曾菁

【摘 要】幾何知識(shí)是高中學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)之一，對(duì)此，需要我們運(yùn)用一些解題技巧，在提升解題效率之余，加深對(duì)幾何知識(shí)的理解。本文以“數(shù)”“形”結(jié)合的方法為切入點(diǎn)，闡述了在幾何解題中運(yùn)用“數(shù)”“形”結(jié)合方法的一些內(nèi)容，以期能對(duì)學(xué)習(xí)幾何知識(shí)有所助益。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；幾何；解題技巧；“數(shù)”“形”結(jié)合方法

幾何知識(shí)是高中數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，需要我們予以重視，并采用一些有效的輔助方法增進(jìn)對(duì)具體內(nèi)容的理解，一種較為有用的方法便是“數(shù)”“形”結(jié)合方法。對(duì)此，我們不妨從該方法的基本原理著手，逐漸將其融入幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)之中。

一、理論概述

（一）解析幾何概述

解析幾何的研究重點(diǎn)在幾何對(duì)象的性質(zhì)與關(guān)系，運(yùn)用的是代數(shù)方法，所以也可以稱其為“坐標(biāo)幾何”。解析幾何在理論上有兩種分類，一是平面解析幾何，二是立體解析幾何。其中，平面解析幾何以運(yùn)用直角坐標(biāo)系為主，在點(diǎn)和實(shí)數(shù)之間、方程和曲線之間建立起了一種聯(lián)系，幾何方法與代數(shù)方法互相配合，解答幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題。在17世紀(jì)之后[1]，隨著天文、軍事以及力學(xué)等學(xué)科的發(fā)展，不論是初等幾何，還是初等代數(shù)都有了較大的發(fā)展，兩者的發(fā)展，讓解析幾何的建立有了實(shí)現(xiàn)的可能性，原本獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支，實(shí)現(xiàn)了結(jié)合，通過(guò)統(tǒng)一形與數(shù)，使得數(shù)學(xué)歷程有了迅速的發(fā)展。

（二）數(shù)形結(jié)合概述

數(shù)學(xué)學(xué)科中最基本、最古老的研究對(duì)象便是“數(shù)”與“形”了，若給這兩個(gè)研究對(duì)象賦予一定的條件，那么兩者可以達(dá)到一種轉(zhuǎn)化，所以兩者間的這種聯(lián)系又被稱作“數(shù)形結(jié)合”。數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)學(xué)科中的應(yīng)用，一般而言有兩種類型，第一種類型是以數(shù)解形，也即運(yùn)用“數(shù)”所具有的精確性特征闡述“形”的屬性，例如邊長(zhǎng)和角度等圖形，這些圖形直接觀察沒(méi)有規(guī)律，若是賦予一定的數(shù)值，則能體會(huì)到其中的差異；第二種類型是以形助數(shù)，也即運(yùn)用“形”所具有的直觀性特征闡述“數(shù)”與“數(shù)”之間的關(guān)系。通常來(lái)講，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合能夠解決如下數(shù)學(xué)問(wèn)題：幾何問(wèn)題、三角函數(shù)、線性規(guī)劃以及數(shù)列問(wèn)題等。

二、“數(shù)”“形”結(jié)合方法在幾何解題中的運(yùn)用

（一）解題思路

在遇到解析幾何問(wèn)題時(shí)，首要任務(wù)應(yīng)當(dāng)是將題目中所給出的“數(shù)”與“形”的條件一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，明確題目中都有哪些位置關(guān)系以及數(shù)量關(guān)系，才能在最短的時(shí)間內(nèi)找到該項(xiàng)題目的突破點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法達(dá)到舉一反三之效果。對(duì)此，有以下關(guān)系需要厘清：第一，以幾何元素作為知識(shí)背景的概念需要予以明確，例如三角函數(shù)以及復(fù)數(shù)等；第二，題目中出現(xiàn)的方程式的幾何意義；第三，三對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系，即函數(shù)與圖像、曲線與方程、實(shí)數(shù)與點(diǎn)[2]。

（二）實(shí)際應(yīng)用

“數(shù)”“形”結(jié)合方法可以通過(guò)以下角度，運(yùn)用在幾何解題之中：第一，解決圓類問(wèn)題。圓類問(wèn)題的求解，一般圍繞圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓與圓以及圓與直線兩者之間的位置關(guān)系展開(kāi)，通常使用直角坐標(biāo)系，我們可以直觀的觀察到兩者到底是何種關(guān)系，但是學(xué)到這種程度還不夠，還需要寫(xiě)出求解的步驟，而這一步驟的書(shū)寫(xiě)就需要用到“數(shù)”“形”結(jié)合方法，也即以數(shù)解形，具體來(lái)講，是通過(guò)求解圓心與直線間的距離長(zhǎng)短，以該距離作為判斷的依據(jù)，距離大于圓的半徑則說(shuō)明直線在圓外面，距離小于圓的半徑則說(shuō)明直線與圓相交，距離等于圓的半徑則說(shuō)明直線與圓相切；第二，解決不等式問(wèn)題?！皵?shù)”“形”結(jié)合方法還可以用來(lái)解決不等式的問(wèn)題，解題思路是：先行化解題目中給出的不等式，一般來(lái)講，該不等式可以被化解為曲線方程，然后再建立坐標(biāo)系，將曲線方程繪制在數(shù)軸上，逐一計(jì)算定義域以及值域，最后通過(guò)觀察坐標(biāo)系之中圖形的交集，便可以得出不等式的解集。

三、運(yùn)用“數(shù)”“形”結(jié)合方法解答幾何問(wèn)題的類型

（一）以“數(shù)”化“形”

以“數(shù)”化“形”實(shí)則運(yùn)用的是圖形分析法，也即基于“數(shù)”具有抽象性特征，而“形”具有直觀性特征的優(yōu)勢(shì)，可以找出“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系，繪制圖形，通過(guò)分析圖形，解決“數(shù)”的問(wèn)題。一般來(lái)講，在運(yùn)用該方法之前，要先分析這道題目的結(jié)構(gòu)，包括這道題目的已知條件和求解目標(biāo)，然后比較已知條件與求解目標(biāo)，找尋兩者之間的聯(lián)系?；镜慕忸}思路是：明確題目中都給出了哪些條件以及需要求解哪些問(wèn)題，然后以這些內(nèi)容為基礎(chǔ)，觀察可以在解答過(guò)程中應(yīng)用哪些學(xué)過(guò)的公式或是定理，再構(gòu)造能夠解答本題的圖形，最后根據(jù)繪制出的圖形的幾何意義和性質(zhì)，聯(lián)系求解目標(biāo)完成解題任務(wù)。

（二）以“形”變“數(shù)”

雖然“形”有“數(shù)”所不具備的特點(diǎn)，但是有時(shí)在定量方面，“形”也還需借助代數(shù)運(yùn)算，尤其是對(duì)于一些復(fù)雜的“形”，既要數(shù)字化，還要觀察其特點(diǎn)，將其中所具有的隱含條件挖掘出來(lái)，難度較大。因此該類題目的解答思路是：先行確定已知條件與求解目標(biāo)，并分析兩者的性質(zhì)以及特點(diǎn)，理解兩者在該圖形中所具有的幾何意義，再用已經(jīng)掌握的知識(shí)，將題中圖形以代數(shù)式的形式表達(dá)出來(lái)，運(yùn)用相關(guān)公式正確求解。

（三）“形”“數(shù)”互變

數(shù)形結(jié)合的另一種形式便是“形”“數(shù)”互變。對(duì)于幾何題目來(lái)講，雖然原理不多，但是形式卻千變?nèi)f化，僅僅依賴于前兩種形式，不足以完全涵蓋幾何題目的類型，所以還有一種數(shù)形結(jié)合的類型需要掌握，也即“形”“數(shù)”互變，“形”的直觀與“數(shù)”的嚴(yán)密要隨時(shí)根據(jù)題目所給的條件靈活應(yīng)變，隨時(shí)轉(zhuǎn)化，最佳的學(xué)習(xí)狀態(tài)便是達(dá)到見(jiàn)“數(shù)”想“形”以及看“形”思“數(shù)”[3]，才能真正做到將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，滿足實(shí)際解題的需求，提高解題的效率與準(zhǔn)確度，促進(jìn)數(shù)學(xué)水平的提升。

四、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)幾何解題中應(yīng)用“數(shù)”“形”結(jié)合的方法，并不僅僅是知識(shí)的疊加，更是一種知識(shí)的靈活應(yīng)用與遷移，需要學(xué)生先行掌握教材中的基本幾何知識(shí)，再對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)之后的原理進(jìn)行挖掘，才能在此基礎(chǔ)上做到數(shù)學(xué)方法的綜合運(yùn)用，讓“數(shù)”“形”結(jié)合的方法發(fā)揮其應(yīng)有的輔助作用，幫助學(xué)生理解幾何知識(shí)，提升數(shù)學(xué)水平。

參考文獻(xiàn)：

[1]郭紅梅. 數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用原則研究[A]. 《教師教育能力建設(shè)研究》科研成果匯編（第八卷）[C].中國(guó)管理科學(xué)研究院教育科學(xué)研究所，2018：5.

[2]葛玉鋒.數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2018（14）：45-48.

[3]鄧雅文.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合巧解高中數(shù)學(xué)解析幾何問(wèn)題[J].科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新，2018（03）：55-56.

（作者單位：湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)）