(xué)知識灌輸與數(shù)學(xué)知識在習(xí)題里的應(yīng)用. 這種簡單學(xué)習(xí)知識、重復(fù)運用知識的教學(xué)模式，因能夠應(yīng)付考試而在日常教學(xué)中大行其道，但當(dāng)分?jǐn)?shù)的光環(huán)掩蓋了學(xué)生學(xué)習(xí)的痛苦之后，學(xué)生的智慧成長就容易成為一句空話. 所以筆者以為，數(shù)學(xué)作為諸多學(xué)科中語言最簡潔且概括性最強的學(xué)科，應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生智慧生長的最佳場所，而問題解決則應(yīng)當(dāng)成為驅(qū)動學(xué)生感受數(shù)學(xué)魅力的重要途徑.

“勾股定理”是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，其重要性不但體現(xiàn)在勾股定理的應(yīng)用價值上，更體現(xiàn)在勾股定理本身的證明原本就是充滿魅力的一個過程. 有研究者考證，勾股定理至今已有上百種證明方法，而最初畢達(dá)哥拉斯的證明故事更是吸引了數(shù)學(xué)研究者與愛好者，中國的“勾三股四弦五”則勾畫出了中國古人對這一奇異現(xiàn)象的簡潔描述. 透過故事的趣味性，筆者注意到這其實也是一個問題解決的絕佳注腳. 以畢達(dá)哥拉斯的探究為例，從其對朋友家地磚的觀察，到問題的提出，再到問題的解決，這就是一個典型的問題解決過程. 如果能夠讓學(xué)生經(jīng)歷一個類似的問題解決過程，那學(xué)生就能夠感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力，就不會感覺到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個生硬的過程. 而要做到這一點并不困難，可以根據(jù)教材上給出的材料去創(chuàng)設(shè)一個問題情境，如：告訴學(xué)生畢達(dá)哥拉斯探究的故事（不講明細(xì)節(jié)），然后給學(xué)生呈現(xiàn)一個類似的圖案，讓學(xué)生去觀察、思考，看能否提出類似于畢達(dá)哥拉斯提出的問題. 如果能夠提出類似的問題，探究則可以順勢利導(dǎo)；如果不能，則教師再給予適當(dāng)?shù)膯l(fā). 待問題提出之后，就進入了解決問題的過程，即探究的過程，這段過程同樣可以讓學(xué)生自主探究，以感受數(shù)學(xué)研究的魅力（具體的實踐過程在下面兩點詳細(xì)描述）.

事實證明，這樣的教學(xué)設(shè)計確實可以讓學(xué)生感受問題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所起的作用，可以讓學(xué)生感受到提出問題所具有的價值、解決問題所具有的意趣. 而一旦學(xué)生進入這樣的狀態(tài)，真正地成長也就有了可能.

發(fā)現(xiàn)問題：數(shù)學(xué)知識的魅力演繹

發(fā)現(xiàn)問題是問題解決的環(huán)節(jié)，也是學(xué)生利用已有知識與新的情境發(fā)生碰撞的重要環(huán)節(jié)，在這個環(huán)節(jié)中，如果學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)的知識充分運用出來，將此前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所形成的能力充分發(fā)揮出來，則可以充分感受到數(shù)學(xué)知識的魅力.

“勾股定理”教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)問題是需要重點設(shè)計的一個環(huán)節(jié). 在向?qū)W生提供了由不同顏色（課件中以白色和陰影部分呈現(xiàn)）組成的地磚圖形時，學(xué)生首先感受到的是明暗相間的圖形，而少有從“形”的角度去展開研究的，這個時候就需要教師進行引導(dǎo)：同學(xué)們仔細(xì)觀察這一圖案，并從我們已經(jīng)熟悉的“圖形”（加強語氣）的角度去觀察這一圖案，看能否有什么發(fā)現(xiàn)？

這個問題通常是由教師提出，這看起來是約束了學(xué)生的思維，但實際上保證了學(xué)生思考方向不過于發(fā)散，從課堂效率的角度來看，這樣的引導(dǎo)利大于弊. 而學(xué)生在接收到這一問題之后，也確實會將注意力集中到對圖案規(guī)律的研究上來. 于是就有學(xué)生能夠看到其中大小不同的直角三角形，能夠看到大小不同的正方形，在這樣的思維基礎(chǔ)上，教師再利用現(xiàn)代教學(xué)手段，將一個直角三角形及其外接的兩小一大的正方形凸顯出來時，學(xué)生就不會感覺到突兀了.

在這個過程中，教師要注意的是：盡管在問題提出的過程中，教師起到了引導(dǎo)的作用，但仍然可以根據(jù)不同層次的學(xué)生給予不同的指導(dǎo). 這就意味著在教學(xué)中，教師的教學(xué)行為主要是面向?qū)W習(xí)小組的，要根據(jù)不同小組的學(xué)習(xí)進度進行不同的指導(dǎo). 筆者在教學(xué)中，用同組同質(zhì)、異組異質(zhì)的方法來分組，基本功較好的小組，往往能夠從中自主發(fā)現(xiàn)一個直角三角形及其外接的兩小一大的正方形；中等的學(xué)生則有這個意識但比較模糊，難以將圖形凸顯出來，也難以用語言描述；而學(xué)困生則主要是將注意力集中在最小單位的圖案上.

教師基于這樣的現(xiàn)實進行指導(dǎo)，其實可以讓不同層次的學(xué)生在提出問題的時候有一個夯實的基礎(chǔ)，不至于因為問題離自己的認(rèn)知基礎(chǔ)太遙遠(yuǎn)而對問題缺少感知. 因此，這樣提出問題的指導(dǎo)，可以讓學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識得到運用與演繹，在筆者看來這是有效的策略.

解決問題：數(shù)學(xué)思維的有效延伸

解決問題常常是為了有新的發(fā)現(xiàn)，對于“勾股定理”這一內(nèi)容的教學(xué)而言，解決問題的不同之處在于：其他的問題往往是有方向的，甚至是有答案的，問題的解決只是要尋找一個科學(xué)的過程而已. 勾股定理的證明則與之不同，當(dāng)學(xué)生看到一個直角三角形（實為等腰直角三角形）及其外接的兩小一大的正方形時，他們未必想到從面積關(guān)系的角度去有所發(fā)現(xiàn). 而此時教師的指導(dǎo)就面臨著兩難：如果一提醒，那答案幾乎就呼之欲出了，如果不提醒，那學(xué)生可能需要思考很長時間，也未必能夠想到從面積關(guān)系的角度切入去得出直角三角形兩直角邊的平方之和等于斜邊的平方. 怎么辦？

筆者的辦法是利用現(xiàn)代教學(xué)手段，將等腰直角三角形外接的兩個小正方形“切割”成四個三角形，然后將大正方形的兩對角線連接，這樣則得到了四個三角形. 事實證明，只要做這么多，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)上面得到的四個三角形，是可以與下面的四個三角形重合的，教師此時即以期待的眼神看著學(xué)生：重合意味著什么呢？有學(xué)生可能會給出其他的回答，但肯定會有學(xué)生的視角開始伸向“面積”. 而這個思維難點一旦突破，幾乎所有的學(xué)生都能根據(jù)面積關(guān)系寫出表達(dá)式，而表達(dá)式一出，勾股定理基本上也就明晰了.

在這樣的問題解決過程中，如果注意分析學(xué)生的思維，可以發(fā)現(xiàn)：首先，學(xué)生的思維經(jīng)歷了從形象向抽象過渡的階段. 這里有兩個表現(xiàn)：一是從“圖案”向“圖形”的轉(zhuǎn)變，這里有一個數(shù)學(xué)抽象的過程；二是根據(jù)面積關(guān)系得出表達(dá)式，這是用數(shù)量關(guān)系描述形，是數(shù)形結(jié)合思想的自然運用. 這兩步思維可以說是此問題解決的兩個核心，由于教師沒有直接引導(dǎo)，因而這個過程中學(xué)生具有顯著的自主特征. 在這樣的過程中，學(xué)生的思維從無意識地觀察圖案到有意識地研究圖形，從觀察形的位置關(guān)系到通過面積關(guān)系得出等腰直角三角形的直角邊與斜邊關(guān)系，如果算上其后的演繹，則還包括一般直角三角形的直角邊與斜邊的關(guān)系探究等. 這是一個思維不斷延伸的過程，也正是因為思維在不斷延伸，學(xué)生才不斷有新的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)知識才不斷地得到了建構(gòu).

智慧成長：問題解決的教學(xué)價值

相對于傳統(tǒng)的教學(xué)而言，筆者總感覺到基于問題解決的初中數(shù)學(xué)教學(xué)能夠更好地讓學(xué)生暢游在數(shù)學(xué)知識的海洋中. 學(xué)生學(xué)起來沒有壓力，反而在問題解決的驅(qū)動之下表現(xiàn)得動力十足，學(xué)生在問題解決的過程中可能會走彎路，但這些彎路如果從思維的角度來看，也有十分重要的教學(xué)價值. 因為彎路其實就是學(xué)生思維的特點，通過學(xué)生思維的結(jié)果，可以知道不同層次的學(xué)生所表現(xiàn)出來的思維特征，因而教師的教學(xué)也就可以更具針對性.

更重要的是，如果從學(xué)生的角度來看，問題解決可以讓他們更充分地調(diào)動已經(jīng)掌握了的數(shù)學(xué)知識去解決問題. 而即使是對于學(xué)困生而言，雖然他們掌握的數(shù)學(xué)知識偏少，但只要進入了那個情境，他們也會下意識地傾聽別人的想法，還會主動地向他人詢問自己沒有掌握的知識. 在“勾股定理”這一探究過程中，筆者就注意到有學(xué)困生提出這樣的問題：為什么兩個小正方形的面積加起來等于大正方形的面積，就可以得到中間等腰直角三角形三條邊的關(guān)系？筆者一聽到這個問題，就知道他沒有將表示面積的a2轉(zhuǎn)換為表示直角邊長度的平方. 這種轉(zhuǎn)換對于學(xué)困生而言，可能真就是個困難，但這個困難的解決，同樣也就促成了他們數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化意識的建立，因此這就是一個智慧生長的過程. 對于其他學(xué)生而言，這樣的情形就更多了.

總之，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中利用問題的發(fā)現(xiàn)與解決，進而將問題解決作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要途徑，在促進學(xué)生數(shù)學(xué)知識建構(gòu)的同時，可以讓學(xué)生的成長更具智慧性.