許雪梅 李祥平

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089（2019）10-0286-01

【教學(xué)案例】小學(xué)數(shù)學(xué)中的“烙餅問題”。

早餐要吃烙餅，爸爸、媽媽和我每人1張。家里的煎鍋每次只能烙2張餅，2面都要烙，每面3分鐘。問：怎樣才能盡快吃上餅？

審題是落實(shí)核心素養(yǎng)的第一步，也就是要分清楚條件和問題。就這道題來說，每次只能烙2張餅的準(zhǔn)確含義是——烙1張可以，最多烙2張。爸爸、媽媽和我各要1張，言下之意是要烙3張。問的是“盡快”，意味著不可以一張張烙。

這樣理解了條件和問題后，學(xué)生就開始計(jì)算：1張2面，每面3分鐘，一鍋可以同時(shí)烙2張，烙完需6分鐘。剩下1張單獨(dú)烙，也是6分鐘。所以，烙3張共需12分鐘。

當(dāng)然會(huì)有學(xué)生質(zhì)疑說，這不是最優(yōu)方案，因?yàn)槔拥谌龔堬灥臅r(shí)候，鍋的另一半是空著的。如果每次總能烙2張，別讓鍋空著應(yīng)該是最省時(shí)間的。這就提出了一個(gè)猜想：3張也能不空。是這樣嗎？我們?cè)囈辉嚕?/p>

第一步：第一第二張餅烙正面，3分鐘；

第二步：第一張餅烙反面，將第二張餅?zāi)贸鰜恚瑩Q第三張餅烙正面，3分鐘；

第三步：第三張餅烙反面，第二張餅重新放進(jìn)來烙反面，3分鐘。

這樣總共花費(fèi)9分鐘，時(shí)間最省。

問題解答到這里似乎是解決了，可每次教學(xué)時(shí)總有學(xué)生提問：第二張餅烙了一面拿走，晾在那里會(huì)不會(huì)半生不熟？老師的回答大同小異，說這是數(shù)學(xué)抽象，一些細(xì)節(jié)可以忽略不計(jì)。這么回答是對(duì)的，因?yàn)閿?shù)學(xué)建模的時(shí)候只抽取關(guān)鍵量，不會(huì)考慮所有量。但是，這并不能令學(xué)生信服，因?yàn)檫@是聯(lián)系實(shí)際的模型，必須經(jīng)得起實(shí)際的檢驗(yàn)，否則學(xué)生就要懷疑問題的意義。其實(shí)，如果你有生活經(jīng)驗(yàn)，這個(gè)問題是很好回答的：把暫時(shí)不烙的第二張餅疊在1號(hào)餅上面，不就保溫了嗎？

再接下來，有的老師通過列表，讓學(xué)生找到了一般的運(yùn)算規(guī)律：3n（n是大于1的整數(shù)）。這已經(jīng)不屬于四年級(jí)下學(xué)期的學(xué)習(xí)范圍了，他沒有觸及本題的真正核心。為什么偏偏要研究3張餅？首先，因?yàn)殡p數(shù)張餅正好可以一鍋兩個(gè)同時(shí)烙，不需要探究。而當(dāng)我們知道了3張餅要烙多久后，烙5張餅的時(shí)間就相當(dāng)于：烙3張餅的時(shí)間+烙2張餅的時(shí)間，烙7張餅的時(shí)間就相當(dāng)于：烙3張餅的時(shí)間+烙4張餅的時(shí)間……依此類推，自然也不需要探究了。

繼續(xù)拓展：如果將鍋換得大一點(diǎn)，每次能烙3張，6跟9這些3的倍數(shù)就不用探究了，我們只需探究4張、5張的情況。4張?zhí)骄苛艘院螅?、10、13、……4+3n張不用再探究了。5張?zhí)骄苛艘院螅?、11、14、……5+3n張不用再算了。至此，其實(shí)是在引導(dǎo)學(xué)生做進(jìn)一步的抽象，并在此過程中，滲透進(jìn)一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)背景——同余類（余數(shù)相同可以分為一類）。

其實(shí)，烙餅問題就是數(shù)學(xué)中典型的統(tǒng)籌規(guī)劃模型，培養(yǎng)的是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一——建模。建模有以下幾個(gè)步驟：建模準(zhǔn)備，在烙餅問題中對(duì)應(yīng)的是審題；模型假設(shè)，進(jìn)行猜想——烙三張餅鍋也能不空；模型構(gòu)建——學(xué)生進(jìn)行探究；模型求解——得出結(jié)論；檢驗(yàn)——從數(shù)學(xué)上檢驗(yàn)9分鐘最省，因?yàn)殄佉冀K不空，從生活經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn)，一張餅烙了一面疊起來，可以避免半生不熟。

最后還有一個(gè)重要的環(huán)節(jié)——運(yùn)用：烙餅問題在日常生活的廣泛運(yùn)用，正能夠證明它作為模型的典型性和實(shí)用性。如：3輛灑水車一起加水，加滿一車要8分鐘，現(xiàn)在只有2個(gè)水龍頭，怎樣安排才能讓3輛車盡快一起開走？一種電腦小游戲玩一局要5分鐘，可以單人玩也可以雙人玩，現(xiàn)在小東和爸爸媽媽一起玩，每人玩2局，怎么玩最省時(shí)間？四年級(jí)的孩子對(duì)這道題特別感興趣，用連線的方式解答了出來。

你看，烙餅問題只是模型的載體，這里用不到，其他地方總會(huì)用到。

飽受批評(píng)的水池問題其實(shí)是一個(gè)簡(jiǎn)單的動(dòng)態(tài)平衡模型。

一個(gè)水池，單開進(jìn)水管60分鐘滿，單開排水管90分鐘完。先開進(jìn)水管20分鐘，再兩管齊開，多少分鐘后注滿？

我把它換一個(gè)說法，你就覺得有用了：

一個(gè)展覽館只進(jìn)不出，60分鐘人滿為患。只出不進(jìn)，90分鐘滿場(chǎng)的人可以走完。開館前20分鐘只有進(jìn)沒有出，20分鐘后有進(jìn)有出，問多少分鐘后需停止售票？

這個(gè)問題就有實(shí)際意義了，因?yàn)槿绻贿M(jìn)行人數(shù)控制，有可能發(fā)生踩踏事件（還記得幾年前上海外灘發(fā)生的踩踏事件嗎？）。而我們的應(yīng)用題之所以淪落到被外行人批判的地步，一是因?yàn)槿〔牟划?dāng)，二是因?yàn)榧庸み^度。但是，我們不能因此而否認(rèn)這些題目承載的數(shù)學(xué)模型的價(jià)值。

再補(bǔ)充一個(gè)七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)中的《3.4實(shí)際問題與一元一次方程》中的例子（p100）：

例1某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個(gè)螺釘或2000個(gè)螺母.1個(gè)螺釘需要配2個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各多少名？

這是配套問題，具體的分析和解答不談，只講講聽課后對(duì)授課教師的提問，似乎有點(diǎn)刁難的味道（因?yàn)檎勑陆處焸湔n中的問題）：

（1）這個(gè)例題有沒有更加生活化的例子？

有啊，露天考試的時(shí)候。一個(gè)同學(xué)可以搬運(yùn)1張桌子，或搬運(yùn)2張凳子。一個(gè)35人的考場(chǎng)，需要幾個(gè)同學(xué)搬運(yùn)桌子？幾個(gè)同學(xué)搬運(yùn)凳子？哎哎哎，你是生活委員，你來安排工作……。如果是開家長(zhǎng)會(huì)，1個(gè)桌子配2個(gè)凳子，……，怎么安排學(xué)生搬運(yùn)？

（2）問的委婉點(diǎn)：“某車間有22名工人”改為“某車間有25名工人”可以不可以？改為“某車間有77名工人”行不行？

沒有研究，估計(jì)不行……這數(shù)字有什么奧妙嗎？原因是你這么問了！/希望你下去自己研究一下。

（3）如果把“某車間有22名工人”改為“某車間有77名工人”，這77名工人要分成若干個(gè)小組，（隱含的條件是：每個(gè)小組每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套），應(yīng)該怎樣分？（后續(xù)的問題是：每個(gè)小組配一個(gè)質(zhì)檢員……，裝盒員……）這個(gè)問題太“發(fā)散了”，不問也罷！

估計(jì)會(huì)難倒一部分人（笑），請(qǐng)看答案：

1200：2000=3：5.

5個(gè)工人生產(chǎn)的螺釘數(shù)與3個(gè)工人生產(chǎn)的螺母數(shù)相等（比是1：1）.

5個(gè)工人生產(chǎn)的螺釘數(shù)與6個(gè)工人生產(chǎn)的螺母數(shù)的比是1：2.

5個(gè)工人和6個(gè)工人可以組成一個(gè)生產(chǎn)小組，每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套.

如何根據(jù)上面的解題思路列出一元一次方程解應(yīng)用題請(qǐng)讀者自己完成了?！澳耻囬g有22名工人”改為“某車間有n名工人”，可能會(huì)碰到一個(gè)求最小整數(shù)解的問題了。

有沒有想到“雞兔同籠”的問題？

要做到數(shù)學(xué)抽象（及生活問題的數(shù)學(xué)化）和數(shù)學(xué)應(yīng)用（即數(shù)學(xué)問題的生活化）這兩者的辯證結(jié)合，說起來容易，做起來還真有點(diǎn)難。