(西北工業(yè)大學前邏輯與人工智能研究所，西安 710072)

一、除法的本質及最簡單的自函數問題分析

微積分標準分析中極限法求導數過程中，極限根本就不存在的問題，筆者在文獻2、7中已經表述的很詳盡了。鑒于這個問題統治微積分理論很長時間，因此這里再給出一個較為嚴密的證明(簡單起見，同時不失一般性，就以自函數和二次函數為例)：

由文獻2中的公式3、4、5(即本文的公式6)可知，這是二次函數明確無誤的求導公式。如果文獻2中公式2表示的傳統二次函數求導過程也成立，則它們必然相等。由此可以推知、并且由自函數也可以直接推出(文獻7)，此時必有關系：

(1)

但顯然我們已有：

(2)

以及：

(3)

特別應該注意，由公式3，作為極限，分母上完全可以等于0。于是，由2、3式，我們可得：

(4)

可以清楚地看出，自函數的增量比值函數在自變量趨于0時的極限，明確為0/0，而不是1。也就是絕非其導數1，得證。

當然，這里必須說明，嚴格講公式3中的∞所對應的，應該是分母為無窮小ε，而不是分母為0，分母為0所對應的，只能是“無意義”。這里是一種通常并不嚴格但又常用的寫法。因此，我們不妨把公式3中的∞，就理解成“無意義”，這并不影響討論結果。

總之，事情的本質是：既然經常在教科書中出現的公式3確定了分母上的極限值可以為0，那么對于作為導數的原始定義增量比值函數而言，我們就應該老老實實地直接對分母上的自變量取為0的極限。而不是“無意中地”把分母上的自變量先“消去”(分子分母做除法)再求極限。此時求得的極限，是另一個分母上不出現自變量的函數的極限，而不是原先的增量比值函數也就是作為導數原始定義的那個函數的極限。即：除非不定式0·∞=0·(1/0)=0/0=1/1=1，我們不可能由自函數的增量比值函數在自變量△x→0時的極限求出其導數1，因為顯然，這個極限為不定式(即0/0)，也就是根本就沒有確定的、有意義的值。也就是說，我們明明要求的是分母上有△x的函數A在0點的極限，但卻“無意中”通過除法“消去”了分母上的這個△x，因此實際求的是分母上已經沒有了△x的函數B在0點的極限，還說此極限就是函數A也就是分母上有△x的那個函數在0點的極限。甚至當筆者指出此點時，有人還說只要△x不為0，就可以相除消去它。他們忘了，分子分母相除消去分母上的△x的另一個前提是分母上的△x不能取其在0點的極限值0，但這里恰恰其極限值就是0。直觀理解：設△y=△x，當△x=0時，必有△y=0，此時自然△y/△x=0/0。同理，當△x→0時，也有△y→0，此時自然△y/△x→0/0(當然這個0/0不是“有意義”的函數值或極限值，但這是另一回事。也就是先要其存在，才能確定其是否“有意義”)。因此，就求極限而言，先消去分母上的△x以求分母上明明有△x的函數在△x=0時的極限值在邏輯上是不能被允許的?？墒牵^標準分析的極限法求導，恰恰就是這么干的，因此它只能是錯誤的。

鑒于這個問題的重要性，我們這里可以給出一個更為嚴格的反證法的證明：如欲一分母上有自變量△x的式子(函數)在△x=0點有分母不等于0的“有意義”的極限值K，只能是其分母上再無△x，即通過分子分母的相除消去原式(函數)中分母上的自變量△x，也就是在保持原式的值不變時，分母上的自變量△x=1，因此可以寫為K/1，也就是式中分子分母上的△x有值△x/△x=1/1。而這個所謂“消去”分母上的自變量△x的除法的前提條件(充分必要條件)，不僅要求式中分母上的△x≠0(作為也僅僅作為必要條件之一)，同時也不能有為0的極限值(如果當分母上的△x→0時竟然有極限值為1，即等于△x→1時的極限值，這當然不可能。詳細論證見前面公式1～4的證明；如果當分母上的△x→0時有極限為0，則比值函數在0點必有極限0/0，當然不行；而如果以不允許或沒有△x→0作為除法的先提條件之一，則當然得不到我們希望在△x→0時才會得到的分母不為0的極限值K)。即如果分母上有自變量△x，則不能有△x→0。而原式中分母上有△x，所以原式不能有△x→0時的有意義的極限值(也可以說極限與其函數值一樣，也是0/0)?？梢?，標準分析的所謂極限法求導，實際陷入了邏輯上的循環(huán)論證，也就是：有意義的極限值的(分母無自變量△x→0的非0/0型的)求出要求分子分母先做除法消去分母上的△x，而這個除法又要求分母上的自變量△x不能趨于0(取為0的極限值)。退一步說，即使在分母有極限0的前提下也可以分子分母相除，但相除后求出的分母不為0的極限值顯然與前提矛盾，這還有意義嗎？因此這個方法當然不能成立。

此外，盡管除法的前提是分母上的△x≠0，但反之滿足這個條件的分式可并不一定非做除法。沒有一條數學規(guī)定要求逢分式必須做除法消去分母的。因此顯然，如果不做除法，在分母上保留△x，則雖然其始終不能等于0，但按“不可達極限”的定義，它仍然可以趨于0而以0為其極限值。也就是得到極限0/0，這當然是所謂“無意義的”極限值，但也必須先要得到它，才知道它的無意義。因此，這里不存在在0點無有意義的函數值(函數值為0/0)而有有意義的極限值(非0/0型的極限)的情況出現?？傊?，無論分式除(即消去分母上的△x或令其等于1)與不除(不消去分母上的△x)，都無有意義的極限值，得證。

我們也可以用類比法幫助理解這個問題：函數△x/△x在△x=0點之值為0/0(雖然不是個有意義的函數值。這個雖然是“無意義”的“函數值”是必須要有的，因為標準分析的極限法正是根據此點也就是有0/0型的、無意義的“函數值”才可能再認定在△x=0點沒有有意義的、也就是沒有非0/0型的函數值，進而在該點的求極限才有必要)，于是對有意義的函數值而言，該函數在△x=0點無定義。該函數在△x=1點之值顯然為1/1也就是1。現在設該函數在△x=1點上也無定義，也就是在此點也沒有函數值或函數的定義域不包括此點。但顯然，此時該函數在△x=1點雖然沒有函數值1，但卻可以有極限值1。于是同理，該函數在△x=0點雖然沒有有意義的函數值(非0/0型的)，但卻有盡管是無意義的函數值0/0。于是其極限值也必為0/0(盡管也不是“有意義”的極限值)。況且按照不可達極限的定義，即使我們由于在0點有不合理的函數值0/0，因此強行“規(guī)定”在0點沒有函數值(指有意義的、也就是分母不為0的)，即函數的定義域不包括△x=0點。但由不可達極限的定義，此時也完全不等于沒有“不可達”意義上的極限0/0(盡管它是個不合理的極限值也罷)。顯然，這里完全沒有在△x=0點雖然沒有有意義的函數值(此時函數值為無意義的0/0)，但卻可有有意義的極限值(此時為1)的任何可能。

如此說來，有人也許會提出：那么，你論證了半天，究竟自函數的比值函數△x/△x還有沒有導數？我們說，當然有。它就是△x/△x=1/1=1。分子分母相除得之?！?”這個函數就是△x/△x的導函數。即使在△x=0點它也是1。這里根本不用什么在0點的極限來得到它。因為由前文的論證，△x/△x在0點的有意義的極限是沒有的(要有也是0/0)，用它求導當然不可能。但導數當然有，就是1。定義域包括△x=0點。也就是說，想通過極限來求導不可能，但這不是無導數或求不出導數。這是兩回事?！?”這個“函數”在0點當然可以有極限而且是可達極限值(顯然仍舊是1，與其在0點的函數值一致)，但不能說1這個函數也就是“導函數”是由函數△x/△x在0點的極限求出的。

二、 連續(xù)統、測度、點與時間、時刻、瞬時、速度、瞬時速度問題分析

筆者在文獻2中，討論了測度問題，而這個問題又直接與所謂“連續(xù)統”有直接關系。事實上，這兩個概念在自然界或物理上的對應概念，就是時間?？傇诹魇诺臅r間，就是物理化的連續(xù)統，而抽象的“時刻”、“瞬時”概念，就對應于抽象的“點”概念，無論是有理點還是無理點。點無體積、長度(也可以說長度為0)，因此距離不應是由無數個點所構成的(無數個0相加仍舊是0，不可能無中憑空生出有來)。同理，任何時間段也不是由無數個瞬時、時刻相加得到的。這是兩個雖然有關、但截然不同的概念，一如尺子與尺子上的刻度的區(qū)別。不能說一把尺子是由尺子上的刻度相加組成的。有人又說可定義尺縮為0即為點。尺縮為0即尺子上的兩個端點重合。我們總不能定義點為“二點重合或合為一點即為點”吧？此為循環(huán)定義。在如此認識下，本質上依賴于時間段的速度概念和依賴于長度的導數概念，在瞬時、時刻、點上，就沒有原始定義，因為不滿足速度、導數的原始定義中的必要條件，也就是分母上要出現不能為0的時間段或長度、距離等概念，而時刻、瞬時、點等概念的定義就是時間段或長度為0。一般而言，速度概念是或“折合成”單位時間段(也就是數量為“1”)物體所運動的距離(也許也可以不折合成“1”，稱為“廣義速度”，但不能為0)。一個比式，分母上的任何數值都可以“折合”成“1”，但唯獨0不成。因此，在△x=0點，原始的有意義的速度進而導數概念是沒有的，連0也不是(速度為0，意味著時間段不為0時運動距離為0，而非時段為0，運動距離的為0)，而是無意義的0/0。但我們不是總有瞬時速度和導數概念嗎？如何解釋呢？這實際是一個“次級定義的問題”：由于勻速運動任何時段的速度值都一樣(分母折合成1時，分母值一樣)，于是以每一個不同的時刻為起點的時段的速度值都一樣，由此之故，我們定義這個速度就是該“時刻”的速度，也就是所謂“瞬時速度”。而曲線、變速運動中的瞬時速度，是該時刻(瞬時)一旦解除曲線、變速運動所必須依賴的受力時物體的勻速直線運動的速度。換言之，如果物體始終受力，哪怕涉及的時間段、距離再小甚至“無窮小”，其速度也是始終隨不斷變化、流逝的時間處于變化中的，而沒有一個確定的“瞬時速度”。由此分析可以看出，如果不采取上述瞬時速度進而導數的定義(筆者以往論文中早有涉及)，就不可能消除其中的本質性矛盾，也就是貝克萊悖論。

此外，就算增量比值函數在自變量△x=0點存在極限(前已述及，這個極限實際不存在)，也是所謂“不可達極限”，即只可不斷、無限接近，但不能真正到達的那種類型的極限。因此，以這樣的“極限值”去定義瞬時速度，是會有問題的：時間流逝中的“時刻”、“瞬時”不但在現實中“可達”，而且必被越過，因此絕不是什么“不可達極限”可以定義的。而速度(即使是瞬時速度)的定義或本質，是單位時段運動的距離，顯然，“單位時段”不可能是“0”，而是“1”。所謂“不可達極限”，按古語就是“日取其半，萬世不竭”。而現實世界中的“時刻”、“瞬時”，絕對不可能是不可達的。如果取不到每一個瞬時，就不可能有時間的流逝。

三、 微分的定義問題

我們從微分的定義中，也可以看出端倪：如果微分是無窮小，但以極限論為基礎的標準分析是排斥無窮小的，這點顯然無法解釋；如果微分是極限，我們說，導數、瞬時速度等概念之所以被標準分析看成或認為是有意義的極限值而非無意義的0/0，就是因為分子分母同時趨于0。如果沒有這一點，無論距離還是時間，當然都可以單獨去趨于0甚至等于0。但現在的“微分”與導數完全不同，不是個比值，需要單獨定義，而且并不處于分母位置上，它再也不能被要求“不允許為0”了吧？于是，人們不得不將微分定義成與其名稱完全不符的宏觀量，所謂的函數的“線性主部”(如是次要部分，要它幾乎就沒有道理)，后來發(fā)現對有的函數而言還談不上什么“主部”，所以干脆就定義成“線性部分”。但這一定義是只圖眼前過關。它明顯地與導數的定義不一致甚至矛盾，是一種回避以致掩蓋矛盾(所謂“把污物掃到地毯下”)的做法。我們說，定義微分的目的是什么？是求積分。當我們求積分時，也還得回來要求每一個微分段無限趨于0，原來直接定義極限不成，做積分時卻可以而且必須求極限，明顯矛盾。

微分定義中另一個更明顯的問題，就是廣被詬病的自變量dx=△x的問題，也就是自變量的微分必須等于其自身的增量。如所周知，微分的一般定義是函數的“線性主部”，二者絕不相等。但自變量的微分卻必須重新定義，這要求自變量不能再是任何變量的函數(只能是其自身的函數，否則將有dx(t)=△x(t)，明顯違反微分定義。其中t為自變量x(此時已經是個函數了)的自變量)，甚至不能是其函數的函數，也就是y可以是x的函數，x卻不能是y的函數。著名數學、邏輯學家莫紹揆早就指出了這方面的問題，其后不斷有人也指出來，但始終未見任何有力的反駁意見?？梢姅祵W界對此實際上是無話可說的。這與導數問題不同，以往對微積分求導的極限法的任何質疑，往往都會引來不少反駁意見和表態(tài)。當然，微分問題只是表象，本質上還是導數問題。筆者以往文章對此早有討論。

四、 ε-δ語言下的相關討論

就是在所謂的嚴格的極限定義也就是ε-δ語言下，對于增量比值函數而言，也沒有有意義的極限值。分析或證明如下：

在文獻2的分析下，我們已知，文獻2公式2的求極限公式，必須首先分子分母相除以“消去”分母可能等于或趨于0的自變量。而這關鍵的一步，卻賦予了原先的極限式以新的內容，也就是所謂“分子分母相除”或“消去分母”，本質上等于把分母值“折合”成1。這是無可否認的事實，只不過通常為了簡化，我們把這個分母上的“1”省略了而已。于是，當一個函數的分母上有自變量時，每有一個與在函數的分母上的自變量有關的正數δ，如果還都有一個與比值函數有關的正數ε，則其實應該嚴格地是ε/1，也就是分母被“折合”成了1，但顯然仍舊應該是個比值，與原比值函數一致，而ε實際上是處在分子上的。也就是說，對增量比值函數這個特殊情況而言，僅就數值意義上，應該有ε=ε/1=θ/δ,這里θ為另一個與δ相關的正數(當然也是變量)。于是，當在比值函數分母上的δ→0時，我們還能得到ε嗎？當然不能。只有在δ→1或δ=1時，我們才能得到ε/1=θ。而當δ→0時，我們只能得到θ→0，也就是最終得到“極限”0/0，更確切地說也就是沒有有意義的極限。

總之，牛頓、萊布尼茲求導方法無意中以除法消去了增量比值函數分母上的自變量(文獻2公式1)，如此，盡管始終沒有被意識到，但它實際上做的是如文獻2公式5(即本文公式6)所顯示的，真正決定導數定義的曲線的割線上二點的橫坐標差(也就是自變量值)就是1，而且自此始終為1；而縱坐標差中包含的自變量差(橫坐標差)與橫坐標差之比自然就始終保持是1/1(不十分嚴格地或數值上看就是1)，但絕對不可能再是0或什么趨于0(再一次強調：始終如此，割線變切線后也如此)。這是因為分子分母做除法在先，既然做了除法，被除數也就是分母就只能始終事實上為1了(當然可以不寫，但此時省去或消去的只能是這個1，而絕非0)。至于此后分子上如果還有自變量△x，那也是割線方程中自變量的系數中所包含的(作為線性方程中自變量系數的一部分的)自變量，它的趨于0或等于0，與比值的性質無關，而只與比值的數值也就是斜率的數值(割線或切線的斜度)有關，因此也就沒有曲線上二點趨于一點或干脆二點合一時的曲線的縱、橫坐標差之比(產生貝克萊悖論的根源)的問題了。至于此后作為割線系數中的那個自變量△x的趨于0或實際就是等于0，已經與割線上的真正決定其斜率所必須的兩點(兩點間的增量或距離不能合為一點為0)無關了。此時剩下的那個系數中的自變量△x，只決定割線與曲線相交二點的不同位置及對其斜率的影響。曲線上的二點重合為一點(即自變量的增量為0時)，割線變切線。切線的斜率即導數。此導數明確為宏觀量，既不是無窮小，也不是極限。至此，微積分貝克萊悖論問題，當可徹底澄清。極限法無必要，需要無窮小的非標準分析也無必要，而且本質上都是錯的。但這絕對不是反對微積分，相反，正是使微積分返璞歸真，重新回到本源的牛頓、萊布尼茨求導方法。只不過他們沒有意識到用除法消去分母上的自變量究竟意味著什么，因此產生了貝克萊悖論。而由筆者前期系列論文及上文分析揭示，這個除法不是隨便做的，它是有其意義的。在這個意義下，不但△x=0點的極限不存在了，而且貝克萊悖論也不存在了，所需要的只是對導數重新定義，就可以解釋牛頓、萊布尼茲求導方法的合理性，因此無疑可以消除微積分已知和潛在矛盾、悖論，同時使微積分理論(包括導數和微分)不但更簡單，同時當然更合理。

五、 作了除法后，究竟求出的是哪個函數的極限？

總之，作了除法后，在牛頓以及極限法那里，Δx/Δx消失不見了(實際只能是“1”或更嚴格的“1/1”)，這等于是先令Δx=1或趨于1，然后令原分子中剩下的的Δx又等于0或趨于0(其實都一樣)，總共求了兩次Δx的值或極限值。注意，這是牛頓法雖然沒有意識到，但實質上所做的?？墒且酝碚搮s說這就是作為導數的原比式在分母上的Δx趨于0時的一次(注意，不是實際上的兩次)極限值。而實際上除法做了后，Δx/Δx當然應該等于1/1，而它是分子分母上的自變量Δx相除(自除)等于1(或更嚴格地分子分母都等于1)得到的。因此，除非當自變量Δx趨于0時自變量Δx等于1或趨于1這個不可能存在的事發(fā)生，否則是得不到這個1/1的。所以才可說有意義的極限根本沒有，是0/0。但如何解釋牛頓法可以得到導數的正確結果？必須重新解釋。也就是牛頓的實際做法中，由于無意中做了除法，實際已經把分子分母上有相比關系的Δx/Δx與其它的Δx區(qū)分開了。它的幾何意義，就是割線上自變量增量△x=1的那一點。它不隨割線沿曲線向切線運動而變化，更不會趨于0或等于0。但在這個運動中作為線性方程系數中的那個孤立的Δx是趨于并最終等于0的。必須要強調的是，函數1(就算其在Δx=0點無定義)與函數Δx/Δx有本質的不同。前者因為在做除法消去分母上的自變量之后實際是1/1,于是作為原函數(分子上)與自變量(分母上)不再受自變量Δx的任何影響，因此在坐標圖上是一條平行于橫軸的平行線；而Δx/Δx的原函數即作為分子的函數Δy=Δx隨其自變量Δx(分母上的)的不同取值在坐標圖上是一條45度角的斜線。而那個“水平線”取值(恒為1)實際與自變量Δx無關，就算我們把定義域“人為地”、“硬性地”限定為Δx≠0，也就是在0點函數無值、不等于1，但它(也就是函數1)其實是允許在0點可以有值1或極限1的，也就是“雖然被硬性規(guī)定了沒有，但其實可以有”，因此做了補充定義后就可以有函數值、有極限1了。但Δx/Δx就不僅僅是在Δx=0點“被硬性地規(guī)定”無定義這么簡單的問題了，它更進一步在該點是“不允許有定義”或“不允許再有定義”(即：“沒有也不允許有”)同時也沒有相應的極限。如果二者相除等于1，那實際就把函數改變成1而非原先的Δx/Δx，因此二者有本質的區(qū)別。況且極限法終難逃脫循環(huán)論證的窠臼：說必須自變量Δx不能等于0而只能趨于0才能做除法消去分母中的自變量Δx，可這個“趨于0”的極限，卻又是只能由作了除法之后才能得到。在做除法“求出極限”之前，怎么就知道自變量不能為0但可以有極限0的？這個斷語如何下的？還不是做了除法“之后”才聲稱求出了極限？可以看出，這個極限在Δx=0點根本就不存在?？傊?，求極限之前的除法消去分母上的Δx，等價于令Δx=1或者Δx→1，得到了另一個函數z=1，此時求其在Δx→0時的極限，等于對原函數Δx/Δx求了兩次極限，第一次Δx→1，把一個在坐標系中的斜線變成了平行線；第二次Δx→0，把一個平行線再求極限。此時的極限，已經不是原先那個45度斜線的極限了。

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