能用拉格朗日中值定理解決不等式恒成立問題嗎

云南師范大學數(shù)學學院 孔德宏 龔 玨 (郵編：650092)

不等式的恒成立問題一直是高考數(shù)學的熱點，大致可以分為兩種類型：一是含參不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍；二是證明不等式成立.

用拉格朗日中值定理來解決不等式的恒成立問題具有高等數(shù)學背景，通常情況下解題過程簡潔，解題方法新穎.但這樣做對嗎？如果對，其依據(jù)是什么？如果不對，那問題又出在哪里？下面來研究這一問題.

1 含參不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍

例1 已知函數(shù)f(x)=ex+x-1，若對任意x∈(0,+∞)都有f(x)>kx恒成立，求k的取值范圍.

解法1 (分類討論)

令g(x)=f(x)-kx，則g(x)=ex+(1-k)x-1>0對x∈(0,+∞)恒成立.

易知g(0)=0，g′(x)=ex+1-k，且g′(x)是增函數(shù)，所以g′(x)>g′(0)=2-k.

(1)當k≤2時，g′(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù).從而g(x)>g(0)=0，即k≤2滿足題意.

(2)當k>2時，令g′(x)=0，即ex=k-1，易得x=ln(k-1)>0.

因為g′(x)是增函數(shù)，所以當x∈(0,ln(k-1))時，g′(x)<0，g(x)是減函數(shù).

所以當x∈(0,ln(k-1))時，g(x)

綜上，得k≤2.

顯然f′(t)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.所以k≤f′(0)=2，故k≤2.

說明 兩種解法，答案相同.其中解法2使用了拉格朗日中值定理，避免了分類討論，從而簡化了解題過程.由此似乎可得出：求含參不等式恒成立問題中參數(shù)取值范圍的問題，用拉格朗日中值定理是一個較好的解題方法.

事實真的是這樣嗎？我們試著用同樣的方法解決例2.

例2 已知函數(shù)f(x)=ex-x2-1，若對任意x∈(0,+∞)都有f(x)>kx恒成立，求k的取值范圍.

因為當x∈(0,+∞)時，ex-x-1>0,所以當x∈(0,1)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當x∈(1,+∞)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.所以k

故k的取值范圍為(-∞,e-2).

令g(t)=et-2t，則g′(t)=et-2.

令g′(t)=0，得t=ln2，易知g(t)在(0,ln2)內(nèi)單調(diào)遞減，在(ln2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.所以g(t)min=g(ln2)=eln2-2ln2=2-2ln2.

故k<2-2ln2，即k的取值范圍為(-∞,2-2ln2).

說明 兩種解法，答案不同.經(jīng)認真檢查，可以確認解法1是正確的，從而，這里的解法2肯定就出錯了，可究竟錯在哪里？特別地，例1中的解法2(拉格朗日中值定理法)為什么算出的答案又是正確的呢？

2 錯因分析

而例1和例2的解法2卻都把問題轉化為k

3 用拉格朗日中值定理證明不等式

例3 已知函數(shù)f(x)=ex+x-1，x∈(0,+∞)，求證：f(x)>2x.

證明 (拉格朗日中值定理)

又因為f′(t)=et+1在t∈(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，所以f′(t)=et+1>2.

4 關于D*?D的典型例子

例4 已知定義在(0,+∞)內(nèi)的函數(shù)f(x)=xe-x.

5 結論

結論1 已知含參數(shù)k的不等式對x∈D恒成立，求參數(shù)k的取值范圍的問題(如例1、例2)，若能用拉格朗日中值定理，把問題轉化為k