《曲邊梯形的面積》教學(xué)分析

孟瑩

（寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)，寧夏 銀川 750000）

選自教材：人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》選修2-2，第一章“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”第五節(jié)“定積分的概念”第一課：曲邊梯形的面積。

一、背景分析

（一）學(xué)習(xí)任務(wù)分析

《數(shù)學(xué)課標(biāo)》下的微積分設(shè)計(jì)逾越了形式化極限概念學(xué)習(xí)這一障礙,強(qiáng)調(diào)微積分學(xué)習(xí)的思想性、選擇性和廣泛應(yīng)用性，主張通過典型例子分析和學(xué)生的自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，體會(huì)蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)思想、方法，追求數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為易于學(xué)生接受的教育形態(tài)，進(jìn)而突出數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，這也是本次課改力度較大的地方。

本節(jié)是繼由變化率認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)后，通過求曲邊梯形面積的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生再一次了解微積分的思想方法：以直代曲和逼近思想。對(duì)于絕大部分高中學(xué)生來(lái)說，求曲邊梯形的面積是一個(gè)非常困難的問題，他們很難找到解決問題的方法和步驟。本節(jié)課學(xué)生將借助問題情境，通過類比圓的面積的求法得到解決它的思想方法，同時(shí)借助計(jì)算機(jī)的直觀形象的演示，讓學(xué)生清楚的看到曲邊梯形的面積由量變到質(zhì)變的變化過程，引導(dǎo)學(xué)生感知“以直代曲”和“逼近”的思想方法，并歸納求曲邊梯形面積的“四步曲”。所以本節(jié)課既是理解后續(xù)定積分概念及幾何意義的基礎(chǔ),也是充分感受用極限的思想方法思考處理問題的好題材，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生探究能力的好素材。學(xué)習(xí)任務(wù)分析層級(jí)圖如下：

任務(wù)分析層級(jí)圖可使學(xué)生把新的學(xué)習(xí)內(nèi)容的要素與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中特別相關(guān)的部分聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)。也可清楚的看出本節(jié)課的重點(diǎn)：通過求曲邊梯形的面積這一過程，了解定積分的基本思想方法，初步掌握求曲邊梯形面積的步驟的“四步曲”，領(lǐng)會(huì)其微積分思想方法。

（二）學(xué)生情況分析

1.在知識(shí)結(jié)構(gòu)方面

前期必修1中學(xué)生已運(yùn)用逼近思想學(xué)習(xí)了二分法；必修2中用極限思想方法推導(dǎo)了球的體積公式；必修3中又進(jìn)一步探究了“割圓術(shù)”的思想方法；必修2-2導(dǎo)數(shù)的定義學(xué)習(xí)中再一次體會(huì)到了微分和極限思想。因此從知識(shí)結(jié)構(gòu)方面高二學(xué)生已具有一定的以直代曲、逼近、極限思想，具備了本節(jié)課所需的預(yù)備知識(shí)。

2.能力方面

經(jīng)過一年多的新課程學(xué)習(xí)，高二學(xué)生的參與、合作意識(shí)、自主探究能力、邏輯推理能力、分析問題、解決問題的能力有了明顯提高。但學(xué)生對(duì)以直代曲、無(wú)限逼近的認(rèn)識(shí)只是一些支離破碎的感性認(rèn)識(shí)。而求曲邊梯形的面積對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平要求較高，再加上學(xué)生沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)極限的有關(guān)知識(shí)，所以“怎么分割”、如何“以直代曲”是學(xué)生的首要難題，也是本節(jié)課的難點(diǎn)；無(wú)限逼近比較抽象，所以“逼近、取極限”是學(xué)生認(rèn)知過程中的第二個(gè)難點(diǎn)。

3.情感方面

本節(jié)課將通過創(chuàng)設(shè)問題情境、畫圖操作驗(yàn)證、自主探究、合作交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的好奇心，結(jié)合高二學(xué)生想探求新奇的心理，更大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生的認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力，讓他們更多地體驗(yàn)成功的喜悅。

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

《數(shù)學(xué)課準(zhǔn)》指出本節(jié)課的目標(biāo)是：通過求曲邊梯形的面積從問題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想。我結(jié)合《數(shù)學(xué)課標(biāo)》及學(xué)習(xí)任務(wù)分析和學(xué)生實(shí)際情況將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：

（一）知識(shí)與技能：

1.初步了解、感受定積分的實(shí)際背景。

2.體會(huì)“以直代曲”，“逼近”的思想。

（二）過程與方法：

通過探求曲邊梯形的面積的過程，了解用“分割、近似代替、求和、取極限”的方法、步驟分析問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

（三）情感與價(jià)值

讓學(xué)生在探究中進(jìn)一步感受極限的思想，體會(huì)直與曲雖然是一對(duì)矛盾，但它們可以相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，在問題解決中體驗(yàn)成功的愉悅，感受數(shù)學(xué)的魅力。

三、課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

《數(shù)學(xué)課標(biāo)》要求課堂設(shè)計(jì)要重視知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程，要體現(xiàn)基礎(chǔ)性、興趣性、層次性。要求教師引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而使學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解?；诖?，本課采用“問題-探究”課堂教學(xué)模式，設(shè)計(jì)為：一個(gè)核心，多個(gè)層次，多種選擇。如下圖，以曲邊梯形的面積為核心，通過這個(gè)載體，學(xué)生經(jīng)歷觀察、動(dòng)手操作、驗(yàn)算、討論交流、總結(jié)歸納等活動(dòng)，進(jìn)而獲得全方位的發(fā)展。學(xué)生學(xué)好核心內(nèi)容后，根據(jù)需要，有多種選擇，每個(gè)人都獲得必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與最佳發(fā)展。

四、教學(xué)媒體設(shè)計(jì)

根據(jù)本節(jié)知識(shí)本身的抽象性及作圖的復(fù)雜性，在教學(xué)中將P53頁(yè)的信息技術(shù)應(yīng)用板塊整合到本節(jié)課中，采用直觀生動(dòng)地展示分割過程和以直代曲的動(dòng)態(tài)變化情況，再現(xiàn)了知識(shí)的發(fā)生過程，這樣不僅提高了教學(xué)效率，更有效地突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，并且讓學(xué)生親眼目睹數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生過程形象生動(dòng)的特點(diǎn)，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，真正體現(xiàn)了知識(shí)與技能，過程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀三維目標(biāo)。

針對(duì)以上分析，我認(rèn)為，在新課程實(shí)施過程中，教師首先必須轉(zhuǎn)變觀念，要準(zhǔn)確把握課標(biāo)教材的教學(xué)要求。在本節(jié)課的的教學(xué)中，教師必須轉(zhuǎn)變微積分的主要內(nèi)容就是形式化的計(jì)算的傳統(tǒng)觀念，要淡化極限的形式化定義，在定積分概念的引入上多下工夫，要讓學(xué)生通過圖象直觀、動(dòng)態(tài)演示來(lái)理解定積分的本質(zhì)。