巧用“分類思想”數(shù)一數(shù)

劉躍

同學(xué)們面對(duì)數(shù)線段、數(shù)角的問題經(jīng)常感覺“頭痛”，在這里給大家介紹一種既不重復(fù)又不遺漏的好方法——分類思想，它是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)研究對(duì)象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。

例1 如圖1，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)，圖中一共有多少條線段？

【分析】如果一條一條地去數(shù)，很可能遺漏或重復(fù)。如果我們能夠?qū)⑦@些線段進(jìn)行歸類，然后再一類一類去數(shù)，就比較容易了。

仔細(xì)觀察，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，線段有且只有兩個(gè)端點(diǎn)，左右各一。所以，我們可以將線段的左端點(diǎn)進(jìn)行分類。比如圖1中，我們把線段AB、AC、AD等以點(diǎn)A為左端點(diǎn)的線段歸為一類，把線段BC、BD、BE等以點(diǎn)B為左端點(diǎn)的線段歸為一類，等等。

按照這個(gè)思路，圖1中的線段一共可以分成5類：以A為左端點(diǎn)的線段一共有5條，以B為左端點(diǎn)的線段有4條，以C為左端點(diǎn)的線段有3條，以D為左端點(diǎn)的線段有2條，以E為左端點(diǎn)的線段有1條，以F為左端點(diǎn)的線段有0條。于是我們可求出共有多少條線段。

解：5+4+3+2+1=15（條）。

例2 如圖2，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)，圖2中一共有多少個(gè)銳角？

【分析】我們不妨作一條直線與各邊相交，如圖3。設(shè)這條直線與各邊的交點(diǎn)依次是A、B、C、D、E、F。于是，我們看到，每個(gè)小銳角的頂點(diǎn)都是O點(diǎn)，每個(gè)銳角都對(duì)著一條線段，即∠AOB對(duì)著線段AB、∠BOC對(duì)著線段BC……這就是說在線段AF上的每一條線段都對(duì)應(yīng)著一個(gè)銳角，因而只要知道有多少條線段，就一定有多少個(gè)角。求角的問題又轉(zhuǎn)化成了求線段問題，有了例1的鋪墊，同學(xué)們解答起來應(yīng)該駕輕就熟，不成問題。

解：5+4+3+2+1=15（個(gè)）。

到這里，問題似乎已經(jīng)完全解決了。但仔細(xì)思考一下，我們會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)：在圖1中，像AB、BC、CD、DE、EF這樣的小線段一共有5條，我們給它們依次標(biāo)上編號(hào)1、2、3、4、5，所求線段總條數(shù)為5+4+3+2+1=15（條）；同樣的，我們在圖2中給那些小銳角依次標(biāo)上編號(hào)1、2、3、4、5，所求角的總個(gè)數(shù)為5+4+3+2+1=15（個(gè)）。歸納起來就是：先將所分成的短線段或小角依次編上號(hào)，然后將所有號(hào)數(shù)相加，這個(gè)和就是所求的線段的總條數(shù)或角的總個(gè)數(shù)。

如果我們再仔細(xì)觀察一下圖1與圖2，就會(huì)發(fā)現(xiàn)圖1共有點(diǎn)6個(gè)，圖2共有射線6條，所求的線段總條數(shù)或角的總個(gè)數(shù)都可以用6×（6-1）÷2=15來表示。也就是說，設(shè)有n個(gè)點(diǎn)（或射線），則共有線段（或角）的數(shù)量為：n×（n-1）÷2來計(jì)算，同學(xué)們可以自己研究一下。

（作者單位：江蘇省常州市新北區(qū)薛家中學(xué)）