牛玉俊

摘要：本文思考了如何在數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過(guò)程中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。分析了不同的數(shù)學(xué)課程中數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵問(wèn)題，并提出了一般的解決方法。

關(guān)鍵詞：常微分方程；數(shù)學(xué)建模；案例教學(xué)

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）51-0237-02

一、引言

數(shù)學(xué)往往通過(guò)反映客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)過(guò)程中量與量之間的一種關(guān)系，但在大量的實(shí)際問(wèn)題中遇到稍為復(fù)雜的一些運(yùn)動(dòng)過(guò)程時(shí)，反映運(yùn)動(dòng)規(guī)律的量與量之間的關(guān)系（即函數(shù)）往往不能直接寫(xiě)出來(lái)，卻比較容易地建立這些變量和它們的導(dǎo)數(shù)（或微分）間的關(guān)系式，不同的物理現(xiàn)象可以具有相同的數(shù)學(xué)模型，這一事實(shí)正是現(xiàn)代許多應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者和工程人員應(yīng)用模擬方法解決物理或工程問(wèn)題的理論依據(jù)。例如，利用電路來(lái)模擬某些力學(xué)系統(tǒng)或機(jī)械等在現(xiàn)時(shí)已相當(dāng)普遍。在自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的其他領(lǐng)域中，例如化學(xué)、生物學(xué)、自動(dòng)控制、電力技術(shù)等，都提出了大量的微分方程問(wèn)題，因此，社會(huì)的生產(chǎn)實(shí)踐是常微分方程理論取之不盡的基本源泉。此外，常微分方程與數(shù)學(xué)的其他分支的關(guān)系也是非常密切的。它們往往互相聯(lián)系、互相促進(jìn)。例如，幾何學(xué)、機(jī)械運(yùn)動(dòng)、電磁振蕩就是常微分方程理論的豐富的源泉之一，常微分方程也是解決實(shí)際問(wèn)題不可或缺的武器。

數(shù)學(xué)給人的第一感覺(jué)往往是高深莫測(cè)，離實(shí)際很遙遠(yuǎn)，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)于大多數(shù)人來(lái)說(shuō)都不是一件容易的事情。但是數(shù)學(xué)歸根結(jié)底是一種工具課程，是要作為一種解決生產(chǎn)生活和科學(xué)研究中問(wèn)題的手段和工具。那些覺(jué)得數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味，脫離現(xiàn)實(shí)的人一定是不會(huì)用數(shù)學(xué)作為工具，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，分析問(wèn)題解決問(wèn)題的人。利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的第一步就是數(shù)學(xué)建模，通過(guò)合理的假設(shè)，對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)化的描述，找到其中的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，分析模型，解決實(shí)際問(wèn)題。所以，利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵，是數(shù)學(xué)建模，如果會(huì)數(shù)學(xué)建模，就掌握了用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵。每年的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽和美國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽等國(guó)內(nèi)外知名的綜合性競(jìng)賽，學(xué)生的參與積極性都很高。如果在課堂上加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)，就能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升教學(xué)效果，提高學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

二、思考及應(yīng)對(duì)措施

在課堂中適當(dāng)增加數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中的逸聞趣事，提高學(xué)生課堂中的興趣及積極性。相對(duì)于枯燥的知識(shí)講解及數(shù)學(xué)的計(jì)算證明過(guò)程，數(shù)學(xué)史具有更強(qiáng)地趣味性，顯得更加輕松。但是需要注意的是，數(shù)學(xué)史只能作為調(diào)劑品，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行穿插講授，特別是在一些重要的定理、定義的產(chǎn)生過(guò)程中的數(shù)學(xué)大家的故事，在學(xué)生覺(jué)得枯燥的時(shí)候進(jìn)行穿插講解，可以解決數(shù)學(xué)課堂的枯燥問(wèn)題，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

例如可以給學(xué)生講解一些微分方程的來(lái)歷，比如伯努利方程的由來(lái)及伯努利家族的彪炳史冊(cè)的成績(jī)[3，4]。也可以在講授第六章非線性微分方程的過(guò)程中，給學(xué)生講解前沿的非線性問(wèn)題，比如非線性微分方程中的蝴蝶效應(yīng)，分岔，分形等形象直觀的現(xiàn)象。給學(xué)生展示非線性研究中常見(jiàn)的相圖，分岔圖，時(shí)間歷程圖，最大Lyapunov指數(shù)圖等形象直觀的教學(xué)科研方法，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。但是，要注意課堂的主要任務(wù)及講解這些數(shù)學(xué)軼事的目的。

我們也可以在課堂上，向?qū)W生詳細(xì)講授一個(gè)數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程，不能僅僅是只停留在解方程上，而要分析這個(gè)方程是怎么建立起來(lái)的，這對(duì)數(shù)學(xué)建模能力的提升具有極其重要的意義。例如考慮如下的幾何問(wèn)題。

而在不同的數(shù)學(xué)學(xué)科中，數(shù)學(xué)建模的核心也是不一樣的。例如在微分方程的數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，要著重分析瞬時(shí)變化率與各個(gè)變量之間的關(guān)系[5]，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)就是一種瞬時(shí)變化率。而概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)建模思維的關(guān)鍵是找到隨機(jī)量及隨機(jī)量的各個(gè)級(jí)別的矩，并找到這些矩之間的關(guān)系。從上面的分析中可以知道，數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵是提煉數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，把復(fù)雜的研究問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)合理的條件約化，去掉對(duì)問(wèn)題不起關(guān)鍵作用的細(xì)枝末節(jié)，只留核心問(wèn)題，建立起能夠反映所研究問(wèn)題的定量或者定性的數(shù)學(xué)表達(dá)式，這就是數(shù)學(xué)模型。在建模過(guò)程中[6]，要首先根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，區(qū)分你所面對(duì)的問(wèn)題是“必然類”還是“隨機(jī)類”，是“突變類”還是“模糊類”，區(qū)分了類別之后，再選擇用什么數(shù)學(xué)手段來(lái)解決問(wèn)題。其次，抓住主要矛盾進(jìn)行科學(xué)抽象，而抓住主要矛盾的關(guān)鍵是分清主次。一定要掌握兩個(gè)基本原則：一是所建立的模型是可能給出近似解的；二是這個(gè)近似解的誤差是在允許的范圍內(nèi)的。在求解數(shù)學(xué)模型之后，要返回原問(wèn)題進(jìn)行驗(yàn)證和修正，找出出現(xiàn)問(wèn)題的原因，并進(jìn)行模型評(píng)估與改進(jìn)。

建立起實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型一般是比較困難的，因?yàn)檫@需要對(duì)與問(wèn)題有關(guān)的自然規(guī)律有一個(gè)清晰地了解，如果求解力學(xué)問(wèn)題就要對(duì)牛頓三大定律有清楚的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也需要有一定的數(shù)學(xué)知識(shí)。為了要建立起實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，一定要學(xué)習(xí)有關(guān)的自然科學(xué)和工程技術(shù)的專業(yè)知識(shí)，微分方程往往可以看作是各種不同物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，我們?cè)诮⑽⒎址匠痰臅r(shí)候，只能考慮影響這個(gè)物理現(xiàn)象的一些主要因素，而把其他一些次要因素忽略掉，如果的確考慮到了那些最主要的因素，那么，我們所得到的微分方程，它的解和所考慮的物理現(xiàn)象就是比較接近的，這時(shí)，我們得到的數(shù)學(xué)模型是有用的，否則，我們還應(yīng)考慮其他一些因素，以便建立起更為合理的數(shù)學(xué)模型。為了解決熱電學(xué)問(wèn)題，需要了解其中的一些基本規(guī)律，如下面將用到牛頓冷卻定律，其內(nèi)容為熱量總是從物體中溫度高的向溫度低的物體傳導(dǎo)；在一定溫度范圍內(nèi)，一個(gè)物體的溫度變化速度與這一物體的溫度和其所在介質(zhì)溫度差值成比例等。

總之，在學(xué)校轉(zhuǎn)型為應(yīng)用型本科高校的前提下，積極探索新背景下數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革及創(chuàng)新，是一件及其有意義的事情，也是值得我們進(jìn)一步進(jìn)行探討的問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

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[6]姜啟源，謝金星.數(shù)學(xué)建模案例精選[M].北京：高等教育出版社，2006.