鄒祥云

(廣東省深圳大學(xué)師范學(xué)院附屬中學(xué) 518060)

矢量的求解不僅要考慮其大小，還要考慮其方向，高中物理中涵蓋的大量的物理量都是矢量，學(xué)生在求解這些矢量性的物理量時(shí)首先的方法還是結(jié)合該物理量所對(duì)應(yīng)的公式進(jìn)行計(jì)算，往往會(huì)忽視該物理量所對(duì)應(yīng)的矢量性質(zhì)，其實(shí)，運(yùn)用矢量的合成與分解的方法求解對(duì)應(yīng)的物理量是一種非常高效的方法，尤其是應(yīng)用正交分解的方法研究矢量的合成，無論是動(dòng)力學(xué)和電磁學(xué)中應(yīng)用都非常普遍.

例如：在力學(xué)問題中，當(dāng)要求某個(gè)力做功時(shí)，可以采用正交分解法

也就是兩個(gè)垂直方向的分力所做的功的代數(shù)和即為合力所做的總功.

同理，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，當(dāng)要求某兩點(diǎn)的電勢(shì)差時(shí)，也可以采用正交分解法

也就是兩個(gè)垂直方向的電場(chǎng)引起的電勢(shì)差的代數(shù)和即為總電勢(shì)差.

本文試以兩道高考題來領(lǐng)略正交分解法的高效性.

圖1

例1 (2017·全國卷Ⅲ第21題)一勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向平行于xOy平面，平面內(nèi)a、b、c三點(diǎn)的位置如圖1所示，三點(diǎn)的電勢(shì)分別為10 V、17 V、26 V．下列說法正確的是( ).

A．電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為2.5 V/cm

B．坐標(biāo)原點(diǎn)處的電勢(shì)為1 V

C．電子在a點(diǎn)的電勢(shì)能比在b點(diǎn)的低7 eV

D．電子從b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為9 eV

分析勻強(qiáng)電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)差的關(guān)系，電勢(shì)與電勢(shì)能是高考的高頻考點(diǎn)，但考點(diǎn)在考題的呈現(xiàn)比較隱晦，電場(chǎng)線的方向和電場(chǎng)強(qiáng)度的大小未知，解決這類問題時(shí)學(xué)生的通常做法是一般是借助已知點(diǎn)的電勢(shì)的數(shù)據(jù)分析，再畫出最低點(diǎn)電勢(shì)和最高點(diǎn)電勢(shì)之間的連線，作出n等分的輔助線，然后根據(jù)幾何關(guān)系找到已知的等勢(shì)點(diǎn)，畫出等勢(shì)線，并根據(jù)幾何知識(shí)畫出題中所求點(diǎn)的等勢(shì)線，最后得出所求點(diǎn)的電勢(shì).最后再根據(jù)等勢(shì)面確定電場(chǎng)方向，等勢(shì)面的電勢(shì)差與其間距的比值確定電場(chǎng)強(qiáng)度.常規(guī)解法如下：

因?yàn)镺acb是矩形，所以有U0a=Ucb,解得坐標(biāo)原點(diǎn)O處的電勢(shì)為1V，故B正確.a點(diǎn)電勢(shì)比b點(diǎn)電勢(shì)低7v，電子帶負(fù)電，所以電子在a點(diǎn)的電勢(shì)能比在b點(diǎn)高7eV，b點(diǎn)電勢(shì)比c點(diǎn)電勢(shì)低9V,電子從b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為9 eV，故D正確.

圖2

在ac間找一點(diǎn)d使其電勢(shì)與b點(diǎn)相同，連接bd，如圖2所示，由幾何關(guān)系有，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中同一條不垂直于電場(chǎng)方向的直線上，兩點(diǎn)間的電勢(shì)差與該兩點(diǎn)間的電勢(shì)差成正比.

求解電場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)首先是要判斷等勢(shì)面，這樣的判斷方法比常規(guī)程序較繁瑣，判斷起來也比較麻煩，最關(guān)鍵的是找到等勢(shì)面后計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度也很容易出錯(cuò).在這里提出一種新的解法把電場(chǎng)強(qiáng)度正交分解，具體如下：

X方向上：EXXac=Uac

y方向上：Eyybc=Ubc

可得兩方向上場(chǎng)強(qiáng)大小EX=2 V/m；方向沿X負(fù)方向.

Ey=1.5 V/m；方向沿Y負(fù)方向

根據(jù)幾何關(guān)系，可得合場(chǎng)強(qiáng)方向與X軸夾角為370斜向下.

在Y軸方向上，oa=bc，Uoa=Ubc，可得φo=1V

與上述方法所得結(jié)果相同，但過程簡(jiǎn)單，計(jì)算方便.

例2 (2012年安徽高考第18題)如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，有方向平行于坐標(biāo)平面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中坐標(biāo)原點(diǎn)O處的電勢(shì)為0V，點(diǎn)A處的電勢(shì)為6V，點(diǎn)B處的電勢(shì)為3V，則電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為

圖3

分析此題的考法和考點(diǎn)和上題如出一轍，可見勻強(qiáng)電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)差的關(guān)系，電勢(shì)與電勢(shì)能這一考點(diǎn)的重要性，但是作為單項(xiàng)選擇題，采用常規(guī)解法會(huì)降低做題速度，而采用本文提到的正交分解法，會(huì)很快得出答案.解法如下：

X方向上：EXXOA=UOA

y方向上：EyyOB=UOB

Ey=100 V/m；方向沿Y負(fù)方向

根據(jù)幾何關(guān)系，可得合場(chǎng)強(qiáng)方向與X軸夾角為60°斜向下,可得A為正確答案.

當(dāng)然，上述問題中給定的物理情境已經(jīng)使得電場(chǎng)中的各點(diǎn)置于坐標(biāo)系中，其實(shí)在沒有給定坐標(biāo)系的情況下，可以自行建立坐標(biāo)系，可以借鑒動(dòng)力學(xué)的正交分解的思想，常常選擇水平方向?yàn)閄軸，豎直方向?yàn)閅軸，建立坐標(biāo)系，再把待求的電場(chǎng)強(qiáng)度進(jìn)行分解，再合成求解.從上述兩道高考題可以看出，正交分解在高考題中求解勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度體現(xiàn)出這種方法的高效性和靈活性，在教學(xué)中，可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化和拓展，遷移到勻強(qiáng)磁場(chǎng)中進(jìn)行磁感應(yīng)強(qiáng)度的求解.