函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用

王洪淼

摘 要：數(shù)學(xué)是一個(gè)十分復(fù)雜的課程，而函數(shù)又是數(shù)學(xué)當(dāng)中比較綜合的一個(gè)學(xué)習(xí)模塊，在數(shù)學(xué)高考中，很多學(xué)生都會(huì)對(duì)陷在函數(shù)這個(gè)大坑里。函數(shù)思想在數(shù)學(xué)思想當(dāng)中也是一個(gè)十分重要的思想，該思想包含的內(nèi)容非常多，屬于一種綜合性的知識(shí)領(lǐng)域，在學(xué)習(xí)的過程中，我們會(huì)遇到許多關(guān)于函數(shù)思想的題型，但是相應(yīng)的解題應(yīng)用技巧也非常多。本文主要對(duì)函數(shù)進(jìn)行簡單的分析，進(jìn)而對(duì)函數(shù)在數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用提出一些看法。

關(guān)鍵詞：函數(shù)思想；數(shù)學(xué)問題；幾何；解題

一、什么是函數(shù)思想

函數(shù)思想的概念就是把我們?cè)谘芯窟^程中遇到的問題，通過建立函數(shù)關(guān)系式或者函數(shù)關(guān)系模型來進(jìn)行解題，你們?cè)诶煤瘮?shù)解析式的方法解決實(shí)際生活中的問題是一般都會(huì)結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行分析和轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決關(guān)于具體求值或者解不等式、證明不等式、解決方程、分析幾何等等問題。函數(shù)和方程的思想，就是讓我們學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)以及方程變量進(jìn)行思考，在思考的過程中通過實(shí)際的練習(xí)來學(xué)會(huì)函數(shù)中已知和未知之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，最后在熟練之后對(duì)函數(shù)和方程的題型進(jìn)行考查。在對(duì)函數(shù)和方程題型考查的過程中，主要是為了了解我們學(xué)生能不能使用函數(shù)和方程思想進(jìn)行具體的解題，其實(shí)教師在進(jìn)行講課的過程中可以對(duì)我們進(jìn)行一些關(guān)于函數(shù)和方程思想指導(dǎo)的解題方式。平常在使用函數(shù)和方程思想指導(dǎo)解題時(shí)，我們可以經(jīng)常性地思考以下這幾個(gè)問題。在進(jìn)行實(shí)際解題過程中，我們需不需要把一個(gè)代數(shù)式看成一個(gè)函數(shù)進(jìn)行解析？代數(shù)式中的字母我們需不需要把它看做一個(gè)變量？在將代數(shù)式看成一個(gè)函數(shù)的前提下，把一個(gè)字母或者幾個(gè)字母都看成一個(gè)變量，那么整個(gè)函數(shù)會(huì)有怎樣的性質(zhì)？我們?cè)诔醮蚊鎸?duì)一個(gè)問題時(shí)，并沒有把它看成一個(gè)函數(shù)問題，那么在解題過程中，我們是否可以構(gòu)造一個(gè)函數(shù)來進(jìn)行具體解題？我們是否需要建一個(gè)等式看成一個(gè)還有未知數(shù)方程，而且這個(gè)方程的解需要有什么要求？在利用函數(shù)和方程思想進(jìn)行解題時(shí)，對(duì)這些問題進(jìn)行思考，往往會(huì)使解題過程事半功倍。在目前的新課標(biāo)改革中，數(shù)學(xué)的新課程標(biāo)準(zhǔn)仍然將函數(shù)思想放在高中數(shù)學(xué)課程的重點(diǎn)位置上，畢竟，函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)中聯(lián)系面最廣的核心概念，它對(duì)整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)起到統(tǒng)帥的作用。

二、函數(shù)在各種數(shù)學(xué)知識(shí)中的應(yīng)用

1.函數(shù)與數(shù)學(xué)方程之間存在密切的聯(lián)系，因此我們首先來分析一下函數(shù)在解數(shù)學(xué)方程中的應(yīng)用。設(shè)f（x）=x?+bx+c是[-1，1]上的增函數(shù)，且f（-12）·f（12）<0，則方程f（x）=0在[-1，1]內(nèi)（ ）。

A.可能有3個(gè)實(shí)數(shù)根

B.可能有2個(gè)實(shí)數(shù)根

C.有的實(shí)數(shù)根

D.沒有實(shí)數(shù)根

解析：由f（-12）·f（12）<0得f（x）在[-12，12]內(nèi)有零點(diǎn)，又f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，∴f（x）在[-1，1]上只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程f（x）=0在[-1，1]上有的實(shí)根。

答案：C。

從以上例子中我們可以看出，利用函數(shù)的思想進(jìn)行數(shù)學(xué)方程的解題可以將方程的根分布進(jìn)行簡單的分析，這種方法是我們?cè)谶M(jìn)行方程解答過程中使用的一種常見的方法，而且該方法的運(yùn)用可以讓我們快速的轉(zhuǎn)換一些困難的題目。

2.在進(jìn)行數(shù)學(xué)數(shù)列的解題過程中，運(yùn)用函數(shù)思想也可以使整個(gè)數(shù)列問題變得通俗易懂。等差數(shù)列上的點(diǎn)可以用一次函數(shù)表示，a（n）=a（1）+（n-1）×d。一次函數(shù)是在某一個(gè)變化過程中，設(shè)有兩個(gè)變量x和y，如果可以寫成y=kx+b（k為一次項(xiàng)系數(shù)≠0，k≠0，b為常數(shù)），當(dāng)x2-x1=x3-x2=……=xn-xn-1時(shí)對(duì)于y可以看作等差數(shù)列。只要是有關(guān)這種類似的數(shù)列問題，教師都可以引導(dǎo)我們學(xué)生對(duì)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)知識(shí)來進(jìn)行綜合利用，可以巧妙地將數(shù)列問題和函數(shù)問題進(jìn)行結(jié)合，或者將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題進(jìn)行解答，這些方式都是將函數(shù)思想應(yīng)用在實(shí)際解題過程當(dāng)中的實(shí)踐應(yīng)用。

3.不等式問題是高中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的一個(gè)巨大困難，如果能夠巧妙地利用函數(shù)知識(shí)解決不等式問題，那么整個(gè)過程都將達(dá)到事半功倍的效果。

例如解一下不等式，2x?-3x-5>0，

解析：（x+1）（2x-5）>0

則（x+1）與（2x-5）同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù)。

同為正數(shù)則x>-1且x>5/2，所以x大于5/2。

同為負(fù)數(shù)則x<-1且x<5/2，所以x小于-1。

所以x的取值范圍為（負(fù)無窮，-1）或（5/2，正無窮）時(shí)，二次函數(shù)的值大于零。

如果有的二次函數(shù)不容易進(jìn)行因式分解，還可以根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)a的值，和判別式的情況來分析。

若a大于零則函數(shù)開口向上。

（1）若判別式b?-4ac>0，二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)x1，x2，（x1

（2）若判別式b?-4ac=0，二次函數(shù)與x軸有唯一交點(diǎn)，二次函數(shù)在此點(diǎn)以外的區(qū)間均大于0。

（3）若判別式b?-4ac<0，二次函數(shù)與x軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)在所有區(qū)間恒大于零。

這種類型的題是我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)高中知識(shí)時(shí)經(jīng)常會(huì)接觸到，如果不使用函數(shù)思想進(jìn)行解題那么很多同學(xué)都不能正確地得出答案，正是由于函數(shù)思想的存在，才能讓我們解不等式方程時(shí)游刃有余。

4.函數(shù)在立體幾何中的應(yīng)用可以通過構(gòu)建函數(shù)和代數(shù)的方法解決各類棘手的幾何問題，這也是解題的捷徑之一。

三、結(jié)語

從上文中我們可以看出函數(shù)思想覆蓋了很多高中數(shù)學(xué)中的知識(shí)，無論是不等式還是數(shù)列亦或者是幾何，我們都可以通過函數(shù)思想都運(yùn)用巧妙地進(jìn)行解題。這些數(shù)學(xué)知識(shí)都會(huì)涉及到最基本的內(nèi)容，我們只有真正地掌握好基礎(chǔ)知識(shí)才能更好地利用函數(shù)思想進(jìn)行解題。

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