楊斯博

摘 要：轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是數(shù)學(xué)思想的核心內(nèi)容，同時(shí)也是解決問(wèn)題的重要策略之一。轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想方法在國(guó)內(nèi)外都有著廣泛的應(yīng)用，數(shù)學(xué)家們從不同維度對(duì)轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行闡述。文章對(duì)國(guó)內(nèi)外轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究進(jìn)行文獻(xiàn)綜述。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化思想;教學(xué);小學(xué)數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2019-03-03 文章編號(hào)：1674-120X（2019）11-0048-02

一、國(guó)外有關(guān)轉(zhuǎn)化思想的研究

在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，有許多數(shù)學(xué)家以各種不同的視角對(duì)轉(zhuǎn)化思想方法進(jìn)行了闡述。

（一）國(guó)外在數(shù)學(xué)思想方法角度下轉(zhuǎn)化思想的研究

羅莎·彼得是匈牙利著名的數(shù)學(xué)家，在她的著作《無(wú)窮的玩藝》中提出，數(shù)學(xué)家的思維過(guò)程就是推理過(guò)程的經(jīng)典代表，就是“數(shù)學(xué)家們通常不對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正面的攻擊，而是持續(xù)地把它變形，讓它轉(zhuǎn)變成能得到解決的問(wèn)題為止[1]”。她用形象的比喻對(duì)轉(zhuǎn)化做出了以下風(fēng)趣的描述，并說(shuō)明了轉(zhuǎn)化法的本質(zhì)。她說(shuō)：“假如為你準(zhǔn)備了煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴等工具，現(xiàn)在你想燒開水，那應(yīng)該怎么辦？[1]”對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，有人會(huì)這樣答復(fù)：“先把壺中灌水，然后點(diǎn)煤氣，最后把壺放到煤氣灶上。”顯然這樣做是十分正確的。然后她問(wèn)了第二個(gè)問(wèn)題：“假設(shè)其他條件都不變，現(xiàn)在壺中已經(jīng)有充足的水，你又如何去做呢？”到這個(gè)時(shí)候大部分人都會(huì)自信地說(shuō)：“直接點(diǎn)燃煤氣，把水壺放到煤氣灶上就行了?！钡X得這些都不能成為最好的答案。因?yàn)?，更好的答案?yīng)當(dāng)是：“把壺中的水倒掉。”這應(yīng)該是最笨的方法，為什么反而是最優(yōu)化的答案呢？因?yàn)檫@些時(shí)候往往數(shù)學(xué)家就可以聲明：“這應(yīng)該只有物理學(xué)家會(huì)這樣做，而數(shù)學(xué)家們則會(huì)讓后面的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為前面所說(shuō)的問(wèn)題[2]”。原來(lái)只是倒掉水這么簡(jiǎn)單的回答。這種思維方法與一般的經(jīng)驗(yàn)相比，往往是獨(dú)特的、有效的。數(shù)學(xué)家們特別擅長(zhǎng)運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想方法。

《怎樣解題》的作者是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家G.波利亞，書中所提到的關(guān)于應(yīng)充分利用“輔助問(wèn)題”的思想與轉(zhuǎn)化思想是有異曲同工之處的。G.波利亞有著這樣的敘述：“我們?cè)噲D求解的是一個(gè)幾何問(wèn)題，而我們想到的早已解決的有關(guān)問(wèn)題是三角形問(wèn)題。一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)我們想到一個(gè)早已解決的有關(guān)問(wèn)題后，我們必須經(jīng)常問(wèn)：為了可能利用它，我們是否應(yīng)該引入某個(gè)輔助元素？去設(shè)計(jì)并解決一個(gè)合適的輔助問(wèn)題，從而用它求得一條通向一個(gè)表面上看起來(lái)很難接近的問(wèn)題的通道，這都是運(yùn)用智慧的卓越成就[3]”。G.波利亞對(duì)“輔助問(wèn)題”做出了分類，分別是：等價(jià)代換問(wèn)題、較強(qiáng)的輔助問(wèn)題和間接的輔助問(wèn)題。與G.波利亞的這些論述進(jìn)行比較，轉(zhuǎn)化思想方法的主要特點(diǎn)就在于它具有更強(qiáng)的目的性、方向性和概況性，就是希望通過(guò)未知到已知、繁到簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化來(lái)達(dá)到解決問(wèn)題的目的。在這個(gè)意義上，轉(zhuǎn)化思想方法可看成是對(duì)G.波利亞有關(guān)思想的進(jìn)一步的發(fā)展。

（二）國(guó)外在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的維度下轉(zhuǎn)化思想的研究

以上所提到的幾部著作都是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的闡述，其共同特點(diǎn)是立足于整個(gè)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，應(yīng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的共性來(lái)進(jìn)行論述，基本上沒有從小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的維度進(jìn)行歸納、總結(jié)和概括，特別是能夠應(yīng)用高觀點(diǎn)從宏觀角度對(duì)整個(gè)初等數(shù)學(xué)，甚至到數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域的研究涉及的面很小。以目前找到的文獻(xiàn)資料為依據(jù)，《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》的作者是德國(guó)數(shù)學(xué)家F.克萊因。在這本書中，他都是以十分簡(jiǎn)單、基本的數(shù)學(xué)知識(shí)為著眼點(diǎn)，循序漸進(jìn)地展開并且擴(kuò)展到非常艱深的數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)、形的互相轉(zhuǎn)化是數(shù)形結(jié)合思想的特點(diǎn)，它也是一種經(jīng)典的轉(zhuǎn)化思想類型，同時(shí)，也滲透在初等數(shù)學(xué)的教學(xué)之中。

也可以說(shuō)，轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中一種最常見、最基本的思想方法。轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想的靈魂。這種思想方法因?yàn)橛兄S許多多的數(shù)學(xué)家和教育家的努力，才得以不斷完善和發(fā)展，它是沿用至今的重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，并且在數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域中對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決、學(xué)科的發(fā)展都有著不可或缺的重要作用。

二、國(guó)內(nèi)有關(guān)轉(zhuǎn)化思想的研究

《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典之作，它在全世界的數(shù)學(xué)名著中十分重要?！毒耪滤阈g(shù)》對(duì)漢代以前數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了歸納總結(jié)。對(duì)轉(zhuǎn)化思想的起源，《九章算術(shù)》是以應(yīng)用問(wèn)題集的方式編寫的，首先提出問(wèn)題，接著給出“答”和“術(shù)”，也就是說(shuō)任何一個(gè)問(wèn)題都有“術(shù)”，所說(shuō)的“術(shù)”就是我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)的方法和算法，即我們現(xiàn)在所說(shuō)的數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)公式。《九章算術(shù)》的第一卷叫作“方田”，一共有38道題，其中一共有21個(gè)“術(shù)”，重要“術(shù)”文叫作“均分術(shù)”。方田也叫作田畝形狀，在此章節(jié)中包括各種如何計(jì)算平面幾何圖形面積以及與面積的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算。轉(zhuǎn)化思想方法在這里給很多問(wèn)題提出了解決方法，如“割圓術(shù)”“勾股定理”等原理。

在20世紀(jì)80年代，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)教育家徐利治，率先提倡在大學(xué)中講授“數(shù)學(xué)方法論”，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)理論做出了巨大貢獻(xiàn)。他在研究級(jí)數(shù)反演理論時(shí)提出了關(guān)系、映射、反演方法，即RMI方法（以下簡(jiǎn)稱RMI方法）。并從方法論的角度對(duì)這一方法進(jìn)行了專門研究。實(shí)際上，RMI方法是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中的一種常見的轉(zhuǎn)化思想方法，但這種方法比一般的轉(zhuǎn)化思想有更抽象，因此具有更重要和廣泛的應(yīng)用?！瓣P(guān)系結(jié)構(gòu)—映射—定映—反演—得解”這幾個(gè)步驟是處理問(wèn)題的一般方法。運(yùn)用RMI這種方法解決問(wèn)題時(shí)，有以下具體步驟：首先，要弄清楚所要解決的問(wèn)題中原象關(guān)系結(jié)構(gòu)與原象未知目標(biāo)的主要內(nèi)容分別是什么;其次，運(yùn)用RMI原則處理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵是選擇合適并且有效的映射;再次，要搞清楚映像關(guān)系結(jié)構(gòu)和映像未知目標(biāo)的具體內(nèi)容;第四，應(yīng)用數(shù)學(xué)手續(xù)求解映像的未知目標(biāo);最后，依據(jù)被確定了的映像目標(biāo)，通過(guò)反演的方式得到原象目標(biāo)，讓問(wèn)題得到解決。這是轉(zhuǎn)化思想的又一種運(yùn)用。

通過(guò)對(duì)所找的文獻(xiàn)的梳理，筆者認(rèn)識(shí)并發(fā)現(xiàn)國(guó)內(nèi)轉(zhuǎn)化思想方法的研究分別是以“數(shù)數(shù)轉(zhuǎn)化”“數(shù)形轉(zhuǎn)化”“形形轉(zhuǎn)化”三種方式進(jìn)行的，下面對(duì)三種方式分別進(jìn)行文獻(xiàn)梳理：

（一）關(guān)于“數(shù)數(shù)轉(zhuǎn)化”的研究

數(shù)數(shù)之間的轉(zhuǎn)化就是在學(xué)習(xí)和解決新的數(shù)字之間的運(yùn)算問(wèn)題之中，把所學(xué)的新數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橹耙呀?jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)，把即將解決的新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的舊知識(shí)和舊問(wèn)題，讓我們所學(xué)的新內(nèi)容易于理解、易于解決。數(shù)數(shù)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法目的在于從認(rèn)識(shí)數(shù)的角度出發(fā)，把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為舊問(wèn)題，讓學(xué)生理解新的數(shù)。學(xué)生以此為基礎(chǔ)進(jìn)行學(xué)習(xí)，從熟悉到陌生，從已知到未知，注重知識(shí)之間的聯(lián)系，就能牢固地掌握運(yùn)算方法。數(shù)學(xué)具有系統(tǒng)性，它決定了數(shù)學(xué)知識(shí)之間是有聯(lián)系的，應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行教學(xué)時(shí)，就要考慮新知識(shí)和已經(jīng)學(xué)過(guò)的哪些知識(shí)有聯(lián)系，以為日后要學(xué)的知識(shí)打下基礎(chǔ)。教師在教學(xué)時(shí)要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生溝通新舊知識(shí)間的聯(lián)系，幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在小學(xué)數(shù)學(xué)里，關(guān)于數(shù)的概念的學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)概念之后，整數(shù)可以當(dāng)作特殊的分?jǐn)?shù)來(lái)看，所有整數(shù)都可以化作任意自然數(shù)（0除外）做分母的假分?jǐn)?shù)。反之，假分?jǐn)?shù)也能轉(zhuǎn)化成整數(shù)和帶分?jǐn)?shù)。小數(shù)能化歸為分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)也能化歸為小數(shù)。整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，計(jì)算時(shí)就能靈活轉(zhuǎn)換，使運(yùn)算更簡(jiǎn)便。

（二）關(guān)于“數(shù)形轉(zhuǎn)化”的研究

數(shù)學(xué)中的基本研究對(duì)象——數(shù)和形，它們?cè)谝欢l件下能實(shí)現(xiàn)互相轉(zhuǎn)化。數(shù)形轉(zhuǎn)化就是所說(shuō)的“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，“數(shù)與代數(shù)”的板塊中表現(xiàn)在能夠讓數(shù)字轉(zhuǎn)化為直觀的平面圖形，如線段、小棒等清晰直觀圖像。數(shù)形轉(zhuǎn)化的應(yīng)用讓學(xué)生在數(shù)與代數(shù)模塊的學(xué)習(xí)中具有直觀性。把抽象轉(zhuǎn)化為直觀，對(duì)處于形象思維階段的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，有利于其更好的學(xué)習(xí)。

（三）關(guān)于“形形轉(zhuǎn)化”的研究

在小學(xué)數(shù)學(xué)的“圖形與幾何”板塊中，也蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化思想方法。這種轉(zhuǎn)化思想方法是將“形”轉(zhuǎn)化為“形”。例如化曲為直、割補(bǔ)法、拼接法等。我們用化斜為正和化難為易的思想方法進(jìn)行教學(xué)，可以求解圖形的周長(zhǎng)、面積等有關(guān)計(jì)算的問(wèn)題。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中怎樣運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，張衛(wèi)星給出了五點(diǎn)建議：首先，運(yùn)用類比的方法，落實(shí)轉(zhuǎn)化的思想方法;其次，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，落實(shí)轉(zhuǎn)化的思想方法;再次，運(yùn)用條件替換的方法，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想方法;第四，把條件進(jìn)行統(tǒng)一，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想方法;最后，通過(guò)假設(shè)說(shuō)明，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想方法。

上述研究對(duì)廣大一線教師有很大的啟發(fā)和借鑒意義。一是從總體上闡述了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法在國(guó)內(nèi)外目前的研究成果，這些都會(huì)作為我們研究的依據(jù)。二是展示了轉(zhuǎn)化思想中所具有的內(nèi)容和表現(xiàn)形式，這使得我們的研究更有針對(duì)性。此外，在文獻(xiàn)梳理中可以發(fā)現(xiàn)：

首先，對(duì)有關(guān)轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行研究的國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)很多，但這些研究多數(shù)以研究個(gè)案為主。轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)發(fā)展中所必需的，是常用的數(shù)學(xué)思想方法，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的必需的工具。所以，怎樣運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想應(yīng)該引起教育工作者的重視，應(yīng)不斷努力把它貫穿于教學(xué)的始終。但是筆者在讀了大量的有關(guān)轉(zhuǎn)化思想的文獻(xiàn)分析得出：關(guān)于轉(zhuǎn)化思想在“數(shù)數(shù)轉(zhuǎn)化”“數(shù)形轉(zhuǎn)化”“形形轉(zhuǎn)化”三個(gè)方面的研究較多，但研究只以習(xí)題的形式呈現(xiàn)單個(gè)的知識(shí)點(diǎn)，把自己的教學(xué)方法和教學(xué)建議闡述出來(lái)，沒有立足于教材本身，從整體分析教材內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想，在一定程度上導(dǎo)致提出的教學(xué)建議不具有普遍性。

其次，對(duì)有關(guān)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透轉(zhuǎn)化思想的研究文獻(xiàn)比較多。轉(zhuǎn)化思想方法是十分普遍的數(shù)學(xué)思想，無(wú)論學(xué)生處于什么階段，在學(xué)習(xí)、解題等方面都要用到它，這種思想是值得學(xué)生掌握的。

最后，研究有關(guān)轉(zhuǎn)化思想在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何上的研究多，在統(tǒng)計(jì)與概率方面的研究較少。就筆者研究的文獻(xiàn)來(lái)看，有關(guān)轉(zhuǎn)化思想的研究，大部分都集中在了數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何上，對(duì)于統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域的研究是沒有的，所以說(shuō)這給轉(zhuǎn)化思想的研究帶來(lái)了挑戰(zhàn)。

以上是筆者對(duì)轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究所做出的闡釋?？偟膩?lái)說(shuō)，轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位，教師在日常的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)對(duì)其予以足夠的重視。

參考文獻(xiàn)：

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