徐敬成

[摘? 要] 數(shù)學(xué)建模是為了解決實(shí)際復(fù)雜問題而采用的一種工具. 新課程改革如火如荼，通過數(shù)學(xué)建模教學(xué)，能夠讓中學(xué)階段的學(xué)生體會(huì)到考慮問題的全面性、解決問題的嚴(yán)謹(jǐn)性和思維訓(xùn)練的發(fā)散性，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)不斷提升.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模;新課程改革;教學(xué);中學(xué);核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是在對實(shí)際對象分析并研究的基礎(chǔ)上加工提煉出具有替代性質(zhì)的模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)手段進(jìn)行求解或驗(yàn)證. 其中的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練主要體現(xiàn)在如何用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法對實(shí)際問題進(jìn)行描述、為方便求解論證如何優(yōu)化數(shù)學(xué)模型以及如何對模型結(jié)果做定性和定量分析三個(gè)方面. 在中學(xué)教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的課程理念中明確提出了發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，要基于教材積極開展數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí). 這樣既能對學(xué)生所學(xué)知識起到鞏固和應(yīng)用，還能培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、發(fā)散思維及實(shí)踐能力[1]，符合新課改的實(shí)質(zhì)需求，對于素質(zhì)教育的開展具有重要意義.

數(shù)學(xué)建模教學(xué)的研究背景

素質(zhì)教育是以提高民族素質(zhì)為宗旨的教育. 實(shí)施素質(zhì)教育是實(shí)現(xiàn)由應(yīng)試教育向全面提高國民素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌的迫切需要，培養(yǎng)合乎當(dāng)前社會(huì)和未來發(fā)展的需要的人才是現(xiàn)階段中小學(xué)素質(zhì)教育的根本目標(biāo).

《基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）》明確指出，改變課程內(nèi)容“難、繁、偏、舊”和過于注重書本知識的現(xiàn)狀，加強(qiáng)課程內(nèi)容與學(xué)生生活以及現(xiàn)代社會(huì)和科技發(fā)展的聯(lián)系，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和經(jīng)驗(yàn)，精選終身學(xué)習(xí)必備的基礎(chǔ)知識和技能. 改變課程實(shí)施過于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、樂于探究、勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力[2]. 轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，突出學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位，提倡自主、合作、探究學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生在教師指導(dǎo)下主動(dòng)、生動(dòng)地學(xué)習(xí). 強(qiáng)調(diào)學(xué)生對于新知識的主動(dòng)探索和親身體驗(yàn)，使學(xué)生在一個(gè)完整、真實(shí)的問題情境中產(chǎn)生學(xué)習(xí)的需要，并通過成員之間的互動(dòng)、交流、協(xié)作來完成對知識意義的建構(gòu)過程，這樣獲取的知識易于保持和遷移.

數(shù)學(xué)建模教學(xué)的必要性分析

隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，對于學(xué)生知識的深度、廣度和應(yīng)用的要求上都有了較明顯的變化，初高中數(shù)學(xué)所學(xué)到的方程求解、函數(shù)思想、幾何模型等知識成為孕育數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的沃土. 許多學(xué)生在進(jìn)行課堂學(xué)習(xí)的同時(shí)，也渴望明了學(xué)科知識的實(shí)用價(jià)值，一定的思維拓展活動(dòng)顯得尤為必要. 如果將數(shù)學(xué)建模植入課堂，創(chuàng)設(shè)一定的情境問題，學(xué)生對題干信息做全面、細(xì)致、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎挤治?，從認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取有關(guān)的知識與方法來解決問題，這樣就實(shí)現(xiàn)了對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維加工活動(dòng)，鞏固并活化了認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的數(shù)學(xué)概念及規(guī)律，同時(shí)將所學(xué)知識進(jìn)行延伸，拓寬學(xué)生的知識面. 運(yùn)用所學(xué)知識來分析現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象可以引發(fā)學(xué)生更濃厚的探求興趣，提高學(xué)生分析、解決問題的能力. 此外將學(xué)生在課堂中掌握的內(nèi)涵與外延適時(shí)遷移到應(yīng)用中去可以在一定程度上改善思維僵化現(xiàn)象，有益于學(xué)生學(xué)習(xí)思維的發(fā)散和創(chuàng)造.

數(shù)學(xué)建模教學(xué)說課案例

在高一數(shù)學(xué)必修1模塊《3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》一課中，通過前半部分學(xué)習(xí)學(xué)生已理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，掌握函數(shù)零點(diǎn)與方程根的求法. 教師講授完相關(guān)知識點(diǎn)后，可以結(jié)合數(shù)學(xué)建模中的“方凳問題”促進(jìn)學(xué)生對函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的理解[3]. 來源于生活的問題往往很容易抓住學(xué)生的注意力，吸引學(xué)生享受數(shù)學(xué)問題研究的樂趣. 采用小組討論的形式，輔之以層層深入，環(huán)環(huán)相扣的探問啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思維，通過對個(gè)體的探問引發(fā)全體學(xué)生的深入思考，同時(shí)注重課堂信息及時(shí)反饋，并且充分調(diào)動(dòng)課堂積極性. 該部分教學(xué)過程設(shè)計(jì)如下.

（一）創(chuàng)設(shè)情境

有一種方凳，四腳連線呈正方形，能否在不平地面上放置平穩(wěn)？（拿起教室里的方凳進(jìn)行演示）

學(xué)生嘗試提煉題干中的文字信息并將其轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言時(shí)需要正確認(rèn)識數(shù)學(xué)模型的理想化假設(shè)，比如方凳四個(gè)腳與地面均為點(diǎn)接觸，地面連續(xù)變化不存在間斷情況（小坑或臺階）.

教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考如下問題：沒有放穩(wěn)的方凳晃動(dòng)時(shí)有什么特點(diǎn)？（沒放穩(wěn)時(shí)方凳始終有三個(gè)腳著地）方凳放置平穩(wěn)怎樣用數(shù)學(xué)語言描述？（四個(gè)腳與地面的豎直距離均為零）按照怎樣的規(guī)律尋找平穩(wěn)位置？（相比平移而言，自身旋轉(zhuǎn)成功概率大一些）.

（二）建立模型

教師通過PPT做模型演示：圖1（a）中，A，B，C，D分別為方凳四個(gè)腳的初始位置，可以發(fā)現(xiàn)此時(shí)僅A腳離開了地面. 圖1（b）中將A，B，C，D沿著其旋轉(zhuǎn)中心O旋轉(zhuǎn)特定角度α得到一個(gè)新位置A′，B′，C′，D′，這樣做也許可以得到我們想要的平穩(wěn)位置（需要后續(xù)求解驗(yàn)證）.

當(dāng)定義方凳腳與地面距離時(shí)，教師讓學(xué)生思考：地面被視為連續(xù)曲面，隨著旋轉(zhuǎn)A，B，C，D四個(gè)腳與地面的豎直距離始終是動(dòng)態(tài)變化的，該如何體現(xiàn)這一點(diǎn)？（函數(shù)思想，不同旋轉(zhuǎn)角度對應(yīng)不同位置）再進(jìn)一步啟發(fā)：未知量有4個(gè)，不確定性較大，是否可以減少未知量？（跟晃動(dòng)時(shí)相對的腳狀態(tài)一致，可以將A，C兩腳與地面的距離之和記為f（α），將B，D兩腳與地面的距離之和記為g（α））這樣設(shè)置未知量有什么好處？（f（α），g（α）均為連續(xù)函數(shù)且都大于等于零，其中等于零時(shí)意味著該組腳不晃動(dòng)，大于零則表示晃動(dòng)）

（三）求解論證

（四）深化拓展

拓展可以讓學(xué)生在已得成果上發(fā)揮主觀能動(dòng)性，在思考練習(xí)過程中不斷熟悉和鞏固.

思考若將方凳的坐面改為矩形，上述結(jié)論還成立嗎？其他形狀的四邊形呢？為什么？（矩形需沿對稱中心旋轉(zhuǎn)180°才能與原形狀重合，但兩組相對腳只做了互換，原有論證行不通，可以考慮將相鄰的腳設(shè)置函數(shù)，課后思考討論完成，并要求得到一般性結(jié)論：符合中心對稱的四邊形能在不平地面上放置平穩(wěn)）

數(shù)模教學(xué)幾點(diǎn)建議

1. 設(shè)計(jì)數(shù)模課程時(shí)，應(yīng)多選擇有實(shí)際科技背景或與生活聯(lián)系緊密的現(xiàn)象作為素材，這樣既訓(xùn)練了學(xué)生的科學(xué)思維能力，又能聯(lián)系生產(chǎn)生活實(shí)際，因而具有生命力和價(jià)值內(nèi)涵，必能激起學(xué)生的共鳴.

2. 數(shù)學(xué)建模課程屬于拓寬性高、啟發(fā)性強(qiáng)、難度大的課程. 如果教師在講授時(shí)出現(xiàn)了諸如自身思考問題方式、所用數(shù)學(xué)方法及處理技巧不當(dāng)?shù)惹闆r，不能給學(xué)生一個(gè)清晰的思路，勢必造成學(xué)生思路混亂，影響學(xué)生的理解. 因此只有在對教材進(jìn)行深入分析的基礎(chǔ)上，并能在設(shè)計(jì)教學(xué)過程中考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和心理特征的教學(xué)方法才是可行的、可靠的.

3. 學(xué)生在數(shù)字建?；顒?dòng)中有可能出現(xiàn)找不到感覺或者理解偏差等現(xiàn)象，教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)以及通過相互討論、檢索資料等形式有助于學(xué)生消除畏難情緒. 當(dāng)學(xué)生回答不夠準(zhǔn)確完整，甚至完全卡住時(shí)，教師應(yīng)耐心等待并積極創(chuàng)設(shè)轉(zhuǎn)機(jī)，并通過適當(dāng)提示來不斷分解難點(diǎn)，對問題做深度的追蹤，幫助學(xué)生回答. 若學(xué)生提供的初步答案雖然正確，但仍然不夠深入，或者不夠詳細(xì)，教師的提問技術(shù)需偏向于提供額外信息，并做鼓勵(lì)性點(diǎn)撥，以使學(xué)生對問題性質(zhì)認(rèn)識周全.

4. 針對學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、接受水平、學(xué)習(xí)能力及思維規(guī)律各異，教師需要關(guān)注所在班級個(gè)體差異，設(shè)置不同程度的問題以匹配不同學(xué)生，這樣可以契合學(xué)生的自身差異性發(fā)展，增強(qiáng)學(xué)生個(gè)體的學(xué)習(xí)信心.

5. 數(shù)模教學(xué)作為一門探究課，由于對相關(guān)知識要求掌握扎實(shí)，既可以設(shè)計(jì)成獨(dú)立的一節(jié)，也可以穿插于以探究性教學(xué)為主的課程中. 在習(xí)題課中宜較多體現(xiàn)，在新授課中稍做穿插，在復(fù)習(xí)課和講評課中較不適宜.

總結(jié)

數(shù)學(xué)建模以理想模型代替實(shí)際事物，通過邏輯判斷和抽象思維建立概念與規(guī)律，這樣新穎的思維方式對于數(shù)學(xué)翻譯、邏輯推理、聯(lián)想遷移和洞察反思四種基本能力的培養(yǎng)大有裨益. 從長遠(yuǎn)來看有益于思路眼界的開闊、知識結(jié)構(gòu)的改善和綜合素質(zhì)的提高.

廣義上來說，每一項(xiàng)數(shù)學(xué)知識和定理的形成都是建模分析的結(jié)果[4]. 將數(shù)學(xué)建模思想融入學(xué)校教育中，有助于學(xué)生知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建以及數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，是一類可行的教育方式.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 肖慧. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模的滲透[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（27）：45-46.

[2]? 基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行） [EB/OL]. http：//old.moe.gov.cn/pub licfiles/business/htmlfiles/moe/moe_309/200412/4672.html.

[3]? 姜啟源，謝金星，葉俊. 數(shù)學(xué)模型（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2011：6-7.

[4]? 鄭大鵬. 數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)策略研究[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（12）：45-46.