周義

[摘? 要] 來(lái)自現(xiàn)實(shí)模型的抽象、已有概念的概括、客觀事物屬性的本質(zhì)化、數(shù)學(xué)發(fā)展的構(gòu)造等多種途徑的數(shù)學(xué)概念是命題、推理、論證最根本的依據(jù)，教師應(yīng)適當(dāng)放緩步子、減小難度，在具體的概念教學(xué)中將知識(shí)與應(yīng)用完美結(jié)合并促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的真實(shí)把握.

[關(guān)鍵詞] 概念教學(xué);情境;操作;規(guī)律;辨析;應(yīng)用

很多初高中學(xué)生踏入社會(huì)以后往往無(wú)法領(lǐng)略到中學(xué)數(shù)學(xué)的直接應(yīng)用，很多學(xué)生跨出校門之后甚至在短短一兩年時(shí)間之內(nèi)就會(huì)將所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)完全遺忘，不過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中所習(xí)得的思維方法、研究方法、推理方法、著眼點(diǎn)以及培養(yǎng)起來(lái)的數(shù)學(xué)精神卻能令其受益一生. 蘊(yùn)含豐富數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的概念教學(xué)往往能令學(xué)生在學(xué)習(xí)中獲得一定的數(shù)學(xué)思想與研究方法以及數(shù)學(xué)精神的體會(huì).

概念作為數(shù)學(xué)理解的基礎(chǔ)，我們應(yīng)該用最多的精力來(lái)組織概念教學(xué). 但現(xiàn)實(shí)是我們教師在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，有時(shí)并未全身心投入其教學(xué)中，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)概念很少直接解決實(shí)際數(shù)學(xué)的問(wèn)題，兩者在一定程度上缺乏直接的關(guān)聯(lián)性，比如很少有直接考數(shù)學(xué)概念的題目，即使有也比較簡(jiǎn)單，因此實(shí)際教學(xué)中教師常常會(huì)壓縮概念教學(xué)的時(shí)間，而把更多的精力花在數(shù)學(xué)解題上. 在這一問(wèn)題上，廣大一線教師的如此做法或多或少地透露著某種無(wú)奈的心態(tài)，而尋找更為有效的數(shù)學(xué)概念教學(xué)的方法也成為大家一直琢磨的也最為緊迫的問(wèn)題. “世上本無(wú)路，走的人多了自然也就成了路.”魯迅先生的這句話給我們以激勵(lì)，在探尋數(shù)學(xué)概念有效教學(xué)的路上，我們一直在摸索前行著.

以境育情，引入新課

以境育情能令學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象迅速產(chǎn)生興趣并進(jìn)入角色，獲得情感共鳴的學(xué)生在學(xué)習(xí)對(duì)象的探索中也會(huì)更加投入.

例如，教材在函數(shù)這一概念的引入過(guò)程中就設(shè)計(jì)了炮彈發(fā)射、臭氧減少、恩格爾系數(shù)這三個(gè)涉及軍事、環(huán)境與經(jīng)濟(jì)的情境，將解析式、圖像、表格這三種函數(shù)的不同表示方法進(jìn)行了對(duì)應(yīng)展現(xiàn)，最后結(jié)合“對(duì)應(yīng)關(guān)系”與三種表示方法將函數(shù)的定義導(dǎo)出.

學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)生活中處處隱含的數(shù)學(xué)，因此，教師應(yīng)適當(dāng)選取生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象并將其設(shè)計(jì)成問(wèn)題情境呈現(xiàn)到學(xué)生面前，使學(xué)生在問(wèn)題情境的探索中建立下概念學(xué)習(xí)的基礎(chǔ). 不過(guò)，教師在情境的導(dǎo)入中也應(yīng)把握貼合學(xué)生的生活實(shí)際、具備一定思考價(jià)值的原則，將一些能夠體現(xiàn)時(shí)代精神并能令學(xué)生感悟知識(shí)的情境設(shè)計(jì)進(jìn)課堂教學(xué)的活動(dòng)中.

實(shí)驗(yàn)操作，體驗(yàn)概念形成

數(shù)學(xué)概念、思想方法都是一定背景下自然形成的產(chǎn)物，但不排除一些概念會(huì)令人覺(jué)得不夠自然，面對(duì)這些概念時(shí)，只要能夠?qū)⑵浔尘?、形成過(guò)程、應(yīng)用以及與其他概念之間的聯(lián)系弄明白，學(xué)生也很快能夠在其發(fā)展與形成過(guò)程中感受到它的水到渠成與合情合理. 因此，教師應(yīng)著眼于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手操作、觀察比較中對(duì)概念的形成過(guò)程加以體驗(yàn)并獲得清晰的認(rèn)知.

例如：“線面垂直”概念與判定定理（如圖1）.

梯狀分割，拾級(jí)而上

布魯納早就強(qiáng)調(diào)過(guò)學(xué)生是信息加工者的這一觀點(diǎn)，因此，教師可以將研究?jī)?nèi)容進(jìn)行分割，使學(xué)生在階梯狀知識(shí)的探索中拾級(jí)而上并進(jìn)行信息的加工，引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)的探索中逐步攀登的過(guò)程往往能令學(xué)生不斷感受到成功與喜悅.

事實(shí)上，數(shù)學(xué)概念的抽象性往往會(huì)令學(xué)生在理解過(guò)程中遭遇挫折，因此，有意義的臺(tái)階鋪設(shè)往往能令學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上扎實(shí)前行，漸進(jìn)性的認(rèn)知與理解也能令學(xué)生對(duì)概念形成更加清醒的認(rèn)知.

例如，函數(shù)的單調(diào)性.

1. 創(chuàng)設(shè)情境

問(wèn)題1：如圖2，是某地區(qū)某24小時(shí)的氣溫變化示意圖，你能根據(jù)當(dāng)天時(shí)間的變化說(shuō)說(shuō)該日的溫度變化趨勢(shì)嗎？（在某些時(shí)間段內(nèi)氣溫會(huì)有上升與下降）

問(wèn)題2：你能根據(jù)此例舉出生活中有關(guān)數(shù)據(jù)變化的其他例子嗎？（股票價(jià)格、水位高低等）

伴隨事例的列舉，教師可以告訴學(xué)生這些例子在函數(shù)的范疇中，其實(shí)就是函數(shù)值因?yàn)樽宰兞康淖兓a(chǎn)生了變化.

2. 借助圖像，直觀感受

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題進(jìn)行增函數(shù)與減函數(shù)的分類描述并使學(xué)生明確函數(shù)單調(diào)性會(huì)有定義域內(nèi)某區(qū)間條件的限制，相對(duì)來(lái)說(shuō)這是函數(shù)的局部性質(zhì).

問(wèn)題4：大家能根據(jù)自己的理解說(shuō)說(shuō)什么是增函數(shù)和減函數(shù)嗎？

學(xué)生在作圖過(guò)程中很快能對(duì)函數(shù)的單調(diào)性建立感性的認(rèn)知并在此基礎(chǔ)上展開(kāi)函數(shù)值變化規(guī)律的探究，最終獲得理性的認(rèn)識(shí).

3. 探究規(guī)律，理性認(rèn)識(shí)

這個(gè)函數(shù)的圖像對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是不熟悉的，這一設(shè)計(jì)能使學(xué)生意識(shí)到研究數(shù)量關(guān)系大小可以從函數(shù)解析式的角度進(jìn)行，不僅如此，還能使學(xué)生明白函數(shù)單調(diào)性嚴(yán)格表述的意義.

問(wèn)題6：你能根據(jù)解析式對(duì)函數(shù)f（x）=x2在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)進(jìn)行量化描述嗎？

這一問(wèn)題設(shè)計(jì)能令學(xué)生充分開(kāi)展思維活動(dòng)并暴露出學(xué)生思考、描述中的問(wèn)題，學(xué)生在運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言描述函數(shù)單調(diào)性的過(guò)程中也令自己的認(rèn)知從感性層面上升到了理性層面.

4. 思維抽象，形成概念

學(xué)生在問(wèn)題4與問(wèn)題5的思考中很快能夠?qū)握{(diào)性形成直觀到文字語(yǔ)言的理解，經(jīng)過(guò)教師的進(jìn)一步引導(dǎo)很快能夠運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行描述（如圖3）.

總體說(shuō)來(lái)，問(wèn)題1至問(wèn)題5的鋪設(shè)能很好地幫助學(xué)生對(duì)單調(diào)性形成感性到理性的認(rèn)知.

問(wèn)題7：對(duì)于一般函數(shù)f（x），你能描述出增函數(shù)的定義嗎？請(qǐng)注意數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的準(zhǔn)確性.

最后在小組討論總結(jié)和教師的完善中得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義并進(jìn)行類比獲得減函數(shù)的定義.

問(wèn)題6和問(wèn)題7將概念教學(xué)的過(guò)程適當(dāng)?shù)胤啪彶⒆寣W(xué)生在小組合作討論的過(guò)程中充分體驗(yàn)了函數(shù)單調(diào)性這一概念的形成過(guò)程.

引導(dǎo)學(xué)生在具體事例的探索中進(jìn)行事例屬性的分析與概括并最終歸納得出共同的本質(zhì)屬性是概念教學(xué)中最為重要的環(huán)節(jié)，這對(duì)于學(xué)生的概念學(xué)習(xí)與概括能力的養(yǎng)成都是至關(guān)重要的.

概念辨析，加深認(rèn)知

數(shù)學(xué)概念往往表現(xiàn)出語(yǔ)言的高度概括性，這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，往往會(huì)造成其理解上的偏差，因此，教師在具體的概念教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)穿插辨析過(guò)程，這對(duì)于學(xué)生對(duì)概念的理解來(lái)說(shuō)是大有裨益的.

（1）引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確定位關(guān)鍵字詞并在辨析中體驗(yàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的準(zhǔn)確與精煉. 例如，函數(shù)概念中的“任意”和“唯一”分別代表的精準(zhǔn)含義，概率概念中的“穩(wěn)定于”和“趨向于”分別所表達(dá)的意義等都是需要學(xué)生仔細(xì)推敲的.

（2）利用對(duì)比與反例引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行辨析并因此培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力. 例如，頻率與概率、對(duì)數(shù)與指數(shù)、相互獨(dú)立事件與互斥事件等諸多對(duì)立的概念也能令學(xué)生在辨析中對(duì)多學(xué)概念形成準(zhǔn)確的區(qū)分和認(rèn)知.

再如，教師在集合概念的教學(xué)中可以“高三（5）班的學(xué)生”為例引導(dǎo)學(xué)生加深理解，這一集合的元素——“高三（5）班學(xué)生”的確定使其成了集合，其中的任何兩位學(xué)生都代表了集合中的兩個(gè)不同元素，不僅如此，學(xué)生的順序?qū)@一集合并不會(huì)產(chǎn)生影響. 學(xué)生在自己身邊的事例中很快能夠?qū)υ氐拇_定性、互異性和無(wú)序性產(chǎn)生清晰的認(rèn)知. 教師還可以提出“高三（5）班所有高個(gè)子學(xué)生”是否能夠組成集合這一問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概念的對(duì)比和辨析，令學(xué)生明白“高個(gè)子”的不確定性是不能組成集合的原因. 學(xué)生在兩個(gè)事例的對(duì)比與辨析中很快形成了概念的清晰認(rèn)知.

實(shí)際應(yīng)用，外延拓展

很多數(shù)學(xué)公式、性質(zhì)都是根據(jù)某些數(shù)學(xué)核心概念衍生出來(lái)的，面對(duì)復(fù)雜的知識(shí)應(yīng)用與各種考查，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)核心概念進(jìn)行回顧并在完整的認(rèn)知體系中對(duì)概念的本質(zhì)形成更加精準(zhǔn)的理解.

例如，任意角的三角函數(shù)（如圖4）.

概念往往來(lái)自現(xiàn)實(shí)模型的抽象、已有概念的概括、客觀事物屬性的本質(zhì)化、數(shù)學(xué)發(fā)展的構(gòu)造等多種途徑，數(shù)學(xué)命題、推理以及論證都離不開(kāi)數(shù)學(xué)概念這一最基本且核心的內(nèi)容，因此，概念的理解與應(yīng)用是概念教學(xué)中最為重要的兩個(gè)方面. 教師在具體概念的教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)放緩步子、減小難度，引導(dǎo)學(xué)生在概念的形成與發(fā)展中扎實(shí)前行，并對(duì)概念的應(yīng)用與外延中展開(kāi)思考與探索，將知識(shí)與應(yīng)用完美結(jié)合并促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的真實(shí)把握.