祁國偉

[摘 要] 不可否認的是，近代科學是西方文明的產(chǎn)物，而明、清兩代的數(shù)學家在翻譯這些著作時取了一些高度概括的中譯名. 子曰：“必也正名乎.”一個概念的名稱必然是高度概括其本質(zhì)的，如果能從命名的角度看待這些概念，那對學生在概念的理解和識記上無疑是事半功倍的. 本文將從筆者在必修1中的兩個概念課教學片段和反思中，體現(xiàn)再譯中譯名的得失.

[關鍵詞] 概念教學；中譯名；數(shù)學文化

概念教學是高中數(shù)學的重點和難點，但大部分教學只重視概念的定義、內(nèi)涵和外延，這樣的教學無可厚非. 但子曰“必也正名乎”，如果能重現(xiàn)數(shù)學發(fā)展過程和中譯名的由來，學生可能更容易接受，也更能體現(xiàn)數(shù)學的應用價值和發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美. 這對學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成無疑是一次精彩的歷練. 本文將從兩個教學片段入手，試圖將傳統(tǒng)文化和數(shù)學發(fā)展史整合進教學過程，也算是對傳統(tǒng)文化滲透的一種嘗試. 這樣的整合將使傳統(tǒng)文化不再是冰冷的考題，而是生動的再現(xiàn).

案例一

1. 教學片段

下面是人教版必修1“§1.2函數(shù)及其表示”第一節(jié)的教學片段.

師：初中，我們便學習過，形如y=ax+b（a≠0）的函數(shù)叫一次函數(shù)，那為什么要稱為一次函數(shù)呢？

生：因為x的次數(shù)是1.

師：準確地說，應該是最高次為1，而且只告訴我“一次”這兩個字的含義，沒有解釋什么是“函數(shù)”. 你能給出字面上的解釋嗎？

學生沉默了一會，然后熱烈討論，眾說紛紜. 大部分學生回答了初中的認識：y隨x的變化而變化. 但沒有人給出字面上的解釋. （這說明筆者問題的提法不清楚，是從自己的經(jīng)驗出發(fā)的，這恰恰是學生解題最大的障礙之一）

師：同學們給出的函數(shù)定義很好，但沒有理解到我的問題是字面上的解釋. 我們知道，漢字詞語的構成往往就是每個字意義的組合，所以請大家關注“函數(shù)”這兩個字的本意及其組合意圖.

學生沉默得更久了，后來有學生小聲地回答：“函”是不是通假字，通“含”，是含有的意思？

師：辭海里“函”的解釋有一條是這樣的：“函：動詞，包含，容納的意思. ”例句是《漢書·揚雄傳》中的“以函廈之大漢兮”. 從上面的解釋中可以看出函數(shù)是個古漢語名詞. 事實上，19世紀中葉，清代數(shù)學家李善蘭在翻譯著作《代微積拾級》中首先使用了這個詞語，取此變數(shù)函有彼變數(shù)的意思，譯名為函數(shù)，這里的變數(shù)就是現(xiàn)在我們所說的變量，翻譯成現(xiàn)代漢語就是這個變量含有另一個變量，或者說y含有x的意思，稱x為自變量，y為因變量或函數(shù)值. 這與大家目前對函數(shù)的認知是一樣的，即突出變化的觀點.

師：下面請從變化的觀點判定下面幾個式子是不是函數(shù).

①y=2x+1；②y=x2+x；③y2=x；④y=0.

生：①②③是，④不是.

師：①②是我們已經(jīng)認識的一次函數(shù)和二次函數(shù)，沒有問題. ③從運動變化的觀點，似乎也沒問題，但數(shù)學發(fā)展史上人們發(fā)現(xiàn)③與①②還是有區(qū)別的，請問區(qū)別是什么？

學生經(jīng)過討論后，認為區(qū)別是①②中的一個x的取值，相應的y是唯一的，而③中的一個x的取值（0除外），相應的y可以求解出兩個值.

師：大家的判斷符合認識的發(fā)展規(guī)律. 歷史上的數(shù)學家也是這么困惑，原因在于，變化的觀點是一種定性的描述，只是一個可以感知但無法準確判定的觀點，于是數(shù)學家們將函數(shù)的定義做了修改：如果一個函數(shù)值y隨自變量x的確定而確定，即當x取定義域內(nèi)的一個確定值時，y相應的有且只有一個確定值. 這是一個偉大的跨越與轉(zhuǎn)化. 運動只能感知但無法確定，但靜止就可以判定了，這體現(xiàn)的是動與靜之間的轉(zhuǎn)化，很有哲學上的啟發(fā)吧？事實上，當時的數(shù)學與哲學的觀點就是互相借鑒的，典型的代表人物就是大家所熟悉的笛卡兒. 從確定的觀點來看，③就不是一個函數(shù)了，因為比如當x=1時，會得到y(tǒng)=1或y= -1，這不符合定義. 于是，新的函數(shù)定義便產(chǎn)生了：當x取定義域內(nèi)的一個確定值時，y相應的有且只有一個確定值.

師：現(xiàn)在，請大家判定一下④是不是函數(shù).

生：經(jīng)過熱烈的討論，小部分學生認為沒有x，不能算是一個函數(shù)，而大部分的學生則認為雖然沒有x，但按照定義標準，無論x是什么，y都是確定的，所以④是函數(shù).

老師表揚了認為④是函數(shù)的同學，肯定了認為④不是函數(shù)的同學的質(zhì)疑. 數(shù)學家的質(zhì)疑與這些同學是一樣的，所以只好將函數(shù)定義再次提升. 其實從上面的新定義可以看出，函數(shù)的判定關鍵是相應確定. 通俗地說就是對應. 當然，對應的最佳描述是基于集合，于是有了現(xiàn)代版基于集合對應的函數(shù)定義：如果有兩個非空數(shù)集A，B，按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的y和它對應，那么就稱：f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f（x），x∈A.

師：其實抓住對應的觀點，就可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的表示可以是式子，也可以是圖形，還可以是表格，只要符合定義的標準就行.

設計意圖：將函數(shù)定義的發(fā)展史和翻譯過程中的取名結合起來，設計一些辨析例題，能使學生通過辨析過程感知傳統(tǒng)文化與數(shù)學發(fā)展的魅力，加深對定義的理解.

2. 教后反思

上面教學片段的實際教學效果比較理想，筆者覺得這樣的教學有兩個亮點，一是注重對“函數(shù)”這一名詞的解釋，直接領會函數(shù)的運動觀點；二是在學生參與辨析定義的過程中體會數(shù)學概念的形成，提升數(shù)學抽象和推理論證的學科核心素養(yǎng)，融合情感教育和價值觀教育，更提升到了數(shù)學思想和哲學方法論的角度，能在探究過程中體會數(shù)學的理性、嚴謹，贊美了傳統(tǒng)文化與數(shù)學文化. 這也是張奠宙先生所認為的數(shù)學核心素養(yǎng). 張奠宙認為的數(shù)學核心素養(yǎng)包括“真、善、美”三個維度，即（1）理解理性數(shù)學文明的文化價值，體會數(shù)學真理的嚴謹性、精確性；（2）具備用數(shù)學思想方法分析和解決實際問題的基本能力；（3）能欣賞數(shù)學智慧之美，喜歡數(shù)學，熱愛數(shù)學.

案例二

1. 教學片段

下面是人教版必修1“§2.2對數(shù)函數(shù)”第一節(jié)（對數(shù)與對數(shù)運算）的教學片段.

（1）文化史背景介紹

在數(shù)學計算中，加減法比較容易，但乘除法隨著位數(shù)的增加，計算量倍增. 特別是16世紀中葉，隨著天文觀測和航海的需要，這樣的需求成為必然，于是數(shù)學家試圖創(chuàng)造一種新的方法，使得乘法運算能夠轉(zhuǎn)化為加法運算. 數(shù)學家納皮爾從三角學和幾何學出發(fā)，首先提出了一種構想：他在1614年出版的《奇妙的對數(shù)表說明》中給出了這樣的運算法則，并命名為logarithms，簡記為log，中文譯名為對數(shù).

（2）提出問題

師：請同學們完成下面的表格（表1）.

學生計算64×512時普遍感到計算困難，筆者經(jīng)過現(xiàn)場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)共有3位同學計算錯誤.

（3）練習與探究

探究：要計算64×512，可以怎么從表格（表2）中計算？

結論：把64變成26，512變成29，那么64×512就是26×29=26+9=215=32768.

抽象上述數(shù)學運算過程：64×512（64轉(zhuǎn)化成6，512轉(zhuǎn)化成9，乘法轉(zhuǎn)化為加法）→6+9=15→還原成原來的得數(shù)32768. 這一抽象的運算過程有兩個運算環(huán)節(jié)：①通過某種法則將原來的數(shù)值變成新的數(shù)值，然后乘法就可以轉(zhuǎn)化成加法；②將加法結果還原為乘積的得數(shù).

可以看到，這種運算就是將原來的數(shù)值變成某個底數(shù)的冪，其實就是指數(shù)運算的逆運算. 由此可得到對數(shù)的定義：如果ax=N（a>0，a≠1），那么數(shù)x叫以a為底N的對數(shù)，記作x=logaN，其中a叫對數(shù)的底數(shù)，N叫真數(shù).

例如上面例子中的26=64，那么6=log264，其中底數(shù)為2，真數(shù)為64，log264是對數(shù). 同理，對于29=512，那么9=log2512，其中底數(shù)為2，真數(shù)為512，log2512是對數(shù).

（4）傳統(tǒng)文化介紹

這些名稱其實很有趣. 對數(shù)是由明末清初的天文學家薛鳳祚翻譯的，在《比例對數(shù)表》一文中是這樣命名的（表3）：

可以看到，真數(shù)是指原來的數(shù)，假數(shù)是指取對數(shù)的結果，對數(shù)是指變化的過程，意思是底數(shù)和真數(shù)成對出現(xiàn)的結果值. 利用這個名稱來看一下上面的例子（表4）：

近代數(shù)學保留了真數(shù)和對數(shù)的名稱，而去掉了假數(shù)，從函數(shù)的角度出發(fā)，直接稱其為對數(shù)值.

（5）名稱與念法

底數(shù)可以是任意的，所以一般取兩個經(jīng)常用到的數(shù)為底數(shù)，一個是10，稱為常用對數(shù)，記作lg，念做[l？蘅g]；另一個是e，稱為自然對數(shù)，記作ln，念法是log of e ，查網(wǎng)上麻省理工學院的公開課《單變量微積分》，授課教師美國科學院院士David經(jīng)常直接念為[l？蘅g]，從函數(shù)的角度，ln更常用到，所以建議以后就念[l？蘅g]或逐個字母地念.

設計意圖：學生初學對數(shù)時，對它的相關名詞和應用很不適應，甚至念法都不到位，所以從數(shù)學發(fā)展史的角度來設計這一部分教學，能使學生不再覺得對數(shù)很突兀，這有助于學生認清對數(shù)的本質(zhì)，了解翻譯的背景和取名規(guī)則，從而激發(fā)學生對中國傳統(tǒng)文化的熱情.

2. 教后反思

傳統(tǒng)文化與數(shù)學文化如何滲透課堂，無疑概念教學是很好的陣地，依托這些概念的前世今生，設計一些好的教學過程，再現(xiàn)數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程，能很好地提升數(shù)學建模、數(shù)學抽象、推理論證的學科核心素養(yǎng)，而這些概念的譯名更關乎中國傳統(tǒng)文化，能激發(fā)學生對傳統(tǒng)文化的熱愛. 人類解決實際問題中提升的數(shù)學概念和數(shù)學應用，更能使學生感受到數(shù)學、人生及社會的真、善、美.

一些展望

大部分的譯名都是由明、清兩朝的數(shù)學家翻譯的，需要一定的古文和傳統(tǒng)文化知識，而且原版古籍沒有地方買到，所以給這些知識的普及帶來了不便. 很多背景知識依托發(fā)達的互聯(lián)網(wǎng)，但科學性和正確性存在一定的瑕疵，希望能有一些更權威的網(wǎng)絡平臺給予支持.