卷積在信號處理中的應(yīng)用

文/謝沛凝

1 前言

卷積方法是“信號與系統(tǒng)”在論述系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)而提出的，原理是將信號分解為沖擊信號之和，借助系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)，求解系統(tǒng)對任意激勵信號的零狀態(tài)響應(yīng)。在“信號與系統(tǒng)”中，卷積是對線性時不變系統(tǒng)的連續(xù)時間信號即模擬信號的論述，公式表示為r(t)=e(t)*h(t)=∫ e(τ)h(t-τ)dτ 。

2 離散時間內(nèi)的卷積應(yīng)用

離散序列的卷積公式：y(n)=x(n)*h(n)= Σx(m)h(n-m)，此處m為負(fù)無窮到正無窮。

卷積的過程就是相當(dāng)于把信號分解為無窮多的沖擊信號，然后進(jìn)行沖擊響應(yīng)的疊加，關(guān)鍵在于疊加。

拿生活中最簡單的例子，吃餃子為列:

假設(shè)小明非常的餓，到飯店去吃餃子，每十分鐘上十個餃子，一共要了一百個餃子，分十次吃完。那么在第一個十分鐘內(nèi)小明吃到了十個餃子，感到飽腹感。等了一會又吃了十個餃子，又有飽腹感。直到小明吃完最后十個餃子，他感覺自己跟沒吃一樣，為什么會產(chǎn)生這樣的結(jié)果？

人即為系統(tǒng)，吃餃子即為脈沖以后，會有什么表現(xiàn)(輸出)?

小明在很餓的情況下一次吃10個餃子相當(dāng)于輸出為0；如果一次連續(xù)吃20個餃子則視為輸出1；吃30個餃子，他會感覺到明顯的飽腹感，即輸出3；一次吃40個餃子，小明可能就會很撐，相當(dāng)于系統(tǒng)輸出5；一下子吃100個餃子，他可能就輸出0。

見圖1，下面我用一個圖表幫助大家理解，以吃餃子的個數(shù)作為X軸，以飽腹感的程度（輸出）為Y軸，繪制了一條曲線：

圖1

小明吃100個餃子還是感到饑餓，是因為每次吃餃子的時間間隔（Δτ=1小時）太長了，所以在十分鐘內(nèi)，小明把吃到的10個餃子完全消化了，并沒有產(chǎn)生疊加效應(yīng)，始終是一個常數(shù)；如果縮短吃餃子的的時間間隔（Δτ=5分鐘），那他的飽腹感可就迅速疊加了；等到小明吃完100個餃子時，飽腹感就會達(dá)到最大，會收到最好的效果。

這與線性時不變系統(tǒng)對脈沖、輸入、激勵的響應(yīng)有關(guān)。小明吃餃子后會慢慢消化餃子，飽腹的感覺會在慢慢消失，但是不可能突然消失。這樣一來，只要吃餃子的時間間隔很小，每一個餃子產(chǎn)生的效應(yīng)都不會完全衰減，只是對最終的飽腹程度有不同的貢獻(xiàn)。就像系統(tǒng)突然受到一個脈沖信號（信號瞬間消失），系統(tǒng)則會在某一時刻開始緩慢的衰減，直到為0。在衰減過程中又受到了一個瞬間脈沖信號，則信號會在原來衰減的地方累加上本次脈沖信號。若上次脈沖信號完全衰減為0時，本次脈沖信號則重復(fù)上次的動作，即上次脈沖對系統(tǒng)沒有產(chǎn)生影響。

即：n個餃子造成的飽腹感=Σ(第m個餃子給予的飽腹感*衰減系數(shù))，數(shù)學(xué)表達(dá)為:y(n)=Σx(m)h(n-m)。

通俗地說卷積的物理意義就在于單位沖激響應(yīng)在輸入信號上的疊加，對于線性時不變系統(tǒng)，只要知道該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，那么求卷積就相當(dāng)于把輸入信號的各時間間隔的響應(yīng)乘以沖激響應(yīng)后相疊加，就可以直接得到輸出信號。

通俗的說：在輸入信號的每個位置，疊加一個單位響應(yīng)，就得到了輸出信號。