姜明

摘 要：思維嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的主要特點(diǎn)之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中努力培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，是提高課堂教學(xué)效率的重要手段。本文以典型的案例，闡釋了在變式教學(xué)、計(jì)算教學(xué)、證明教學(xué)和數(shù)學(xué)試卷講評(píng)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性的具體的策略。

關(guān)鍵詞：思維 嚴(yán)密性；變式教學(xué)；試卷講評(píng)

一、在變式教學(xué)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

變式教學(xué)是指應(yīng)用變式題進(jìn)行教學(xué)的一種教學(xué)方式。變式教學(xué)中，可以對(duì)原題的題設(shè)進(jìn)行變式，可以對(duì)原題的結(jié)論進(jìn)行變式.變式教學(xué)必須抓住問(wèn)題的核心內(nèi)容，適當(dāng)進(jìn)行變式，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問(wèn)題的不同方面，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化觀察問(wèn)題的不同角度，引導(dǎo)學(xué)生感受問(wèn)題的不同深度，從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)變化中不變的本質(zhì)，適應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的不斷變化，加深對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解，提高思維的嚴(yán)密性。

案例1 如圖1，△ABC的角平分線BD和CD交于點(diǎn)D，試猜想和的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

為了進(jìn)一步讓學(xué)生感受三角形角平分線的夾角與三角形內(nèi)角的關(guān)系，可以對(duì)上述原題的題設(shè)進(jìn)行變式，從而得到以下變?cè)囶}：

變式1：如圖2，△ABC的外角平分線BD和CD交于點(diǎn)D，試猜想和的關(guān)系，并說(shuō)明理由。

變式2：如圖3，已知△ABC，的內(nèi)角平分線BD和的外角平分線CD交于點(diǎn)D，試猜想和的關(guān)系，并說(shuō)明理由。

通過(guò)原題和兩個(gè)變式題的練習(xí)，讓學(xué)生分別感受由兩條內(nèi)角平分線構(gòu)成的鈍角與的關(guān)系，由兩條外角平分線構(gòu)成的銳角與的關(guān)系，由一條內(nèi)角平分線和一條外角平分線構(gòu)成的銳角與的關(guān)系，從而使學(xué)生能活用三角形的內(nèi)角和定理與三角形外角定理，加深對(duì)此類問(wèn)題的理解，發(fā)現(xiàn)這些變式題之間的實(shí)質(zhì)聯(lián)系，進(jìn)而提高解決問(wèn)題的能力，提高思維的嚴(yán)密性。

二、在計(jì)算教學(xué)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

計(jì)算教學(xué)中，既要培養(yǎng)學(xué)生解題的基本技能，又要培養(yǎng)學(xué)生挖掘隱含條件的能力.所謂“隱含條件”，是相對(duì)“顯條件”而言的，是數(shù)學(xué)問(wèn)題中已知條件（顯條件）沒(méi)有明確表明，且對(duì)解決問(wèn)題至關(guān)重要的一些條件，如數(shù)學(xué)中的性質(zhì)、公式、定理等.如果在解題中由于思維的不嚴(yán)密，忽視這些隱含條件，往往會(huì)造成解答的不完整.在教學(xué)中，要注意培養(yǎng)學(xué)生挖掘隱含條件的能力，讓學(xué)生做一個(gè)“有心人”，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性.

案例2 已知，是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，當(dāng)為何值時(shí)，有最小值？最小值是多少？

學(xué)生錯(cuò)解：根據(jù)題意知，，

所以

當(dāng)時(shí)，有最小值-2.

上述解答過(guò)程看似完美，但從結(jié)果看，的值不能為負(fù)數(shù)，因此解答有誤，錯(cuò)解忽視了參數(shù)的取值范圍.根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根得到“≥0”這個(gè)隱含條件，知

≥0，進(jìn)而解得≥-1，由上解知二次

函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為，當(dāng)≥-1時(shí)，

隨自變量的增大而增大，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為.

通過(guò)對(duì)錯(cuò)解的分析，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤的原因，鍛煉了挖掘隱含條件的能力，提高了思維的嚴(yán)密性。

三、在證明教學(xué)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

幾何證明教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生找到題目中題設(shè)與結(jié)論之間因果關(guān)系的關(guān)聯(lián)所在，對(duì)這種因果關(guān)系進(jìn)行有條理、有層次、有系統(tǒng)、有步驟的說(shuō)明.如果在某一步驟的說(shuō)明上因?yàn)樗季S的不嚴(yán)密出現(xiàn)了脫節(jié)，就會(huì)使得推理論證的不嚴(yán)密.因此在幾何證明教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行正確、全面的分析，在書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程之前要弄清楚哪些需要證明，哪些不需要證明，哪些需要先證明，哪些需要后證明，這些都弄清楚之后再書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

案例4 在△ABC中，，，邊AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE，求證：BE是△DEC外接圓的切線。

學(xué)生錯(cuò)解：如圖，取CD的中點(diǎn)O，連接OE，∵OC=OE，∴，∴，∵DE為AC的垂直平分線，∴E為AC的中點(diǎn)，又∵，∴BE=CE，∴，∴，又∵OE為半徑，∴BE是△DEC外接圓的切線。

上述解法忽視了一個(gè)需要證明的條件：DC為△DEC外接圓的直徑，DC的中點(diǎn)是圓心.造成這種現(xiàn)象的原因在于學(xué)生對(duì)定理“90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑”題設(shè)與結(jié)論的關(guān)系的理解上存在“想當(dāng)然”.在學(xué)生心中，“有圓就有直徑”的觀念非常清晰，而且題目中有條件，所以CD是直徑就不用證明了.然而作為幾何證明題，要根據(jù)公理和定理進(jìn)行嚴(yán)格的推理論證，即使是簡(jiǎn)單的結(jié)論，也要進(jìn)行推理證明。

四、在試卷講評(píng)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課是學(xué)生在考試之后，教師對(duì)其講解、分析和評(píng)價(jià)的一種課型，可對(duì)學(xué)生已學(xué)的知識(shí)起矯正、鞏固、充實(shí)、完善和深化的重要作用.是知識(shí)的再整理、再綜合、再運(yùn)用的過(guò)程，也是尋找學(xué)生失分的原因，尋找學(xué)生思維誤區(qū)的過(guò)程.在講評(píng)課上可以與學(xué)生對(duì)話，暴露學(xué)生解答失分題目時(shí)的思路，分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，尋找思維不嚴(yán)密之處，并進(jìn)行有針對(duì)性講評(píng)，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，提高解題能力。

案例5 已知關(guān)于x的二次函數(shù)（），點(diǎn)和都在二次函數(shù)的圖像上，其中n為正整數(shù)，，請(qǐng)說(shuō)明a必為奇數(shù)。

在課堂上我先讓學(xué)生1說(shuō)了他的解答：

∵點(diǎn)和都在二次函數(shù)的圖像上，

∴，.∵，

∴，∴.

如果a不是奇數(shù)，則為奇數(shù)，n就不是整數(shù)，這與條件n為整數(shù)矛盾，∴a必為奇數(shù)。

很顯然學(xué)生1默認(rèn)為a是整數(shù).于是我問(wèn)他：你是不是認(rèn)為a如果不是奇數(shù)就是偶數(shù)？學(xué)生回答是的，我又問(wèn)：可能是小數(shù)嗎？他恍然大悟，說(shuō)老師我以為a是整數(shù)，而題目沒(méi)有告訴這個(gè)條件，所以錯(cuò)了。

在講評(píng)課上，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤，不要急于立刻指出來(lái)，通過(guò)與學(xué)生的對(duì)話并進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，自己發(fā)現(xiàn)思維的誤區(qū)，進(jìn)而自己糾正錯(cuò)誤，完善自己得思維，進(jìn)而提高思維的嚴(yán)密性。