徐志軍　原方

[摘 要]制訂合理的教學(xué)方法，使建筑專(zhuān)業(yè)學(xué)生輕松熟練地計(jì)算彎曲內(nèi)力和繪制內(nèi)力圖尤為重要。課題組基于常用的截面法求彎曲內(nèi)力，以及利用內(nèi)力方程繪制彎曲內(nèi)力圖，分析歸納了彎曲內(nèi)力以及內(nèi)力圖與外力之間的規(guī)律，給出了內(nèi)力的直接求解規(guī)則和內(nèi)力直接繪制規(guī)則。該方法可不用截面法簡(jiǎn)單快速求出內(nèi)力，以及不用列出內(nèi)力方程簡(jiǎn)單快速繪制出內(nèi)力圖。

[關(guān)鍵詞]建筑專(zhuān)業(yè)；建筑力學(xué)；梁的彎曲；彎曲內(nèi)力；彎曲內(nèi)力圖

[中圖分類(lèi)號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2019）05-0088-03

為了保證結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的安全性，在設(shè)計(jì)中，考慮結(jié)構(gòu)的受力情況尤為重要。因此，建筑力學(xué)課程對(duì)于建筑專(zhuān)業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)亦尤為重要[1]。建筑力學(xué)課程包括了三大力學(xué)的全部?jī)?nèi)容，即理論力學(xué)中的靜力學(xué)部分，材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的全部?jī)?nèi)容。本課程分為兩個(gè)學(xué)期授課，課時(shí)量一共為72學(xué)時(shí)，其中66課時(shí)為講授課，6個(gè)學(xué)時(shí)為實(shí)驗(yàn)課。對(duì)于建筑專(zhuān)業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，在72課時(shí)內(nèi)把三大力學(xué)內(nèi)容全部掌握是比較困難的。另外，建筑專(zhuān)業(yè)的學(xué)生偏向文科，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的是文科數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)功底不夠扎實(shí)，對(duì)本課程學(xué)習(xí)比較吃力。因此，如何在有限的課時(shí)內(nèi)將三大力學(xué)的基本知識(shí)傳授給建筑專(zhuān)業(yè)的學(xué)生十分重要。

梁穎晶等[2]分析了工程管理專(zhuān)業(yè)的建筑力學(xué)教學(xué)中碰到的困難和挑戰(zhàn)，從教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法等方面進(jìn)行了探索。劉楊[3]將現(xiàn)代化高科技法即三維模型法和建筑力學(xué)教學(xué)結(jié)合在一起，有效地提高了教學(xué)效果。韓風(fēng)霞[4]分析了建筑專(zhuān)業(yè)建筑力學(xué)課程教學(xué)效果不好的原因，結(jié)合建筑專(zhuān)業(yè)設(shè)置特點(diǎn)，從教學(xué)內(nèi)容改革、教學(xué)方法改進(jìn)和學(xué)生能力如何提高等方面提出了相應(yīng)的辦法和措施。張秀彥等[5]在研究了建筑專(zhuān)業(yè)建筑力學(xué)課程在教學(xué)中過(guò)程中出現(xiàn)的困難基礎(chǔ)上，結(jié)合建筑專(zhuān)業(yè)特點(diǎn)，在提高教學(xué)質(zhì)量、教學(xué)方法等方面提出了合理化的方法和措施，并將該方法和措施應(yīng)用到實(shí)際教學(xué)中，取得了良好的效果。

以上的研究成果極大地推動(dòng)了建筑力學(xué)課程的教學(xué)方法、教學(xué)手段、教學(xué)內(nèi)容等方面的改革和完善。在建筑力學(xué)中，梁的內(nèi)力計(jì)算和內(nèi)力圖的繪制是材料力學(xué)部分最為核心的內(nèi)容，因此，王興霞等[6]給出了建筑力學(xué)課程中快速計(jì)算桿件截面內(nèi)力的技巧，劉小妹等[7]和緱勇等[8]給出了材料力學(xué)中內(nèi)力圖的簡(jiǎn)便繪制方法。

本文基于常用的截面法求內(nèi)力和內(nèi)力方程法繪制內(nèi)力圖，分析了內(nèi)力和內(nèi)力圖與外力之間的關(guān)系，歸納出內(nèi)力和內(nèi)力圖與控制截面處的外力之間的關(guān)系，給出了內(nèi)力的直接求解方法和內(nèi)力直接繪制方法。

一、彎曲內(nèi)力和內(nèi)力圖

根據(jù)建筑專(zhuān)業(yè)建筑力學(xué)的大綱要求，結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的荷載作用方式為集中荷載、集中力偶和均布荷載，為必學(xué)內(nèi)容，其他方式荷載作用為選學(xué)內(nèi)容。對(duì)于彎曲變形中內(nèi)力和內(nèi)力圖部分，要求學(xué)生熟練地利用截面法求任意截面上的剪力和彎矩，建立剪力方程和彎矩方程，并根據(jù)剪力方程和彎矩方程繪制剪力圖、彎矩圖。

（一）截面法求內(nèi)力

梁彎曲變形時(shí)在橫截面上產(chǎn)生兩種內(nèi)力，即剪力和彎矩。建筑力學(xué)教材中給出的利用橫截面求剪力和彎矩的做法分為三步：

第一，沿著所求截面將其切開(kāi)，切開(kāi)后分為兩部分，右側(cè)部分和左側(cè)部分。

第二，取任意部分（左側(cè)或者右側(cè)）作為研究對(duì)象計(jì)算截面上的內(nèi)力，進(jìn)行受力分析。先畫(huà)外力，即主動(dòng)力和約束力，然后畫(huà)內(nèi)力。由于內(nèi)力在計(jì)算之前無(wú)法確定是正值或者負(fù)值，為了解題方便，將內(nèi)力假設(shè)為正值，如果計(jì)算出的結(jié)果為正值，則假設(shè)是正確的，如果計(jì)算出的結(jié)果為負(fù)值，則實(shí)際內(nèi)力方向與假設(shè)方向相反，該方法稱(chēng)之為“設(shè)正法”。

第三，平衡求力，將第二步的剪力、彎矩和外力作為平衡力系，建立平衡力系的平衡方程，求出剪力和彎矩。截面法求內(nèi)力可簡(jiǎn)稱(chēng)為“一切、二代和三平衡”。

（二）內(nèi)力圖

為了形象地表示剪力和彎矩沿軸線(xiàn)的變化情況，并確定最大的剪力和彎矩的大小與位置，通常采用圖線(xiàn)表示剪力和彎矩的變化情況。用平行于桿軸坐標(biāo)軸x表示桿件橫截面，用垂直于桿軸線(xiàn)的坐標(biāo)軸分別表示相應(yīng)截面上的剪力和彎矩的大小。剪力正值畫(huà)在x軸的上方，負(fù)值畫(huà)在x軸的下方。彎矩圖畫(huà)在受拉一側(cè)。常用的畫(huà)剪力圖和彎矩圖的步驟如下：

第一步，建立剪力方程和彎矩方程。從梁的其中一個(gè)端截面開(kāi)始，選擇距離該端截面為x處的橫截面為研究對(duì)象，利用截面法求出該截面上的剪力和彎矩，建立剪力方程和彎矩方程。

第二步，根據(jù)剪力方程和彎矩方程，繪制剪力圖和彎矩圖。

二、利用外力直接求剪力和彎矩及繪制剪力圖和彎矩圖的規(guī)則

梁的內(nèi)力計(jì)算和內(nèi)力圖的繪制需要較為扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底。因此，在給建筑專(zhuān)業(yè)學(xué)生講授該節(jié)課的內(nèi)容時(shí)，找到簡(jiǎn)單實(shí)用的教學(xué)方法，讓學(xué)生在輕松愉快中掌握解題技巧顯得尤為重要。

筆者根據(jù)多年講授建筑專(zhuān)業(yè)建筑力學(xué)課程的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)求解梁的彎曲內(nèi)力及繪制內(nèi)力圖的方法進(jìn)行總結(jié)和歸納，發(fā)現(xiàn)了利用外力的性質(zhì)直接求任意橫截面上的內(nèi)力和利用外力直接繪制內(nèi)力圖的規(guī)則。

（一）剪力和彎矩的直接求解規(guī)則

“一切、二代和三平衡”是傳統(tǒng)常用的截面法求內(nèi)力的步驟，加上利用靜力學(xué)知識(shí)求解外力，該過(guò)程共需要四步。以下給出利用外力直接求剪力和彎矩的規(guī)則。

1.求剪力

首先判斷正負(fù)值：對(duì)某截面左邊梁段上所有向上的外力，或某截面右邊梁段所有向下的外力進(jìn)行判斷，使該截面上產(chǎn)生正剪力，即“左上右下，剪力為正”，否則“左下右上，剪力為負(fù)”。

然后求代數(shù)和：某截面上剪力[Fs]的大小等于該截面左邊（右邊）梁段上所有橫向外力代數(shù)和。

2.彎矩求法

首先判斷正負(fù)值：某截面左邊梁段上外力（力或力偶）對(duì)截面形心之矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向，或某截面右邊梁段上外力對(duì)截面形心之矩為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，使該截面上產(chǎn)生正彎矩，即“左順右逆，彎矩為正”，否則“左逆右順，彎矩為負(fù)”。

然后求代數(shù)和：某截面上彎矩M的大小等于該截面左邊（右邊）梁段上所有外力對(duì)該截面形心的矩的代數(shù)和。

利用以上規(guī)則求剪力和彎矩時(shí)，可不再列出平衡方程，而直接根據(jù)截面左邊或右邊梁上的外力來(lái)確定梁橫截面上的剪力和彎矩。

（二）內(nèi)力圖的直接繪制規(guī)則

傳統(tǒng)常用的內(nèi)力圖繪制方法為先建立剪力方程和彎矩方程，然后根據(jù)方程的性質(zhì)，利用數(shù)學(xué)知識(shí)繪制出剪力圖和彎矩圖。筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)得出剪力圖和彎矩圖的規(guī)律如下：

1.當(dāng)某梁段除端截面外全段不受任何外力作用時(shí)，剪力圖和彎矩圖有如下規(guī)律。

（1）該梁段上的剪力方程[Fs（x）]為常量，故梁該梁段的剪力圖為水平線(xiàn)。因此，只要確定出該梁段上任意截面上的剪力，就可繪制出該梁段上的剪力圖，即剪力圖為水平線(xiàn)。

（2）該段上的彎矩方程[M（x）]是x的一次函數(shù)，故該段的彎矩圖為斜直線(xiàn)。因此，確定出該梁段兩個(gè)端截面上的彎矩，就可繪制出該梁段上的彎矩圖，即彎矩圖為斜直線(xiàn)，彎矩圖畫(huà)在受拉一側(cè)。

2.當(dāng)某梁段除端截面外全段上只受均布荷載作用時(shí)，則有：

（1）該段上的剪力方程[Fs（x）]是x的一次函數(shù)，故該段的剪力圖為斜直線(xiàn)。因此，確定出該梁段兩個(gè)端截面上的剪力，就可以繪制出該梁段上的剪力圖。

（2）該段上的彎矩方程[M（x）]是x的二次函數(shù)，故該段的彎矩圖為二次曲線(xiàn)。因此，確定出三個(gè)截面上的彎矩，即該梁段兩個(gè)端截面，另外一個(gè)截面可任選，筆者建議選用該梁段中間截面，用平滑的曲線(xiàn)將三個(gè)橫截面的彎矩連在一起，可得到該梁段上的彎矩圖，彎矩圖畫(huà)在受拉一側(cè)。

在上面研究的基礎(chǔ)上，將每個(gè)梁段的剪力圖和彎矩圖連在一起可得到整個(gè)梁的剪力圖和彎矩圖。該方法不用建立剪力方程和彎矩方程，只要確定梁上的外力情況，就可直接繪制出剪力圖和彎矩圖。

三、實(shí)例分析

如圖所示，外伸梁上受到一集中力偶Me = qa2和長(zhǎng)度為a的均布荷載q以及兩個(gè)約束力FA和FB，其他參數(shù)見(jiàn)圖1。求2-2截面、無(wú)限接近支座A的1-1截面和無(wú)限接近支座B的3-3截面上的剪力和彎矩，并繪制出其剪力圖和彎矩圖。

首先利用靜力學(xué)知識(shí)求得兩個(gè)支座的約束分離分別為FA=[14qa]，F(xiàn)B=[34qa]，方向?yàn)橄蛏?。利用截面法求?-1截面、2-2截面和3-3截面上的內(nèi)力。

利用本文提出的方法求剪力和彎矩。

對(duì)于1-1截面，取左側(cè)梁段。左側(cè)梁段的受外力情況為受一集中力偶大小為qa2，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。由于該梁段上不受集中荷載或者均布荷載，根據(jù)上文中提出的方法，剪力為0，彎矩大小為qa2；外力Me為逆時(shí)針轉(zhuǎn)，在1-1截面上產(chǎn)生負(fù)彎矩，則1-1截面上的彎矩為-qa2。計(jì)算結(jié)果與表1中的一致。

對(duì)于2-2截面，取左側(cè)梁段，其受外力情況為Me和FA。根據(jù)上文中的計(jì)算方法，Me和FA在2-2截面產(chǎn)生的剪力大小分別為0和[14qa]。FA在2-2截面上產(chǎn)生正剪力，則2-2截面上的剪力為0+[14qa]=0.25qa。Me和FA在2-2截面產(chǎn)生的彎矩大小分別為qa2和[14qa]2。正負(fù)號(hào)分別為“-”和“+”，則2-2截面上的彎矩為-qa2+[14qa]2 =-[34qa]2，計(jì)算結(jié)果與表1的一致。

對(duì)于3-3截面，取右側(cè)梁段，其受外力情況均值荷載q長(zhǎng)度為a。根據(jù)上文中的計(jì)算方法，q在3-3截面產(chǎn)生的剪力大小為qa，為正剪力，則3-3截面上的剪力為qa。q在3-3截面產(chǎn)生的彎矩大小為[12qa]2，為負(fù)彎矩，則3-3截面上的彎矩為-[12qa]2，計(jì)算結(jié)果與表1的一致。

根據(jù)梁的受力情況，可將梁分為3段，即CA段、AB段和BD段。由圖1可知，除了兩個(gè)端截面，CA段和AB段中間部分不受任何外力，BD段中間部分受均布荷載。根據(jù)上文中的方法，可得出剪力圖和彎矩圖形狀，見(jiàn)表2。

由表2和表3，畫(huà)出各個(gè)梁段上的剪力圖和彎矩圖，并將其連在一起繪制出剪力圖和彎矩圖，分別見(jiàn)圖2和圖3。

四、結(jié)論

（1）本文給出了剪力和彎矩直接計(jì)算規(guī)則，利用該規(guī)則可不用對(duì)研究?jī)啥问芰Ψ治龊土衅胶夥匠糖蠼?，直接根?jù)外力的特點(diǎn)快速準(zhǔn)確地計(jì)算出剪力和彎矩。

（2）本文給出了梁彎曲的剪力圖和彎矩圖的規(guī)律，結(jié)合剪力和彎矩直接計(jì)算規(guī)則，給出了剪力圖和彎矩圖的簡(jiǎn)捷繪制方法。該方法可不建立剪力方程和彎矩方程，利用梁段上外力特點(diǎn)，直接繪制剪力圖和彎矩圖。

（3）本文提出的方法可用于求其他內(nèi)力，譬如軸力和扭矩。

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[責(zé)任編輯：鐘 嵐]