北師大版與人教A版高中數(shù)學(xué)教科書(shū)比較研究

【摘 要】 本文比較分析普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)人教A版與北師大版“空間圖形的基本關(guān)系與公理”這一節(jié)內(nèi)容，揭示兩版本教科書(shū)所滲透的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的使用與表達(dá)及例習(xí)題配置情況，進(jìn)而為高中立體幾何教學(xué)提供參考建議.研究發(fā)現(xiàn)，兩版本教科書(shū)內(nèi)容結(jié)構(gòu)設(shè)置類(lèi)同于《幾何原本》的公理化系統(tǒng)，滲透公理化思想方法；內(nèi)容呈現(xiàn)方式始于公理化思想方法的應(yīng)用；北師大版圖象語(yǔ)言的使用頻率高于人教A版，而人教A版同時(shí)使用三種語(yǔ)言描述的知識(shí)點(diǎn)則多于北師大版；例題均設(shè)置了推理論證和三種語(yǔ)言間轉(zhuǎn)換的題目，但習(xí)題設(shè)置存在差異，各有側(cè)重.最后根據(jù)研究結(jié)果提出了相應(yīng)的教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】 教科書(shū)；比較研究；空間圖形的基本關(guān)系與公理；教學(xué)建議

1 引言

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）指出：數(shù)學(xué)教育幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想和方法；提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界[1].教科書(shū)作為依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生接受能力編寫(xiě)的教學(xué)材料，它是課程目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容的具體體現(xiàn)，在一定程度上決定了學(xué)生的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)和學(xué)業(yè)成就[2].課標(biāo)提倡教材編寫(xiě)的多樣化，在以課程標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)的前提下，不同的教材可以有各自的風(fēng)格和特點(diǎn).因此，不同版本教材，對(duì)知識(shí)內(nèi)容的安排、數(shù)學(xué)思想方法的滲透、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)也不盡相同，那么不同的數(shù)學(xué)教科書(shū)在滲透數(shù)學(xué)思想方法、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)、例習(xí)題與內(nèi)容的匹配等問(wèn)題的差異就值得研究了.長(zhǎng)期以來(lái)，幾何承擔(dān)著推理與證明的責(zé)任，這種責(zé)任并不會(huì)因?yàn)閿?shù)學(xué)教育的改革而消亡，究其緣由，幾何知識(shí)比其他數(shù)學(xué)內(nèi)容能更好地使學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)世界的推理與證明，或者說(shuō)是更明確、更符合人們認(rèn)識(shí)事物的直覺(jué)[3].因此，本文選取人教A版和北師大版教科書(shū)立體幾何部分內(nèi)容進(jìn)行比較，探析兩版本教科書(shū)滲透數(shù)學(xué)思想方法、運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、例習(xí)題與內(nèi)容的匹配的問(wèn)題，以期為教材編寫(xiě)者就數(shù)學(xué)思想方法與知識(shí)的有機(jī)融合提供數(shù)據(jù)支撐與理論依據(jù)，為一線(xiàn)教師教學(xué)提供教學(xué)建議與方法.

2 研究方法與內(nèi)容

本文選取普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)人教A版[4]（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“人教A版”）與普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)北師大版[5]（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“北師大版”）必修2關(guān)于“空間圖形的基本關(guān)系與公理”的內(nèi)容，比較的具體內(nèi)容見(jiàn)表1.基于人教A版與北師大版教科書(shū)的文本材料，運(yùn)用文獻(xiàn)研究和比較研究的方法，從內(nèi)容呈現(xiàn)、數(shù)學(xué)語(yǔ)言及例習(xí)題設(shè)置三個(gè)維度對(duì)兩版本教科書(shū)進(jìn)行深度剖析.

3 研究結(jié)果

3.1 內(nèi)容呈現(xiàn)

3.1.1 兩版本教科書(shū)內(nèi)容結(jié)構(gòu)設(shè)置與《幾何原本》公理化系統(tǒng)相似，滲透公理化思想方法

內(nèi)容結(jié)構(gòu)反映了本節(jié)教材所包括知識(shí)點(diǎn)之間的相互關(guān)系，且每一部分內(nèi)容都是必不可少的，這個(gè)有機(jī)構(gòu)成的知識(shí)團(tuán)從側(cè)面反映了它所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.王仲春先生提出的公理化方法的結(jié)構(gòu)層次分為4層次架構(gòu)：第一層次——基本概念（對(duì)象、基本關(guān)系）；第二層次——定義；第三層次——公理組（包括邏輯公理）；第四層次——定理及其證明[6].以此為比較分析框架，兩版本教科書(shū)內(nèi)容結(jié)構(gòu)見(jiàn)表2.

從表2可以看出，兩版本教科書(shū)在“空間圖形的基本關(guān)系與公理”這一節(jié)包含的知識(shí)點(diǎn)基本一致，只在定義層次人教A版比北師大版多了空間平面的定義，這是由于兩版本教科書(shū)在小學(xué)和初中兩個(gè)學(xué)段幾何內(nèi)容的安排略有差異.公元前300年歐幾里得寫(xiě)成了名著《幾何原本》，其對(duì)于人類(lèi)文明的最大貢獻(xiàn)在于用演繹方法構(gòu)建了一個(gè)公理化體系，而兩版本的教科書(shū)內(nèi)容結(jié)構(gòu)也完全符合公理化方法的層次結(jié)構(gòu)，從公理化體系的角度對(duì)幾何章節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行安排.基于《原本》的公理化體系，無(wú)形中滲透了公理化思想方法，使立體幾何章節(jié)各部分內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，呈現(xiàn)出一個(gè)精密運(yùn)作的幾何世界.

3.1.2 兩版本教科書(shū)內(nèi)容呈現(xiàn)方式“貌離神合”——公理化思想方法的應(yīng)用

北師大版和人教A版關(guān)于空間圖形基本關(guān)系與公理的呈現(xiàn)方式比較見(jiàn)表3.

從表3可以看出，兩版本基于《標(biāo)準(zhǔn)》要求，借助長(zhǎng)方體模型，在學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系的條件下，抽象出空間線(xiàn)、面位置關(guān)系的定義，同時(shí)了解作為推理依據(jù)的公理和定理[7].但是，通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，盡管兩版本教科書(shū)知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)順序大相徑庭，看似雜亂無(wú)章，實(shí)則都是按照一定的主線(xiàn)，將各個(gè)知識(shí)點(diǎn)以邏輯規(guī)則和順序有機(jī)結(jié)合.人教A版從空間圖形與位置關(guān)系的視角，分別以平面、空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系、空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系、平面與平面之間的位置關(guān)系為小節(jié)標(biāo)題，基于這樣的劃分分別引出與之相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，即以空間圖形與位置關(guān)系為主線(xiàn)引出與之有關(guān)聯(lián)的公理.如：由平面引出公理1、2、3；由空間兩條直線(xiàn)位置關(guān)系引出公理4.北師大版則選擇從公理的角度出發(fā)，引出與每條公理密切相關(guān)的空間圖形位置關(guān)系.如：由公理2引出空間直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系等.

由上可知，雖然人教A版和北師大版知識(shí)點(diǎn)展開(kāi)所依據(jù)的主線(xiàn)各有側(cè)重，但事實(shí)上兩版本教科書(shū)內(nèi)容呈現(xiàn)方式貌離神合：教材編寫(xiě)者都應(yīng)用了公理化思想方法.利用公理化思想方法可以揭示一個(gè)數(shù)學(xué)分支中命題與命題之間的內(nèi)在關(guān)系，從而使它系統(tǒng)化、邏輯化，有利于人們掌握[8].因此，無(wú)論選擇以位置關(guān)系還是公理為主線(xiàn)，都充分運(yùn)用公理化思想方法，使這一節(jié)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，使之成為一個(gè)有邏輯、有關(guān)聯(lián)的整體.這樣的教科書(shū)，不管對(duì)于教師教學(xué)還是學(xué)生學(xué)習(xí)都是一場(chǎng)潛移默化的思維訓(xùn)練.

3.2 數(shù)學(xué)語(yǔ)言

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是在數(shù)學(xué)思維中產(chǎn)生和發(fā)展的，是數(shù)學(xué)思維不可缺少的重要工具.數(shù)學(xué)語(yǔ)言具體可以分為圖象語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言三種.數(shù)學(xué)教材要滲透和傳播數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法，就需要使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá).立體幾何以空間圖形為研究對(duì)象，幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)必然無(wú)法缺少數(shù)學(xué)語(yǔ)言的使用.

3.2.1 北師大版圖象語(yǔ)言的使用頻率高于人教A版

為了解兩版本教科書(shū)在圖象語(yǔ)言使用方面的區(qū)別，本文做出以下對(duì)比統(tǒng)計(jì).北師大版“空間圖形的位置關(guān)系與公理”內(nèi)容共7頁(yè)，其中課文中的插圖共25幅；習(xí)題（包括練習(xí)題）共16道，習(xí)題的插圖共6幅.以上31幅插圖中實(shí)物圖有5幅，其中包括3張照片，剩余都是幾何線(xiàn)條圖.人教A版這節(jié)內(nèi)容共14頁(yè)，其中課文的插圖共25幅；習(xí)題（包括練習(xí)題）共34道，習(xí)題的插圖共有11幅.以上36幅插圖中實(shí)物圖有3幅，其中包括1張照片，其余都是幾何線(xiàn)條圖.由此得出下面的對(duì)比表.

從表4可以發(fā)現(xiàn)，兩版本教科書(shū)對(duì)于課文插圖、習(xí)題插圖、實(shí)物圖和照片等使用頻率相差較大，北師大版圖象語(yǔ)言整體使用頻率高于人教A版.北師大版教科書(shū)平均每頁(yè)分布3.5幅圖，而人教A版還不足2幅.平均圖題比相差不大，但北師大版仍然高于人教A版.實(shí)物圖所占率和照片所占率，北師大版是人教A版的2-3倍.

3.2.2 人教A版同時(shí)使用三種語(yǔ)言描述的知識(shí)點(diǎn)多于北師大版

由圖象語(yǔ)言向符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化需要借助文字語(yǔ)言的中轉(zhuǎn)，文字語(yǔ)言是對(duì)圖形的描述、解釋與討論，符號(hào)語(yǔ)言則是文字語(yǔ)言的簡(jiǎn)單化和再次抽象.兩版本教科書(shū)這一節(jié)在對(duì)位置關(guān)系、公理和定理的描述中，既有只使用一種語(yǔ)言的情況，如公理4——空間平行線(xiàn)的傳遞性，也有同時(shí)使用兩種或三種語(yǔ)言的情形.事實(shí)上，三種語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換都是為其后的演繹推理做準(zhǔn)備，為學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)添磚加瓦.因此，文本統(tǒng)計(jì)了兩個(gè)版本教科書(shū)中使用不同語(yǔ)言的知識(shí)點(diǎn)的情況，見(jiàn)表5.

從表5的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)可以得出，兩版本教科書(shū)使用2-3種語(yǔ)言描述知識(shí)點(diǎn)的比例更大.北師大版為83.3%，人教A版為84.6%.此外，兩版本教科書(shū)中使用三種語(yǔ)言表述的知識(shí)點(diǎn)是最多的，北師大有7個(gè)，占比為58.3%，人教A版有9個(gè)，占比為69.2%.很明顯，人教A版中三種語(yǔ)言描述的知識(shí)點(diǎn)多于北師大版.

3.3 例、習(xí)題設(shè)置

例、習(xí)題是數(shù)學(xué)教科書(shū)的重要組成部分，是鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、形成數(shù)學(xué)基本技能、領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)基本思想、積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)以及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要途徑[9].

3.3.1 兩版本教科書(shū)例題均設(shè)置了推理論證和三種語(yǔ)言間轉(zhuǎn)換的題目

這一節(jié)內(nèi)容中，人教A版設(shè)置了4道例題，其中3道考查空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系；1道為推理論證題.北師大版設(shè)置了2道例題，1道考查兩條直線(xiàn)之間的位置關(guān)系，1道為推理論證題.可以發(fā)現(xiàn)，兩版本教科書(shū)不約而同都設(shè)置了一道證明題作為例題，均為“證明空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，構(gòu)成的四邊形為平行四邊形”這樣一道經(jīng)典題，證明的過(guò)程比較簡(jiǎn)潔，從中位線(xiàn)出發(fā)依據(jù)公理4即可證明，但這道題卻滲透出數(shù)學(xué)公理化思想方法，讓學(xué)生在會(huì)做例題的基礎(chǔ)之上體會(huì)知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系和公理化體系，并訓(xùn)練學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)密的邏輯思維.除此之外，人教A版的4道例題和北師大版的2道例題均注重考察三種語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換，每道例題都配以相應(yīng)的圖形，同時(shí)文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的表述并重.人教A版的例1特意設(shè)置為將圖象語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言的練習(xí)，這也彌補(bǔ)了課文中未設(shè)置這樣內(nèi)容的缺憾.

3.3.2 兩版本教科書(shū)習(xí)題設(shè)置存在差異，各有側(cè)重

研究擬從習(xí)題內(nèi)容題量分布及對(duì)應(yīng)的百分比兩個(gè)維度對(duì)兩版本教科書(shū)的習(xí)題配置進(jìn)行比較分析.將本節(jié)習(xí)題分為空間圖形基本關(guān)系、公理定理、三種語(yǔ)言間的轉(zhuǎn)換、推理論證這四類(lèi).其中將與“異面直線(xiàn)及其夾角”有關(guān)的題歸類(lèi)至“空間圖形基本關(guān)系”這一組；“三種語(yǔ)言間的轉(zhuǎn)換”指考查有關(guān)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的描述轉(zhuǎn)化的問(wèn)題；“推理論證”指涉及到有關(guān)演繹推理的題目.具體統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表6.

從表6可以看出，無(wú)論是北師大版還是人教A版教科書(shū)，在習(xí)題的配置中，均著重“空間圖形基本關(guān)系”和“公理、定理”這兩類(lèi)習(xí)題，為學(xué)生鞏固本節(jié)內(nèi)容所學(xué)知識(shí)提供了平臺(tái)，這也符合教科書(shū)的習(xí)題設(shè)置的要求.但通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)，兩版本教科書(shū)關(guān)于“三種語(yǔ)言間的轉(zhuǎn)換”和“推理論證”的題目的設(shè)置存在明顯差異，而且各有側(cè)重.北師大版的兩類(lèi)題目數(shù)量占到總題數(shù)的36.85%，其中“推理論證”類(lèi)題目的數(shù)量甚至超過(guò)“公理、定理”類(lèi)題目，百分比達(dá)到26.32%.而人教A版這兩類(lèi)題目數(shù)量占總題數(shù)的28.30%，相比北師大版低.其中“三種語(yǔ)言間的轉(zhuǎn)換”類(lèi)題目數(shù)量更多一點(diǎn)，百分比達(dá)到了15.09%.但從總題數(shù)來(lái)看，人教A版習(xí)題數(shù)量是北師大版的兩倍多.

4 研究結(jié)論及建議

4.1 結(jié)論

4.1.1從宏觀視角看，北師大版與人教A版教科書(shū)都滲透了公理化思想方法

歐幾里得《幾何原本》是有史以來(lái)用公理化思想方法建立起來(lái)的第一門(mén)演繹數(shù)學(xué)，而且成為以后很長(zhǎng)時(shí)期嚴(yán)格證明的典范

[10].兩版本教科書(shū)在內(nèi)容選取上符合公理化方法結(jié)構(gòu)層次，以空間圖形、關(guān)系、公理和推理論證為結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)，與《幾何原本》相似.關(guān)于內(nèi)容呈現(xiàn)方式，運(yùn)用公理化思想方法將本節(jié)知識(shí)點(diǎn)邏輯、關(guān)聯(lián)、有機(jī)地串聯(lián)起來(lái)，建立本節(jié)內(nèi)容的“公理系統(tǒng)”.除此之外，兩版本教科書(shū)都配置了相應(yīng)比例的推理論證題目，在應(yīng)用層面滲透公理化思想方法.

4.1.2 從微觀視角看，北師大版和人教A版對(duì)于數(shù)學(xué)語(yǔ)言及例習(xí)題配置的側(cè)重各有不同

兩版本教科書(shū)均十分重視學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的學(xué)習(xí)，但北師大版偏重圖象語(yǔ)言的內(nèi)容設(shè)置.圖象語(yǔ)言是將現(xiàn)實(shí)事物進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的第一步，也是問(wèn)題解決的第一水平[11]，更能培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的能力.但人教A版則更注重三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的學(xué)習(xí)，從表5、6及例題配置可以看到，人教A版在相關(guān)內(nèi)容所占比例均比北師大版高，此外，人教A版在例題中專(zhuān)門(mén)設(shè)置了一道三種語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)換的題目，北師大版與之相比則顯得比較欠缺.例習(xí)題的配置中，北師大版有關(guān)推理論證題目占總題數(shù)的比例均比人教A版高，除此之外，北師大版題目多注重應(yīng)用.因此，人教A版?zhèn)戎貫楹罄m(xù)定理及推理論證的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，而北師大版更關(guān)注學(xué)生在知識(shí)應(yīng)用過(guò)程中加深對(duì)其的理解.

4.2 建議

4.2.1 立體幾何課堂教學(xué)應(yīng)重視公理化思想方法的滲透

公理化思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中具有重要的作用和意義.首先，公理化思想方法可以揭示一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)或分支的內(nèi)在規(guī)律性，從而使它系統(tǒng)化、邏輯化，有利于人們學(xué)習(xí)和掌握.其次，由于公理系統(tǒng)是一個(gè)邏輯演繹系統(tǒng)，所以對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和演繹推理能力都有其重要意義[12].雖然《標(biāo)準(zhǔn)》中突出直觀感知、操作確認(rèn)、歸納類(lèi)比等方法，但演繹推理仍然是驗(yàn)證猜想、證明結(jié)論的重要手段.因此，教師作為知識(shí)傳遞的源頭，應(yīng)在充分理解公理化思想方法的基礎(chǔ)之上，將其融入自己的課堂教學(xué)中，向?qū)W生展示公理化思想方法及系統(tǒng)的特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì)，在構(gòu)建學(xué)生知識(shí)體系的過(guò)程中沉淀數(shù)學(xué)思想方法.

4.2.2 立體幾何教學(xué)中合情推理與演繹推理應(yīng)相輔相成

數(shù)學(xué)推理位于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系塔的第三層次——數(shù)學(xué)思維層，包括演繹推理和合情推理.合情推理作為獲得猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論的重要方式，有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)生大膽猜想、勇于創(chuàng)造的探索精神；演繹推理注重運(yùn)用事實(shí)和邏輯進(jìn)行論證，有助于個(gè)體形成尊重事實(shí)和證據(jù)的理性精神[13].因此，立體幾何角教學(xué)中教師應(yīng)該在借助幾何直觀、空間想象、操作確認(rèn)、度量計(jì)算等手段的基礎(chǔ)之上，不失時(shí)機(jī)的引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象概括，體會(huì)公理化思想方法，發(fā)展學(xué)生必要的論證思維水平.

4.2.3 教師應(yīng)充分利用兩版本教材，取長(zhǎng)補(bǔ)短，設(shè)計(jì)優(yōu)質(zhì)教案

教師在講授這一部分內(nèi)容時(shí)，應(yīng)同時(shí)參考這兩個(gè)版本的教科書(shū)（甚至是多個(gè)版本），取長(zhǎng)補(bǔ)短，精心設(shè)計(jì).北師大版更注重知識(shí)的應(yīng)用性，而人教A版則以夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)為主.兩個(gè)版本各有特色，教師在進(jìn)行新授課之前應(yīng)仔細(xì)研讀這兩版本教科書(shū)，基于學(xué)生學(xué)情制定相匹配的教學(xué)目標(biāo)，選擇合適的教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)與之相適應(yīng)的教學(xué)情境，最終進(jìn)行教學(xué).因材施教，一標(biāo)多本即是追求個(gè)性化教學(xué)，因此教師不應(yīng)僅僅局限于某一個(gè)版本的課本.

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作者簡(jiǎn)介

劉冰（1993—），女，甘肅慶陽(yáng)人，西北師范大學(xué)教育學(xué)院研究生.