周菊玲

【摘要】 本文以典型問題為例，分析影響學(xué)生學(xué)習(xí)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程的障礙因素，給出教學(xué)改革過程中的方法及對(duì)策，以期改進(jìn)教學(xué)方法，提高教學(xué)效果.

【關(guān)鍵詞】 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì);微積分;數(shù)學(xué)建模

一、打好微積分的基礎(chǔ)，深刻理解隨機(jī)事件的概率

“概率論”研究對(duì)象是不確定現(xiàn)象，思維方式獨(dú)特[1].不確定現(xiàn)象與確定性數(shù)學(xué)所使用的說理方式、研究方法都不同.對(duì)于大部分已習(xí)慣于學(xué)習(xí)確定性數(shù)學(xué)的學(xué)生來說，具有很大的挑戰(zhàn)性，學(xué)生對(duì)處理隨機(jī)現(xiàn)象的思考方法不太適應(yīng)，解題時(shí)常常把主要精力放在套用公式上.

例1 ??連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

f（x）= x，0≤x≤1，2-x，1<x≤2，0，其他.

求x落在區(qū)間（0.4，1.2）內(nèi)的概率.

此題看似簡(jiǎn)單，但頗具代表性.根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度的性質(zhì)，所求問題轉(zhuǎn)化為積分問題，即

P{0.4<X<1.2}=∫1.20.4f（x）dx.

此處，向?qū)W生重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)從求事件的概率到計(jì)算積分的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，在概率論的學(xué)習(xí)中是通過計(jì)算積分求事件的概率的;其次，因?yàn)楸环e函數(shù)是分段函數(shù)，故需討論函數(shù)的分段區(qū)間和積分的積分區(qū)間，即

P{0.4<X<1.2}=∫1.20.4f（x）dx=∫10.4xdx+∫1.21（2-x）dx.

學(xué)生對(duì)積分很熟悉，但數(shù)學(xué)分析中的積分與此處的積分難點(diǎn)側(cè)重不同.這種求隨機(jī)事件概率問題的思路和方法同樣適用于多維的情況，只是難度會(huì)更大.

例2 ??設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為

f（x，y）=? 1 8 （6-x-y），0<x<2，0<y<4，0，其他.

求：P{X+Y<4}[5].

根據(jù)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度的性質(zhì)，隨機(jī)事件的概率歸結(jié)為概率密度在相應(yīng)區(qū)域上的定積分.

解 ?P{X+Y<4}=Df（x，y）dxdy=∫∞-∞∫4-x-∞f（x，y）dydx.

這里求解的難點(diǎn)在于討論積分區(qū)域D和被積函數(shù)的分段區(qū)域，需要求兩者的交集，進(jìn)而在公共區(qū)域求累次積分

P{X+Y<4}=Df（x，y）dxdy=∫∞-∞∫4-x-∞f（x，y）dydx

=∫20dx∫4-x0 1 8 （6-x-y）dy

= 1 8 ∫20? 1 2 x2-6x+16 dx= 2 3 .

后一步是學(xué)生在數(shù)學(xué)分析中訓(xùn)練較少的，但卻是“概率論”中運(yùn)用最多、最典型的一種問題，因此，講解各步驟時(shí)不能平均用力，應(yīng)重點(diǎn)講透學(xué)生不熟悉的環(huán)節(jié)，使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)概率論與數(shù)學(xué)分析中積分計(jì)算的難點(diǎn)變化.

二、教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想

“概率論”在理論聯(lián)系實(shí)際方面是數(shù)學(xué)最活躍的分支之一，它的概念、公式、定理多，同時(shí)具有應(yīng)用性強(qiáng)的特點(diǎn)，教材中有很多問題都是應(yīng)用題，實(shí)際問題不但內(nèi)容涉及方方面面，形式更是千變?nèi)f化.而學(xué)生普遍存在的問題是基礎(chǔ)知識(shí)比較扎實(shí)，但對(duì)如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為概率問題感覺困難.在“概率論”課程教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生抓住本質(zhì)抽象概括、量化分析、數(shù)學(xué)語言的翻譯等能力，建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，是改善學(xué)生學(xué)習(xí)方式，提高教師教學(xué)效果的途徑.

例3 ??某公司計(jì)劃開發(fā)一種新產(chǎn)品，并要確定產(chǎn)品的產(chǎn)量.評(píng)估出售一件產(chǎn)品可獲利m元，而積壓一件產(chǎn)品導(dǎo)致n元損失.預(yù)測(cè)銷售量Y（件）服從指數(shù)分布，其概率密度為

fY（y）=? 1 θ e- y θ ，y>0，θ>0，0，y≤0.

若要獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？（m，n，均為已知）[3]

這是一道應(yīng)用題，如何用數(shù)學(xué)語言來描述實(shí)際問題、建立數(shù)學(xué)模型是難點(diǎn).授課時(shí)幫學(xué)生將問題分解為以下幾步：

1.先分析此問題中的各個(gè)量：產(chǎn)量、單利、單件損失、銷售量Y、利潤(rùn);

2.分析每個(gè)量的類型：產(chǎn)量是普通的未知量、單利是常量、單件損失是常量、銷售量Y是隨機(jī)變量、利潤(rùn)是銷售量的函數(shù)，也是隨機(jī)變量;

3.將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化：給以上每個(gè)量引入數(shù)學(xué)符號(hào)，建立利潤(rùn)與銷售量之間的函數(shù)關(guān)系;

4.求解數(shù)學(xué)問題并回答問題.

通過將原題分解為這樣幾個(gè)步驟，不但使學(xué)生感覺入手容易，關(guān)鍵是將數(shù)學(xué)建模的思想滲透其中，使學(xué)生學(xué)習(xí)到了如何將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題、建立模型，達(dá)到解決問題的目的，并體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義.總之，學(xué)好“概率論”這門課程，一方面，需要學(xué)生前期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，另一方面，也需要教師的引導(dǎo).教師在教學(xué)中既要傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，也要教導(dǎo)數(shù)學(xué)方法;既要夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也要在教學(xué)中注重滲透數(shù)學(xué)建模的思想.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王彬，林靜.論數(shù)學(xué)統(tǒng)一性在概率論教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教育論壇，2014（24）：75-76.

[2]朱少平，王珍.概率論解題方法的一點(diǎn)思考[J].科技經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)，2014（6）：182-183.

[3]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008：84-94.