潘富格　張維忠

【摘要】對“人大復(fù)印資料”《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》上的數(shù)學(xué)文化活動的論文進行統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，主要涵蓋數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)、數(shù)學(xué)與游戲4類主題，相關(guān)主題反映出的數(shù)學(xué)文化活動具有主題豐富多彩、形式多樣化、體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等特點，最后為數(shù)學(xué)文化活動的教學(xué)與實踐研究提出了相關(guān)建議.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化；活動；特點

1引言

2017年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將體現(xiàn)“數(shù)學(xué)的文化價值”作為課程標(biāo)準(zhǔn)的理念之一，強調(diào)“數(shù)學(xué)文化融入高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容”，明確給出數(shù)學(xué)文化的定義.數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)已成為數(shù)學(xué)教育界研究的熱門課題，但一線教師仍然感覺到數(shù)學(xué)文化素材不夠豐富，對數(shù)學(xué)文化內(nèi)容如何合理地融入教學(xué)依然存在困惑.關(guān)于數(shù)學(xué)文化的相關(guān)論文鋪天蓋地，但內(nèi)容質(zhì)量參差不齊，而“中國人民大學(xué)復(fù)印報刊資料”（以下簡稱“人大復(fù)印資料”）在我國學(xué)術(shù)界具有較大的價值和品牌影響力，其轉(zhuǎn)載的論文大都是經(jīng)過專家、學(xué)者對海量的學(xué)術(shù)信息去蕪存菁、優(yōu)中選優(yōu)的高質(zhì)量作品，這無疑為本文研究精品文獻(xiàn)提供了平臺.鑒于此，本文選擇“人大復(fù)印資料”《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2001—2018年關(guān)于數(shù)學(xué)文化的論文進行統(tǒng)計和分析，旨在了解我國數(shù)學(xué)文化融入高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的現(xiàn)狀，分析數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，總結(jié)數(shù)學(xué)文化活動的特點，以及為數(shù)學(xué)文化的教學(xué)與實踐研究提供建議.

為明確表明本文研究的對象，筆者選擇“人大復(fù)印資料”《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》報刊，時間選擇“2001—2018”，截止到2018年第4期，內(nèi)容涉及“數(shù)學(xué)文化”且排除重復(fù)出現(xiàn)的論文，最后統(tǒng)計得到144篇.其中，從年份來看，2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗版）》充分肯定了數(shù)學(xué)的文化價值，課標(biāo)的要求可能驅(qū)動數(shù)學(xué)文化的研究；從具體主題來看，“人大復(fù)印資料”《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2001年轉(zhuǎn)載的文章開始顯性地出現(xiàn)“數(shù)學(xué)與文化”的關(guān)鍵字，逐漸關(guān)注數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)；從具體內(nèi)容來看，2001年之后的論文內(nèi)容更加與時俱進.因此，選擇2001年以來被“人大復(fù)印資料”《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》轉(zhuǎn)載的論文進一步分析具有一定的代表性.

2“人大復(fù)印資料”《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》上的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容

借鑒林佳樂，汪曉勤[1]的分類，將數(shù)學(xué)文化的論文分為專題研究和教學(xué)活動兩大類.其中，專題研究是對某個數(shù)學(xué)文化主題的探討，作者沒有提到有關(guān)主題在教學(xué)上的運用，共84篇；教學(xué)活動是作者設(shè)計的以數(shù)學(xué)文化為主題的活動，共60篇，絕大多數(shù)已在課堂上實施.其中，“活動”是指圍繞某一數(shù)學(xué)文化主題，由學(xué)生參與、為解決問題而設(shè)計的數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié).以下給出在2001—2018年中的數(shù)學(xué)文化教學(xué)活動論文的數(shù)量分布情況，如圖1所示：

從圖1可見，“人大復(fù)印資料”《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》十分關(guān)注數(shù)學(xué)文化的教學(xué)活動，近年來轉(zhuǎn)載的論文數(shù)量呈波峰波谷的態(tài)勢，以數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化專題轉(zhuǎn)載的出現(xiàn)5次，分別是2012年第7期、2014年第12期、2015年第2期、2017年第12期、2018年第2期，且總結(jié)觀點摘要和相關(guān)題錄.這說明了數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)越來越受關(guān)注，逐漸從數(shù)學(xué)教學(xué)研究的邊緣走向中心位置.縱觀2001年以來的60篇數(shù)學(xué)文化教學(xué)活動文章，主要涵蓋數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)、數(shù)學(xué)與游戲4類數(shù)學(xué)文化主題，以下分別對其進行分析.

2.1數(shù)學(xué)史

數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分，這一主題在“人大復(fù)印資料”上數(shù)學(xué)文化活動方面的論文中所占比例大，為一線教師提供了豐富的教學(xué)史料.借鑒田方琳、汪曉勤[2]的分類，將數(shù)學(xué)史的教學(xué)活動內(nèi)容分為數(shù)學(xué)專題、數(shù)學(xué)人物、數(shù)學(xué)問題等.

“數(shù)學(xué)專題”是主流的數(shù)學(xué)史介紹方式，是指以某個數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)歷史或相關(guān)歷史的延伸為主題的內(nèi)容.如王芳[3]講授“導(dǎo)數(shù)應(yīng)用”一課，借鑒開普勒思考酒桶的最佳比例的例子，從研究易拉罐尺寸開始，探討了球內(nèi)接圓柱、圓錐，球內(nèi)接正三棱錐等的最佳比例問題，并拓展到球內(nèi)接正n棱柱、棱錐的最佳比例問題，層層遞進，從特殊中歸納出一般性的結(jié)論.數(shù)學(xué)專題是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的高水平運用方式，既讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，也關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

“數(shù)學(xué)人物”在數(shù)學(xué)史活動內(nèi)容中所占比例較大，數(shù)學(xué)史的介紹離不開數(shù)學(xué)人物.數(shù)學(xué)人物的介紹能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動力，培養(yǎng)學(xué)生的人文情懷.如黃偉[4]講授“數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入”一節(jié)時，將數(shù)學(xué)家卡爾丹、笛卡爾、達(dá)朗貝爾、歐拉、高斯等對復(fù)數(shù)系的建立所作的貢獻(xiàn)融入教學(xué)過程；再如顧云良[5]介紹了陳景潤的故事：在中學(xué)的時候，他的數(shù)學(xué)老師介紹了“哥德巴赫猜想”，陳景潤一直思考和探索，直到1966年證明了“1+2”，被國際公認(rèn)為“陳景潤定理”.數(shù)學(xué)人物的經(jīng)歷和故事，能夠激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，幫助學(xué)生形成積極探索的態(tài)度，感受人類理性思維在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用.

“數(shù)學(xué)問題”是指展示或解答歷史上已有的數(shù)學(xué)問題.如婁小力[6]講解“極限概念”時，創(chuàng)設(shè)芝諾悖論問題情境，激起學(xué)生主動思考和探討，有利于學(xué)生深入掌握極限的概念.再如蔣滿林[7]改編畢達(dá)哥拉斯三角形數(shù)，建立鋼管垛模型，加深對一次冪求和的認(rèn)識和形成模型化策略，從而探究二次冪求和的方法.經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，可以讓學(xué)生體會到蘊涵在其中的思想方法，鼓勵學(xué)生追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史軌跡.

2.2數(shù)學(xué)與生活

數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活.作為數(shù)學(xué)教師，需要思考如何結(jié)合生活中的素材更好地進行教學(xué).數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系包括數(shù)學(xué)與個人生活、數(shù)學(xué)與公共生活.

如朱占奎設(shè)置了與學(xué)生個人生活相關(guān)的兩組教學(xué)活動.第一組活動：請學(xué)號從1到6的學(xué)生報出自己的出生月份，通過描點、寫解析式，概括出函數(shù)的概念；第二組活動：請某一組出生在前六個月的學(xué)生報出學(xué)號，進而說明不是函數(shù).對照的兩組活動，從具體到抽象，幫助學(xué)生更好地掌握函數(shù)的概念.實際數(shù)學(xué)課堂中，利用與學(xué)生個人生活相關(guān)的情境，構(gòu)成一條現(xiàn)實情境鏈，可以減少學(xué)生的認(rèn)知困難，有利于學(xué)生深刻地理解數(shù)學(xué).

有研究者更加關(guān)注數(shù)學(xué)與公共生活的聯(lián)系，如王琪[8]列舉“獎勵方案”、“環(huán)保問題”、“聲音強度問題”、“地震振幅問題”等生活問題，建立函數(shù)模型，說明函數(shù)與現(xiàn)實世界緊密聯(lián)系，有著廣泛的應(yīng)用價值.再如張乃達(dá)[9]創(chuàng)設(shè)游船情境和拉索對塔柱的拉力問題，引出向量加法的教學(xué)，通過兩個生活情境問題，使學(xué)生深入思考，推動學(xué)生意義建構(gòu)活動的發(fā)展，感受到生活中處處有數(shù)學(xué)的樂趣.2.3數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)

數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)在人類文明的形成和歷史發(fā)展過程中有著密切的關(guān)聯(lián)，它們都是構(gòu)成人類文明不可分割的有機部分.數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)的活動主要涵蓋的內(nèi)容有古語、經(jīng)典名言、詩詞作品.

如繆向光[10]借用古語“三個臭皮匠，頂上一個諸葛亮”導(dǎo)入新課“事件的獨立性”.作者設(shè)計了諸葛亮能解決問題的概率是85%，三個臭皮匠分別是40%、50%、60%，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)角度探討三個臭皮匠是否真能頂上一個諸葛亮？向?qū)W生展現(xiàn)了數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)之間的密切相關(guān)性.

韓詩貴[11]認(rèn)為經(jīng)典名言可用于新課導(dǎo)入、釋疑解惑、入門教學(xué)和銜接過渡中.如在釋疑解惑時引用法國數(shù)學(xué)家笛卡兒的名言：一切問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，一切數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，而一切代數(shù)問題又都可以轉(zhuǎn)化為方程問題.讓學(xué)生感受到方程的廣泛應(yīng)用性.經(jīng)典名言是數(shù)學(xué)教學(xué)中的文化素材，在課堂教學(xué)中合理選擇，有效使用，可傳承數(shù)學(xué)文化，豐富和提升數(shù)學(xué)的育人功能.

張奠宙[12]提及數(shù)學(xué)與人文意境結(jié)合的重要性，中華文化的詩詞作品在意境上可以和西方數(shù)學(xué)溝通.如蘇軾的《琴詩》：“若言琴上有琴聲，放在匣中何不鳴？若言聲在指頭上，何不于君指上聽？”與數(shù)學(xué)中的反證法相似；杜甫的《登高》：“無邊落木蕭蕭下，不盡長江滾滾來”，可以用來理解高中的無限概念.將中華文化的古詩詞與數(shù)學(xué)內(nèi)容相連接，增加數(shù)學(xué)內(nèi)容的人文價值，為中國古典文化增添新的生命力.

2.4數(shù)學(xué)與游戲

數(shù)學(xué)與游戲的結(jié)合，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力.

如卓斌[13]利用“數(shù)字游戲”，讓學(xué)生走進“對數(shù)概念”的學(xué)習(xí).列舉兩行數(shù)字，第一行表示2的指數(shù)，第二行表示2的對應(yīng)冪，教師引導(dǎo)學(xué)生通過第1行對應(yīng)數(shù)字的和來計算第2行中兩個數(shù)的乘積.通過找規(guī)律的“數(shù)字游戲”，一方面激發(fā)學(xué)生的求知欲，產(chǎn)生問題意識；另一方面這是400年前蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明的計算方法，讓學(xué)生重溫對數(shù)發(fā)明的歷史，從中找到數(shù)學(xué)原理.

再如蔡道平[14]利用“猜年齡”的游戲滲透“二分法”思想，通過師生互動：60，高了；40，低了；50，低了；55，高了……由猜年齡引入二分法思想，將生活語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，并能運用數(shù)學(xué)方法解決問題，自然地過渡到求方程的根，為整堂課提供了一個良好的起點.這是學(xué)生常接觸的問題，通過課堂游戲，拉近與學(xué)生之間的心理距離，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中師生互動、合作交流做好鋪墊.

[STFZ]3數(shù)學(xué)文化活動的特點

基于對“人大復(fù)印資料”《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》中數(shù)學(xué)文化活動相關(guān)論文的分析，總結(jié)我國高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)文化活動的特點.3.1主題豐富多彩

“人大復(fù)印資料”《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》上的數(shù)學(xué)文化活動主題豐富多彩，涵蓋數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)、數(shù)學(xué)與游戲等，這些主題共同特點是大部分貼近學(xué)生的生活，符合學(xué)生的認(rèn)知水平，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進學(xué)生深層學(xué)習(xí).

縱觀數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)文化活動，涉及的知識點：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、極限概念、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入、向量的加法、事件的獨立性、函數(shù)概念、對數(shù)概念、二分法等；涉及的數(shù)學(xué)問題有“哥德巴赫猜想”、“陳景潤定理”、“芝諾悖論”、“納皮爾計算方法”、“畢達(dá)哥拉斯三角數(shù)”等；涉及的數(shù)學(xué)家有阿爾·花拉子米、韋達(dá)、卡爾丹、笛卡爾、達(dá)朗貝爾、歐拉、高斯等.總體而言，“人大復(fù)印資料”《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》中的數(shù)學(xué)文化活動涉及的知識面廣，數(shù)學(xué)問題多樣化，介紹的數(shù)學(xué)人物較多.3.2活動形式多樣化

數(shù)學(xué)文化活動在高中課堂教學(xué)中的形式是多種多樣的，除了一般的講授、探究、小組討論，還有許多有趣的數(shù)學(xué)文化活動.如繆向光[10]做一個測量學(xué)校教學(xué)樓高度的實習(xí)作業(yè)，并寫出實習(xí)報告；曾榮[15]讓學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)等資源了解數(shù)學(xué)史上的“第一次數(shù)學(xué)危機”.多樣化的活動形式，使冷冰冰的數(shù)學(xué)課變得更有生機和活力，使數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)教育界發(fā)展的必然趨勢.3.3關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

融入數(shù)學(xué)文化，發(fā)展核心素養(yǎng)，是我們一線教師教學(xué)的目標(biāo).數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教授學(xué)生數(shù)學(xué)知識，更要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光和思維觀察問題、分析問題和解決問題的能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)文化活動的文章充分體現(xiàn)對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)注，如“導(dǎo)數(shù)應(yīng)用”教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯推理能力；“畢達(dá)哥拉斯三角形數(shù)”與“鋼管垛模型”問題提高數(shù)學(xué)建模能力；“虛數(shù)i”教學(xué)過程提高數(shù)學(xué)抽象能力等.這說明“人大復(fù)印資料”《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》中數(shù)學(xué)文化活動的文章，試圖從文化的角度指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，既體現(xiàn)出數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇运季S，又能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的魅力，同時也更好地落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4啟示與建議

通過對“人大復(fù)印資料”《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》上數(shù)學(xué)文化活動的內(nèi)容和特點進行分析，得到以下啟示與建議.

4.1案例的開發(fā)與研究

數(shù)學(xué)文化教學(xué)案例的文章數(shù)量較多，但缺少真正值得推廣的研究成果.一方面是數(shù)學(xué)文化教學(xué)研究方法不夠有說服力，大多數(shù)都是憑借一線教師的教學(xué)經(jīng)驗總結(jié)得到，缺乏普遍性；另一方面，數(shù)學(xué)文化活動的設(shè)計缺乏理論研究者與一線教師的合作.

具體而言，課標(biāo)中強調(diào)將數(shù)學(xué)文化融入到數(shù)學(xué)教學(xué)中，但數(shù)學(xué)文化怎樣融入數(shù)學(xué)教學(xué)？什么內(nèi)容才更好地融入數(shù)學(xué)文化？張維忠等在《基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)模式構(gòu)建》[16]一文中解釋過上述的疑惑，并以“數(shù)學(xué)歸納法”[17]為例加以闡述.同時也可以借鑒PISA試題中多領(lǐng)域的真實情景，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中多角度、多領(lǐng)域地滲透數(shù)學(xué)文化.可惜的是，“人大復(fù)印資料”《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》中數(shù)學(xué)文化活動涉及數(shù)學(xué)與科技方面的較少，這一原因可能是科技知識很難與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，也說明數(shù)學(xué)文化活動的設(shè)計缺乏時效性，案例的開發(fā)和研究水平有待提高.4.2活動的創(chuàng)設(shè)與呈現(xiàn)

數(shù)學(xué)文化活動的成效要通過教學(xué)實踐的考驗，活動的創(chuàng)設(shè)與呈現(xiàn)直接影響到學(xué)生學(xué)習(xí)的質(zhì)量.“人大復(fù)印資料”《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》中數(shù)學(xué)文化活動的創(chuàng)設(shè)，主要體現(xiàn)在情境引入環(huán)節(jié)，在一定程度起到良好的教學(xué)效果，但沒有很好地促進學(xué)生的深層學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)，除了淺層次的介紹數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)名題等，還可以設(shè)計以問題解決為導(dǎo)向，滲透數(shù)學(xué)思想方法等深層次的數(shù)學(xué)文化活動，從而更有效地發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的教育價值.

數(shù)學(xué)文化活動呈現(xiàn)的形式可以多種多樣，除了課堂上小組討論、小組匯報的形式，可以開展折紙、度量等動手操作的課堂活動，或開展數(shù)學(xué)文化的課外活動，讓學(xué)生親自參與課外調(diào)查和實踐，實現(xiàn)“從做中學(xué)”.

4.3技術(shù)的介入與融合

隨著電子技術(shù)的發(fā)展，技術(shù)與數(shù)學(xué)的結(jié)合成為一種趨勢.技術(shù)的介入與融合，不僅使知識呈現(xiàn)更為直觀和深刻，還幫助學(xué)生更加清晰、直觀地理解數(shù)學(xué)思想方法，為教師有效地教與學(xué)生高效地學(xué)提供很大的幫助.數(shù)學(xué)教師利用多媒體課件、幾何畫板輔助教學(xué)最為常見，但部分教師使用信息技術(shù)可能還停留在“利用豐富的動態(tài)效果，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；利用信息技術(shù)節(jié)省活動的時間；便于展現(xiàn)學(xué)生或教師的操作過程；展示教學(xué)中的相關(guān)內(nèi)容”等一些輔助教學(xué)的層面上.然而，信息技術(shù)作用于教育的過程與效果的認(rèn)識才是信息技術(shù)融入教學(xué)的關(guān)鍵.充分利用現(xiàn)代科技，讓學(xué)生能夠和數(shù)學(xué)家進行“對話”，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，體會到數(shù)學(xué)家思考問題、解決問題的艱辛，在信息技術(shù)的輔助下更能充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力和價值.

參考文獻(xiàn)

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