羅宇軍 呂家星

【摘 要】本文通過對高中數(shù)學(xué)必修 1-5，選修 2-1，選修 2-2，選修 2-3 與信息技術(shù)深度融合的案例進行分析和總結(jié)，提煉出信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的模擬實驗策略。通過模擬實驗讓教師經(jīng)歷從組織學(xué)習(xí)內(nèi)容到設(shè)計學(xué)習(xí)經(jīng)歷的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)從被動接受到主動探究的轉(zhuǎn)化。

【關(guān)鍵詞】信息技術(shù) 數(shù)學(xué)教學(xué) 深度融合 模擬實驗

【中圖分類號】G? 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）10B-0048-06

策略是為實現(xiàn)某一個目標(biāo)，根據(jù)可能出現(xiàn)的問題制定若干對應(yīng)的方案，在實現(xiàn)目標(biāo)的過程中，根據(jù)形勢的發(fā)展和變化來制定新的方案，或者根據(jù)形勢的發(fā)展和變化選擇相應(yīng)的方案，最終實現(xiàn)目標(biāo)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，存在很多的含變量的知識點，這種知識點由于參數(shù)的變化而變得復(fù)雜，教師在教學(xué)過程中難以講得清楚明白。比如，立體幾何，因教具缺乏和學(xué)生空間想象能力不足，導(dǎo)致教師在教學(xué)過程中感到力不從心。如果能利用幾何畫板及相關(guān)幾何畫圖軟件制作相應(yīng)的課件讓學(xué)生進行“實驗”，那么就能使學(xué)生更好地理解幾何原理。這種利用信息技術(shù)手段的“模擬實驗”方法，既節(jié)約教學(xué)成本，又縮短教學(xué)時間，從而提高教學(xué)效率。因此，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的模擬實驗便成為數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種比較優(yōu)勢措施。

一、模擬實驗的適用范圍

和物理化學(xué)一樣，很多數(shù)學(xué)知識是由學(xué)生觀察“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”并進行歸納總結(jié)而得到或者形成的，如《指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》這一課的教學(xué)，為什么函數(shù)中規(guī)定 a>0 且 a≠1？為什么指數(shù)函數(shù)圖象恒過（1，0）？為什么值域為（0，+∞）？等等。傳統(tǒng)的教學(xué)方法無法直觀地展現(xiàn)這些知識內(nèi)涵，就是很辛苦地講解也不一定講清楚。如果利用幾何畫板制作成下面的課件（如圖 1 所示），讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)實驗的方式進行學(xué)習(xí)，那么就能“一拖”而解決所有問題（讓學(xué)生結(jié)合實驗，拖動 a，改變 a 的值并觀察圖象，就可以較好地把指數(shù)函數(shù)講清楚，較好地回答上面的問題）。

圖 1

但要注意，不是所有的課都要通過實驗來進行教學(xué)，數(shù)學(xué)課也如此。那么，哪些課需要通過“實驗”來進行呢？筆者對高中數(shù)學(xué)進行總結(jié)分析，得出適用“數(shù)學(xué)實驗”的數(shù)學(xué)課有如下特點。

（一）大多數(shù)函數(shù)問題（特別是含參數(shù)的函數(shù)），如 y=Asin（ωx+φ）的圖象、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等。具體如下：

以 y=Asin（ωx+φ）的圖象為例，對于 A，ω，φ 是如何影響 y=Asin（ωx+φ）圖象的？一般的黑板教學(xué)無法很好地展示。筆者利用幾何畫板的動態(tài)作圖特點，設(shè)計數(shù)學(xué)實驗如下：

〖實驗一〗振幅變換：如圖 2 所示，點擊圖中對應(yīng)的按鈕，改變 A 的取值，觀察圖象的變化，歸納出振幅變換的規(guī)律。

圖 2

〖實驗二〗周期變換：如圖 3 所示，點擊圖中對應(yīng)的按鈕，改變 ω 的取值，觀察圖象的變化，歸納出周期變換的規(guī)律。

圖 3

〖實驗三〗平移變換：如圖 4 所示，點擊圖中對應(yīng)的按鈕，改變 φ 的取值，觀察圖象的變化，歸納出平移變換的規(guī)律。

圖 4

（二）軌跡（曲線）問題，如橢圓、雙曲線、拋物線等。軌跡問題的教學(xué)策略：以模擬實驗替代傳統(tǒng)實驗，以精確度量代替直觀歸納，從而減少實驗成本，減少實驗“意外”的發(fā)生等影響學(xué)習(xí)的因素（以橢圓的定義為例）。

教材中采用如圖 5 的實驗的形式。

圖 5

讓學(xué)生通過實驗探究橢圓的形成過程，從而總結(jié)出橢圓的定義：把平面內(nèi)與兩個定點 F1，F(xiàn)2 的距離之和等于常數(shù)（大于 ∣F1F2∣）的點的軌跡叫做橢圓。

實踐表明，該實驗的演示效果比較差，另外實驗過程中的“意外”時有發(fā)生，并且當(dāng)“常數(shù)（等于∣F1F2∣）”和“常數(shù)（小于∣F1F2∣）”時的軌跡是怎樣的？比較難解釋。鑒于以上問題，筆者利用幾何畫板制作課件進行“模擬實驗”，解決上述問題。實驗畫面如下：

圖 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖 7? ? ? ? ?圖 8

如圖 6 所示，當(dāng) 2a>∣F1F2∣時，呈現(xiàn)的圖形是橢圓;如圖 7 所示，當(dāng) 2a=∣F1F2∣時，呈現(xiàn)的圖形是線段;如圖 8 所示，當(dāng) 2a<∣F1F2∣時，沒有呈現(xiàn)圖形（即此時圖形不存在）。如此便能夠輕松地講清楚這個知識點。

（三）定點、定值問題。具體如下：

〖例 1〗已知點 M 是橢圓? 的長軸上異于頂點的任意點，過點 M 且與 x 軸不垂直的直線交橢圓 E 于 A、C 兩點，點 A 關(guān)于 x 軸的對稱點為 B，設(shè)直線 BC 交 x 軸于點 N，試判斷? 是否為定值？并證明你的結(jié)論。

長期以來，定值、定點問題是學(xué)生眼中的“難點”，主要原因有兩個：（1）動點之間的關(guān)系不好確定，各個動點相互作用后，搞不清楚哪些是不動的？不知如何求定值？（2）定值是多少，難以確定（沒有目標(biāo)、方向）。

利用幾何畫板制作好課件，在課堂上進行數(shù)學(xué)模擬實驗，可以很好地解決上面的兩個問題。制作課件如下圖：

圖 9?? 圖 10? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖 11

第一步：拖動 Q 點改變直線斜率，發(fā)現(xiàn)雖然 C 點改變，B 點隨之改變，但是 N 點沒有隨之改變（如圖 9 所示），因此，在 M 不改變的情況下，N 不變，所以? 是定值。

第二步：拖動 M 點改變 M 的位置，發(fā)現(xiàn) N 點隨之改變， B 點隨之改變，但是通過度量功能度量出 xM，xN，發(fā)現(xiàn)? 的值并沒有隨之改變（如圖 10 所示），因此，在 M 改變的情況下，N 隨之改變，但是? 是定值 25。

第三步：拖動 M 點到點 E（長軸的右端點），發(fā)現(xiàn) N 點隨之移動到 E 點的位置（如圖 11 所示），此時 xM=xN=a，引導(dǎo)學(xué)生分析，得出結(jié)論：。

通過上面的探究，很容易引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出解決定值（定點）的方法（特殊到一般法）：分析動點或動線的特殊情況探索出定值，再證明該定值與變量無關(guān)。

（四）線性規(guī)劃問題。含參數(shù)的線性目標(biāo)函數(shù)具有較強的抽象性，參數(shù)的變化對可行域或目標(biāo)函數(shù)的變化，對于學(xué)生來說，不易理解。為解決這一問題，可通過信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)融合，利用幾何畫板動態(tài)展示，引導(dǎo)學(xué)生觀察與發(fā)現(xiàn)，體會參數(shù)變化對圖象的影響。

結(jié)合參數(shù)所在的位置，可以發(fā)現(xiàn)含參數(shù)的線性目標(biāo)函數(shù)問題一般可以分為兩類：

1.探究約束條件含有參數(shù)的線性目標(biāo)函數(shù)問題（域變目標(biāo)定問題）

〖例 2〗若變量 x，y 滿足約束條件 ，且 z=2x+y 的最小值為 -6，則 k=? ? ? ?。

按照正常的線性目標(biāo)函數(shù)分析，發(fā)現(xiàn)可行域雖然含參數(shù)，但容易得知參數(shù)對直線的變化情況的影響。發(fā)現(xiàn)無論 k 如何變化，最優(yōu)解都在 y=x 和 y=k 的交點取得，把抽象變成具體，能直觀得到最優(yōu)解的判斷。

圖 12? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖 13

圖 14

正常情況下，可行域和目標(biāo)都是變化的，學(xué)生分析起來比較困難。如果我們能夠把兩個變量減少到一個變量，那么解題難度將會減小許多。在這一指導(dǎo)思想下，通過與學(xué)生小組討論發(fā)現(xiàn)，如果 z=2x+y=6，那么可得到定直線 2x+y=6。只需要改變 k，改變可行域，就可發(fā)現(xiàn)當(dāng) C（k，k）不在直線 2x+y=6 上時就不能滿足條件（如圖 12，13 所示）;只有當(dāng) C（k，k）在直線 2x+y=6 上才滿足條件（如圖 14 所示）。由 2k+k=6，得到 k=2。

可行域中含有參數(shù)的解題策略：把最值代入目標(biāo)函數(shù)得到一條定直線，平移此直線分析它與可行域的相交情況，即可快速解決問題。

2.探究目標(biāo)函數(shù)含參數(shù)的線性規(guī)劃問題（域定目標(biāo)變問題）

〖例 3〗若變量 x，y 滿足約束條件 ，且 z=ax+y 的最大值為 4，則 a=? ? ? ?。

我們知道，將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式后斜率和截距都變，不好畫圖，比參數(shù)在約束條件時更復(fù)雜，但類似地，我們可以通過特殊化探究，即由 z=ax+y=4，得到此時的目標(biāo)函數(shù) y=-ax+4，此時的目標(biāo)函數(shù)恒過（0，4）。然后通過改變 a 的值，得到一個恒過（0，4）的直線系（如圖 15 所示），而且當(dāng)且僅當(dāng)直線過 E（2，0）時滿足題目條件（如圖 16 所示），把（2，0）代入后得到 a=2。

目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)的解題策略：把最值代入目標(biāo)函數(shù)得到一條過定點的直線，旋轉(zhuǎn)此直線，分析它與可行域的相交情況，即可快速解決問題。

圖 15? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖 16

（五）分段函數(shù)問題。由于 Geogebra 軟件兼具幾何與代數(shù)兩大功能，因此能夠?qū)?shù)形結(jié)合的情況體現(xiàn)得淋漓盡致，因此，只要是數(shù)形結(jié)合的問題，都可以利用它來進行形象展現(xiàn)。利用它的這一特點進行數(shù)學(xué)實驗同樣可以最大限度地發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢，提升學(xué)習(xí)效率。

〖例 4〗已知 ，若 h（x）=a 有且僅有三個根，求 a 的取值范圍。

分段函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的難點，因為它能夠同時涉及多種函數(shù)，可以同時考查多個知識點，達到“一石多鳥”的目的，所以它是高考的熱點。這類問題的難點來源于：（1）學(xué)生對分段函數(shù)的認識模糊;（2）區(qū)間內(nèi)函數(shù)的根的問題無通法可循。實際上，“h（x）=a 有且僅有三個根”可以轉(zhuǎn)化為“函數(shù) y=h（x）的圖象與函數(shù) y=a 的圖象有且僅有三個交點”。這就要求畫出分段函數(shù)的圖象，利用 Geogebra 軟件的邏輯功能就可以解決分段函數(shù)問題。

1.認識分段函數(shù)

通過點擊函數(shù)前面的圓點（如圖 17 所示），切換函數(shù)呈現(xiàn)（如圖 18，19 所示），讓學(xué)生理解分段函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，讓學(xué)生理解分段函數(shù)實際上是區(qū)間上的原函數(shù)的組合（是一條“折線”）。

圖 17? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖 18

圖 19

2.區(qū)間上函數(shù)的根的個數(shù)問題

作函數(shù) y=a 的圖象（是一條平行于 x 軸的直線，拖動改變 a，觀察直線與“折線”的交點情況（如圖 20，21，22 所示），容易知道直線位于? a∈（-3，1）。

圖 20

圖 21

圖 22

（六）三視圖的 3D 實驗室。學(xué)生在本課學(xué)習(xí)過程中可能在以下三個方面會遇到障礙：

（1）學(xué)生在畫三視圖時會出現(xiàn)障礙。原因在于，雖然初中已經(jīng)接觸過三視圖的相關(guān)內(nèi)容，但對輪廓線和棱的實、虛線的運用尚不熟練，導(dǎo)致作圖出現(xiàn)錯誤。

（2）學(xué)生在識別三視圖所表示的幾何體時會出現(xiàn)障礙。原因在于，所需識別的幾何體具有一定的復(fù)雜性，高一學(xué)生空間想象力的缺乏是造成此障礙的直接原因，特別是在識別特殊三棱錐和一些簡單組合體的三視圖時會出現(xiàn)障礙。

（3）學(xué)生在理解三視圖中的邊長關(guān)系時出現(xiàn)障礙，原因在于高一學(xué)生空間想象力的缺乏。

運用玲瓏畫板的 3D 功能和三視圖功能，我們可以通過設(shè)計如下面的兩個模擬實驗輕松解決學(xué)生在學(xué)習(xí)三視圖過程中遇到的障礙。

〖實驗一〗認識三視圖

（1）學(xué)生操作電腦，轉(zhuǎn)動右下角的正方體進行實驗（如圖 23 右下），觀察正視圖（圖 23 左上）、側(cè)視圖（圖 23 右上）、俯視圖（圖 23 左下）的變化，理解三視圖中輪廓線和棱的實、虛線的關(guān)聯(lián)。

（2）學(xué)生操作電腦，轉(zhuǎn)動右下角的切割體（如圖 24 右下），觀察正視圖（圖 24 左上）、側(cè)視圖（圖 24 右上）、俯視圖（圖 24 左下）的變化，理解切割體的三視圖。

（3）學(xué)生操作電腦，轉(zhuǎn)動右下角的切割體（如圖 25 右下），觀察正視圖（圖 25 左上）、側(cè)視圖（圖 25 右上）、俯視圖（圖 25 左下）的變化，理解割體的三視圖。

圖 23? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖 24

圖 25

〖實驗二〗由三視圖還原幾何體

如何由三視圖還原幾何體，是高考的熱點，同時是難點，目前是教師教學(xué)過程中的難點（不知道怎樣講清楚，另外，加上空間圖形的作圖難度大，因此，教學(xué)難度大），筆者利用玲瓏畫板的切割特性，采用“三度切割”的辦法解決三視圖還原幾何體問題。

〖例 5〗已知某幾何體的三視圖如圖 26 所示，則該幾何體的體積為? ? ? ? ? ? ? 。

根據(jù)“三度切割”的辦法，筆者運用玲瓏畫板進行模擬實驗：

（1）創(chuàng)建一個長方體，并運用切割功能進行第一次切割，得到一個三棱柱（如圖 27 的左圖所示），并運用三視圖功能進行驗證（如圖 28 所示）。雖然發(fā)現(xiàn)主視圖已經(jīng)符合條件，但是側(cè)視圖和俯視圖不符合條件，需要進行第二次切割。

圖 26? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖 27

圖 28

（2）使側(cè)視圖符合條件，接下來按照圖 29 的位置進行第二次切割（割兩刀），得到如圖 30 的左邊的幾何體（右邊兩個是割出來的），并用三視圖功能進行驗證，發(fā)現(xiàn)側(cè)視圖也已經(jīng)符合條件，但是，俯視圖不符合條件，需要進行第三次切割。

圖 29? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖 30

圖 31

（3）為使俯視圖符合條件，接下來按照圖 32 的位置進行第三次切割，得到如圖 33 的左邊的幾何體（右邊一個是割出來的），并用三視圖功能進行驗證，發(fā)現(xiàn)俯視圖也已經(jīng)符合條件，此時，三視圖還原幾何體大功告成（如圖 34 所示）。

圖 32? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖 33

圖 34

實踐表明，“三度切割”的辦法是目前掌握的由三視圖還原幾何體的行之有效的辦法之一。

二、模擬實驗策略的實施路徑

（一）模擬實驗器材的準(zhǔn)備。數(shù)學(xué)和物理、化學(xué)不同，物理和化學(xué)可以利用大量的實驗器材，通過實驗解釋所學(xué)知識，而數(shù)學(xué)卻沒有。所謂模擬實驗，即利用信息技術(shù)把數(shù)學(xué)知識制作成課件或者軟件，由教師或者學(xué)生操作課件觀察、分析，以達到所謂的“實驗”的目的。由此，數(shù)學(xué)的實驗器材的準(zhǔn)備大多數(shù)是相關(guān)課件的準(zhǔn)備。制作相關(guān)課件的常用軟件有幾何畫板、geogebra 軟件、flash 軟件、玲瓏畫板等工具，這些工具必須具備這樣的條件：

（1）可操作。必須有相關(guān)的“操作按鈕”和操作提示，如“拖動 A 可改變參數(shù)”等。

（2）可視化和數(shù)字化。實驗的過程可以動態(tài)完整地實時呈現(xiàn)圖象及相應(yīng)的變量值。

如，y=Asin（ωx+φ）的圖象的數(shù)學(xué)實驗，課件界面如圖 35 所示：

圖 35

（二）模擬實驗報告的準(zhǔn)備。既然是實驗，那么就必須知道實驗的目的是什么？如何操作？出現(xiàn)什么樣的現(xiàn)象？可能得出什么樣的結(jié)論？這些都必須在實驗之前需要明確的事情。因此，準(zhǔn)備實驗報告是進行數(shù)學(xué)實驗前必須做的一件事。如何做呢？物理化學(xué)已經(jīng)給我們提供了很好的借鑒。例如，y=Asin（ωx+φ）的圖象的數(shù)學(xué)實驗報告可以寫如下（實驗報告的一部分）：

函數(shù) y=Asin（ωx+φ）圖象實驗報告

實驗?zāi)康模和ㄟ^利用計算機的作圖代替五點法作圖，通過利用計算機的模擬三角函數(shù)的變換過程，使通過學(xué)生的自主探究的形式讓學(xué)生了解 Α，ω，φ 對函數(shù) y=Asin（ωx+φ）的圖象的影響。

實驗?zāi)繕?biāo)：利用軟件強大的交互功能幫助學(xué)生通過自己設(shè)計不同的變換順序，掌握正弦函數(shù)圖象的復(fù)合變換的規(guī)律以及不同變換過程之間的差異并歸納出一般性結(jié)論。

實驗工具：1.幾何畫板;2.多媒體平板。

實驗過程：

函數(shù) y=sinx → y=Asinx 圖象

1.作出 y=sinx 圖象

2.作出 y=2sinx 圖象

觀察圖象得到：（提問學(xué)生由學(xué)生總結(jié)）

要得到的 y=2sinx 圖象，只需把正弦函數(shù)曲線 y=sinx 的所有點的? ? ? ? ? ?坐標(biāo)? ? ? ? ? ?到原來的? ? ? ? ? ?倍，? ? ? ? ? ?坐標(biāo)不變。y=2sinx 最大值是? ? ? ? ?，最小值是? ? ? ? ?，周期是? ? ? ? ?。

（三）模擬實驗過程的全程指導(dǎo)。學(xué)生由于對軟件或者課件的操作不熟悉（特別是幾何畫板和玲瓏畫板），比如，操作按鈕是哪個？怎樣操作？觀察哪個數(shù)據(jù)？和哪個數(shù)據(jù)進行比較？等等。或者有一些學(xué)生會“分神”，導(dǎo)致實驗可能出現(xiàn)一些“意外”。因此，在實驗過程中，教師要不斷地進行指導(dǎo)和監(jiān)控。在實驗之前必須對學(xué)生（特別是學(xué)習(xí)小組的組長）進行必要的培訓(xùn)，并在實驗前進行課件操作的集體演示，以確保實驗得到順利進行。

（四）模擬實驗結(jié)果的總結(jié)。由于學(xué)生操作能力和觀察能力等方面的差異，實驗的結(jié)果可能千差萬別，即使結(jié)論基本一致，在結(jié)論的表述上也需要進一步規(guī)范，因此，在實驗結(jié)束前，教師要利用一些時間進行必要的實驗總結(jié)。

比如，實驗一結(jié)論：

把本節(jié)模擬實驗的結(jié)論進行歸納總結(jié)，形成統(tǒng)一的知識呈現(xiàn)給學(xué)生，可以起到畫龍點睛的作用。

長期以來，大家都試圖用信息技術(shù)來改進數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)方式，改進學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)實驗是眾多方式中效果比較突出的方式之一。本課題組通過對研究成果進行總結(jié)，并結(jié)合多年的教學(xué)數(shù)學(xué)實驗所提煉出的可操作的“程序”，提出了這些具體的實驗措施，拋磚引玉，以便共同研討與提高。

【基金項目】廣西教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度B類課題“信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂深度融合的策略研究”（2019B144）。

（責(zé)編 盧建龍）