陳幼玲

[摘 要]運(yùn)算能力是一種可以程序化地執(zhí)行的外在表現(xiàn);“計(jì)算思維”要求學(xué)生從計(jì)算角度思考問題，從而變成認(rèn)識(shí)世界的一種方法和手段。有效培養(yǎng)小學(xué)生的運(yùn)算能力不但能幫助他們掌握基本的計(jì)算方法和算理，而且能促進(jìn)他們靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)合理簡(jiǎn)潔地解決問題。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué);運(yùn)算能力;計(jì)算思維

“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力”。[1]“計(jì)算思維就是基于可計(jì)算的手段，以定量化的方式進(jìn)行的思維過程?！薄皵?shù)學(xué)教育中的計(jì)算思維，是指從計(jì)算角度思考問題，把問題數(shù)量化，化歸或遞歸為可計(jì)算的問題，用數(shù)據(jù)來進(jìn)行推理?！盵2]運(yùn)算能力是一種可以程序化地執(zhí)行的外在表現(xiàn);“計(jì)算思維”要求學(xué)生從計(jì)算角度思考問題，從而變成認(rèn)識(shí)世界的一種方法和手段。有效培養(yǎng)小學(xué)生的運(yùn)算能力不但能幫助他們掌握基本的計(jì)算方法和算理，而且能促進(jìn)他們靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)合理簡(jiǎn)潔地解決問題。培養(yǎng)小學(xué)生的“計(jì)算思維”是信息化時(shí)代對(duì)數(shù)學(xué)教育的合理訴求，是發(fā)展學(xué)生未來核心素養(yǎng)的應(yīng)然選擇。因此，教師在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的同時(shí)要關(guān)注學(xué)生思維，發(fā)展學(xué)生的“計(jì)算思維”。

一、學(xué)習(xí)新知中培養(yǎng)運(yùn)算能力

（一）演繹推理中弄清算理

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不但要知其然而且要知其所以然。培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力時(shí)，學(xué)生只有弄懂算理，對(duì)算法才有深刻印象。否則，他們只能依葫蘆畫瓢地計(jì)算。算理是計(jì)算的依據(jù)，是算法的基礎(chǔ)，能解決“為什么這樣算”的問題。算理為計(jì)算提供了正確的思維方式，保證了計(jì)算的合理性和可行性。例如，在教學(xué)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)時(shí)，根據(jù)“小新、爸爸和媽媽一起吃一個(gè)蛋糕，每人吃[29]個(gè)，3人一共吃多少個(gè)？”學(xué)生用加法算，也可以用乘法算。他們從圖（圖1）中可以直觀看出結(jié)果是[69]。為了幫助學(xué)生理解結(jié)果為什么是[69]，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用演繹推理的方法幫助學(xué)生理解算理：大前提是[29]×3=[29+29+29]，小前提是[29+29+29]=[2+2+29=2×39]，結(jié)論就是[29]×3=[2×39]。學(xué)生從中可以發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)乘法其實(shí)就是同分母分?jǐn)?shù)的相加的簡(jiǎn)便計(jì)算，計(jì)算分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，化成同分母分?jǐn)?shù)相加，這樣就把新知轉(zhuǎn)化為舊知，就為最終順利發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算法則奠定了基礎(chǔ)。

（二）合情推理中掌握算法

算法就是運(yùn)算的方法，是由算理抽象、概括而來的運(yùn)算方法，包括運(yùn)算順序、運(yùn)算法則和運(yùn)算律。算法為學(xué)生正確、簡(jiǎn)潔、靈活地進(jìn)行運(yùn)算提供了適當(dāng)?shù)牟僮鞣椒ǎ兄趯W(xué)生提高運(yùn)算速度。教學(xué)時(shí)，算理和算法是一枚硬幣的兩個(gè)面，兩者相輔相成。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的算法一般是通過合情推理獲得的。

1.歸納推理中概括法則

歸納推理包括完全歸納推理和不完全歸納推理兩種。小學(xué)數(shù)學(xué)中的計(jì)算法則一般是通過不完全歸納得到的，也就是通過2個(gè)或3個(gè)計(jì)算方法一致的相似例子總結(jié)出計(jì)算法則。例如，在教學(xué)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生借助長(zhǎng)方形圖（圖2）理解[12×15=1×12×5=110]，借助圖3理解[12×35=1×32×5=310]，再觀察這兩個(gè)算式用不完全歸納中得出分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則是“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分母相乘的積作分母，用分母相乘的積作分子?！睂W(xué)生根據(jù)這個(gè)法則就能很順利地進(jìn)行其他分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的運(yùn)算了。

2.類比推理中推廣運(yùn)算律

運(yùn)算律是小學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算常用的知識(shí)。應(yīng)用運(yùn)算律能使學(xué)生的運(yùn)算比較快捷、簡(jiǎn)單。整數(shù)加法運(yùn)算律和乘法運(yùn)算律都是通過不完全歸納得到的，但這些運(yùn)算律在小數(shù)、分?jǐn)?shù)中的應(yīng)用，需要學(xué)生通過類比推理獲得。類比推理是從特殊推向特殊的推理。教學(xué)“整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到小數(shù)”時(shí)，學(xué)生觀察三組算式“3.7×1.6○1.6×3.7”“（1.3×0.25）×0.4○1.3×（0.25×0.4）”和“（3.7+1.3）×0.5○3.7×0.5+1.3×0.5”，發(fā)現(xiàn)每組算式的○里面都能填寫“=”，也就是結(jié)果相等，從而發(fā)現(xiàn)整數(shù)乘法交換律、結(jié)合律和分配律對(duì)小數(shù)乘法同樣適用，從而為小數(shù)乘法簡(jiǎn)便運(yùn)算奠定基礎(chǔ)。

張景中院士認(rèn)為“數(shù)學(xué)中的畫圖和推理，歸根結(jié)底都是計(jì)算。推理是抽象的計(jì)算，計(jì)算是具體的推理，圖形是推理和計(jì)算直觀的模型?！盵3]培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，無論是否借助圖形幫助學(xué)生理解算理、掌握算法，都離不開推理，都在有意無意中應(yīng)用推理，反過來，如果學(xué)生的推理能力比較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生理解算理、掌握算法也有促進(jìn)作用。

二、應(yīng)用新知中發(fā)展“計(jì)算思維”

畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為“萬物皆數(shù)”。既然有了數(shù)，就會(huì)有運(yùn)算。從運(yùn)算角度思考問題就是解決問題的好思路。隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展，“計(jì)算思維”終將會(huì)成為時(shí)代思維的主要方式和手段。因此，教師要在教學(xué)中有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的“計(jì)算思維”。

（一）一題多解中發(fā)展“計(jì)算思維”

一題多解，就是教師或?qū)W生對(duì)同一個(gè)問題用不同思路和不同方法進(jìn)行分析與解答，實(shí)現(xiàn)異曲同工的解題效果。一題多解不但能促進(jìn)學(xué)生靈活思考，而且能培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和其他學(xué)科知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，對(duì)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，開闊視野，發(fā)展思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)也很有好處。運(yùn)算，尤其是簡(jiǎn)便運(yùn)算中有很多題目是可以一題多解的。教師要根據(jù)教學(xué)需要和學(xué)情恰當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生一題多解，并進(jìn)行方法最優(yōu)化。

學(xué)習(xí)整數(shù)乘法運(yùn)算律在小數(shù)乘法中的應(yīng)用后，學(xué)生需要簡(jiǎn)便運(yùn)算4.8×1.25。有的學(xué)生列豎式;有的學(xué)生根據(jù)乘法分配律這樣運(yùn)算：4.8×1.25=（4+0.8）×1.25=4×1.25+0.8×1.25=5+1=6;有的學(xué)生根據(jù)乘法分配律這樣運(yùn)算：4.8×1.25=（1+0.25）×4.8=1×4.8+4.8×0.25=4.8+1.2=6;有的學(xué)生根據(jù)乘法結(jié)合律這樣運(yùn)算：4.8×1.25=4×1.2×1.25=（4×1.25）×1.2=5×1.2=6;有的學(xué)生根據(jù)乘法結(jié)合律這樣運(yùn)算：4.8×1.25=6×0.8×1.25=6×（0.8×1.25）=6×1=6。不同學(xué)生用不同思路算出的結(jié)果都是6。教師引導(dǎo)學(xué)生比較這些方法并說說各自的想法。學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，同樣是應(yīng)用運(yùn)算律，但不同應(yīng)用方法中的運(yùn)算過程不一樣，其中把4.8拆成0.8×6（或8×0.6）后再相乘比較簡(jiǎn)便，因?yàn)?.8×1.25=1（或8×1.25=10），再去乘0.6（或6），口算就能得到結(jié)果。

一題多解并進(jìn)行方法最優(yōu)化，能有效幫助于學(xué)生形成簡(jiǎn)便運(yùn)算的意識(shí)、養(yǎng)成簡(jiǎn)便運(yùn)算的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生“計(jì)算思維”，提升學(xué)生解題能力。

（二）靈活解決中發(fā)展“計(jì)算思維”

解決實(shí)際問題離不開運(yùn)算。教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度思考問題，分析問題，靈活解決問題，并在解決問題過程中發(fā)展他們的“計(jì)算思維”。

把一個(gè)禮品盒（如圖4）用紅帶子扎起來，這根彩帶長(zhǎng)多少厘米？（打結(jié)的紅帶長(zhǎng)15厘米）學(xué)生一般這樣解答：用（20+8+10）×4-20×2-8×2+15=111厘米，也有學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)“彩帶長(zhǎng)=2條長(zhǎng)+2條寬+4條高+打結(jié)處的長(zhǎng)度”，列式為20×2+8×2+10×4+15=111厘米，也有人這樣列式：（20+10）×2+（8+10）×2+15=111（厘米）。學(xué)生把彩帶分成2個(gè)長(zhǎng)方形、分別計(jì)算周長(zhǎng)后相加，最后加上打結(jié)的彩帶長(zhǎng)度。不同角度思考問題體現(xiàn)學(xué)生不同的“計(jì)算思維”。對(duì)一般問題而言，學(xué)生的“計(jì)算思維”和運(yùn)算能力之間的區(qū)別也許并不明顯，對(duì)非常規(guī)思維解答的問題而言，就能明顯體現(xiàn)學(xué)生“計(jì)算思維”的層次了。

“圓的面積”部分有這樣一道習(xí)題：正方形的面積是8平方分米，你能求出圖（圖5）中陰影部分的面積嗎？表面上看，小學(xué)生解決不了這個(gè)問題，因?yàn)榍笊刃蚊娣e要用到圓的半徑，也就是正方形的邊長(zhǎng)，而題目里只有正方形的面積是8平方分米，似乎要用到初中的數(shù)學(xué)知識(shí)。其實(shí)，小學(xué)知識(shí)也能解決這個(gè)問題。如果把左圖轉(zhuǎn)化為右圖，圓半徑的平方就是正方形的面積。因此，學(xué)生可以設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為r厘米，也就是圓的半徑為r厘米，陰影部分的面積就是π×r2÷2-2r×r÷2=π×r2÷2-r2=0.57×r2=0.57×8=4.56平方厘米。如果學(xué)生想到用這樣的方法進(jìn)行解答，就說明他們能把圖形轉(zhuǎn)化為推理了。引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度思考問題，把問題數(shù)量化，轉(zhuǎn)化成可運(yùn)算問題，并用數(shù)據(jù)進(jìn)行推理，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的“計(jì)算思維”和推理能力都非常有益。

總之，培養(yǎng)小學(xué)生的運(yùn)算能力非常重要，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);發(fā)展學(xué)生的“計(jì)算思維”更是為了學(xué)生的未來著想?！坝?jì)算思維”是信息時(shí)代人人要掌握、處處要應(yīng)用的一種基本思維方式，不但能幫助人們解決生活中的實(shí)際問題，而且能幫助人們管理日常生活，方便人與人之間交流與互動(dòng)。從小學(xué)開始，從小學(xué)生的運(yùn)算能力入手，培養(yǎng)學(xué)生的“計(jì)算思維”，是教師培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)，為他們未來發(fā)展謀取的大“福利”。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]吳潔瑩，徐章韜.面向未來的核心素養(yǎng)：從運(yùn)算能力到計(jì)算思維[J].湖南教育（A），2017（5）.

[3]張景中.感受小學(xué)數(shù)學(xué)思想的力量[J].人民教育，2007（9）.

（責(zé)任編輯：李雪虹）