摘 要：如何提高課堂效率？如何避免替代思維？如何調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性？如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)？如何滲透數(shù)學(xué)思想方法？筆者通過對自己最近的一個教學(xué)片段進行初建、反思、重建，談如何解決以上問題。

關(guān)鍵詞：初建；重建；課堂效率；以生為本；合作學(xué)習(xí)；核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)思想方法

【初建課片段】

方法（一）累加法求通項公式

1. 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1-an=n+1（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式。

方法（二）累乘法求通項公式

2. 在數(shù)列{an}中，a1=1，an=n-1nan-1（n≥2），求數(shù)列{an}的通項公式。

方法（三）構(gòu)造法求通項公式

3. 已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+2，求數(shù)列{an}的通項公式。

【教學(xué)思路】

在教導(dǎo)學(xué)生如何利用遞推公式求數(shù)列通項的片段教學(xué)中，我主要采用先介紹利用遞推公式求數(shù)列通項的三種方法：累加法、累乘法、構(gòu)造法，然后教學(xué)生如何利用這三種方法求數(shù)列的通項公式，這種講授法教學(xué)。

【教學(xué)反思】

從學(xué)生的掌握情況看，發(fā)現(xiàn)大部分存在以下問題：

1. 對于第一、二題許多學(xué)生還是采用等差、等比數(shù)列的通項公式來解決，說明學(xué)生沒有真正掌握等差、等比數(shù)列的定義，還說明學(xué)生對于題目一、二的形式與等差、等比數(shù)列定義的區(qū)別還不清楚；

2. 對于第三題學(xué)生更會存在困惑，為什么我們要構(gòu)造一個新的數(shù)列？如何構(gòu)造？無從下手。說明本人采用講授法這種填鴨式的教學(xué)是一種無效教學(xué)，學(xué)生被老師牽著鼻子走，他們只是模仿者，而不是學(xué)習(xí)的主人，沒有自己的見解，沒有真正理解所學(xué)的知識內(nèi)涵，就不能將所學(xué)知識內(nèi)化為自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，即使學(xué)的時候會了，過后也很難回憶起。教師要“怎么教”，學(xué)生要“如何學(xué)”，才能提高課堂的有效性？才能讓課堂成為學(xué)生學(xué)習(xí)的樂園？針對以上問題我覺得我們可以通過以下幾個做法提高課堂效率：

1. “以生為本”，提高課堂效率。在本節(jié)初建課中，教師只是讓學(xué)生簡單地依賴模仿、記憶，沒有讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程，數(shù)學(xué)問題的解決過程，學(xué)生只是被動地接受知識，知其然而不知其所以然，囫圇吞棗，學(xué)習(xí)效果不好。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)將“以生為本”的教學(xué)理念貫穿始終，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，通過自己的觀察、思考來發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，從而掌握解決此類問題的方法，有了獨立解決問題的能力，這時所學(xué)知識“潤物細(xì)無聲”地留在他們的腦海里，這將終生受益。

2. “小組探究、合作學(xué)習(xí)”，提高課堂效率。本人覺得“小組探究、合作學(xué)習(xí)”是落實“以生為本”理念最好的方式之一。通過生生互動的方式替代以往枯燥無味的講授法教學(xué)模式，把足夠多的時間給學(xué)生，讓學(xué)生自覺、主動地參與到課堂上來，讓學(xué)生“在參與中體驗，在活動中發(fā)展”，在彼此思維的碰撞中，形成了對待問題的看法。

3. 滲透“數(shù)學(xué)思想方法”，提高課堂效率。教師在課堂教學(xué)中可以通過數(shù)學(xué)思想方法的滲透來提高了學(xué)生的思維能力，從而達(dá)到提高課堂的有效性的目的。本片段教學(xué)可以培養(yǎng)以下兩個數(shù)學(xué)思想方法：

（1）轉(zhuǎn)化與化歸思想。該片斷教學(xué)雖然用了三種方法來分別介紹如何通過遞推公式求數(shù)列的通項，但其本質(zhì)是轉(zhuǎn)化與化歸思想，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題來解決，即轉(zhuǎn)化為等差或等比的相關(guān)知識來解決，這可以幫助學(xué)生找到了解決問題的方向。

（2）類比思想。在方法二的教學(xué)中，教師原本是仿造方法一再講一遍，對學(xué)生來說枯燥無味，而且被動地接受，思維沒有得到訓(xùn)練。因此，在方法二的教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生自己類比方法一的研究思路進行探究，不僅課堂時間節(jié)約了，還提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，培養(yǎng)了學(xué)生不畏困難、勇于探索的精神。

4. 滲透“核心素養(yǎng)”，提高課堂效率。對于方法三，學(xué)生存在的困惑是為什么要構(gòu)造新數(shù)列？如何構(gòu)造新數(shù)列？構(gòu)造的新數(shù)列一定是等比數(shù)列嗎？如果教師只是讓學(xué)生機械地模仿記憶，學(xué)生只會解這道題而不會解這類題。因此可以采用讓學(xué)生現(xiàn)象觀察→提出猜想→推理論證的方法來突破難點，在探究中培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力、運算能力這兩方面的核心素養(yǎng)，提高了學(xué)生的解決問題的能力。

基于以上的反思本人將此教學(xué)片斷進行重構(gòu)如下：

【重建課片段】

知識梳理

對象

等差數(shù)列

等比數(shù)列

定義

an-an-1=d（n≥2）

anan-1=q（n≥2）an≠0，q≠0

表示

通項公式

an=a1+（n-1）d=am+（n-m）d

an=a1qn-1=amqn-m

前n項和

Sn=n（a1+an）2=na1+n（n-1）2d

Sn=na1（q=1）

a1（1-qn）1-q（q≠1）

【教學(xué)思路】本節(jié)課雖是學(xué)習(xí)三種利用數(shù)列遞推公式求數(shù)列通項公式的方法，但其本質(zhì)是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的相關(guān)知識來解決。因此在課前先復(fù)習(xí)等差、等比數(shù)列的相關(guān)知識，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

方法（一）累加法求通項公式

問題1：設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1-an=1（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式。

2. 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1-an=n+1（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式。

【教學(xué)思路】步驟一：先讓學(xué)生思考問題1與問題2的不同之處。同學(xué)們能夠通過觀察發(fā)現(xiàn)不同點在于an+1-an的值一個是常數(shù)，一個不是常數(shù)。當(dāng)an+1-an的值是常數(shù)時，它是一個等差數(shù)列，借助等差數(shù)列的通項公式能夠解決。反之，它不滿足等差數(shù)列的定義，此刻對如何解決這個問題產(chǎn)生認(rèn)知沖突，引發(fā)學(xué)生思考。步驟二：讓學(xué)生通過小組討論獲得解決方案。步驟三：讓學(xué)生思考如果式子an+1-an=n+1改為an+1-an=2n，an+1-an=1（2n-1）（2n+1）能夠解決嗎？

方法（二）累乘法求通項公式

問題3：在數(shù)列{an}中，a1=1，an=2an-1（n≥2），求數(shù)列{an}的通項公式。

問題4：在數(shù)列{an}中，a1=1，an=2nan-1（n≥2），求數(shù)列{an}的通項公式。

【教學(xué)思路】有了前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，對于方法二主要采用類比的方法讓學(xué)生自己研究。最后讓學(xué)生思考如果式子an=2nan-1（n≥2）改為an=n-1nan-1（n≥2）能夠解決嗎？

方法（三）構(gòu)造法求通項公式

問題5：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，求數(shù)列{an}的通項公式。

【教學(xué)思路】問題5的教學(xué)是本段片段教學(xué)的難點。對于這個知識點的教學(xué)主要采用讓學(xué)生進行現(xiàn)象觀察、提出猜想、推理論證這樣的教學(xué)思路來突破難點。讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成過程，數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程，以及數(shù)學(xué)問題的解決過程。

第一步現(xiàn)象觀察：先讓學(xué)生觀察式子an+1=2an+1，有的學(xué)生可能會嘗試將式子轉(zhuǎn)化為an+1-2an=1來解決，但發(fā)現(xiàn)它不是等差數(shù)列，因為它與問題1中的式子an+1-an=1的區(qū)別在于an+1，an前的系數(shù)不一樣；有的同學(xué)可能會嘗試將式子轉(zhuǎn)化為an+1=2an來解決，但發(fā)現(xiàn)也不行。怎么辦呢？第二步提出猜想：先讓學(xué)生寫出a2，a3，a4，a5這四項的值，然后讓學(xué)生通過這四項的值猜想數(shù)列{an}的通項公式。因為a1=1=21-1，a2=3=22-1，a3=7=23-1，a4=15=24-1，a5=31=25-1，所以an=2n-1（n∈N）。第三步推理論證：如何證明呢？引導(dǎo)學(xué)生通過觀察式子an=2n-1發(fā)現(xiàn)an+1=2n即{an+1}是一個等比數(shù)列。因此，只需要將式子an+1=2an+1改寫成an+1+1=2（an+1），這時就構(gòu)造了一個是等比的新數(shù)列，問題解決了。這給了學(xué)生一個解決問題的思路，當(dāng)我們遇到不會的問題的時候我們可以通過觀察、猜想、論證來獲得結(jié)論和解題的思路。第四步：讓學(xué)生思考如果式子an+1=2an+1變?yōu)閍n+1=2an+2n能夠解決嗎？這時需要構(gòu)造一個是等差的新數(shù)列來解決。

我們?yōu)槭裁匆脴?gòu)造法來解決問題，是因為我們要將陌生的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的問題來解決，至于構(gòu)造出的數(shù)列它可能是等差也可能是等比數(shù)列，需要具體問題具體分析。在這學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)的應(yīng)是問題的本質(zhì)，而不是死記硬背結(jié)論。

結(jié)束語：教師教給學(xué)生不應(yīng)只是冰冷的數(shù)學(xué)知識，更重要的是教給學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待問題、用數(shù)學(xué)的思想去考慮問題的能力。授之以魚不如授之以漁，學(xué)生“會學(xué)”比“學(xué)會”更重要，希望通過教師的不斷反思，教學(xué)方式的不斷改變，不僅提高了課堂的效率，還能促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不斷提高。

作者簡介：葉雯雯，福建省廈門市，廈門市湖濱中學(xué)。