一個(gè)有趣的概率問題

錢禹任

眾所周知，概率論的起源是對賭博問題的研究.早在16世紀(jì)，就有人開始研究扔硬幣，擲骰子等相關(guān)問題，經(jīng)過多年來許多數(shù)學(xué)家的研究，使之逐步發(fā)展成一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科.由于本人一直對概率論的相關(guān)問題非常感興趣，利用課余時(shí)間，看了一些概率論相關(guān)的書籍，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的問題，與大家分享。

一、問題提出

問題：下邊有四顆骰子（圖示為正方體的展開圖），分別用A、B、C、D來表示。莊家讓你先選擇一顆你自己認(rèn)為最好的骰子，然后莊家再從剩下的三顆骰子中選一個(gè)。拋擲各自所選的骰子后，誰擲出的數(shù)字大，誰就贏了。那么，你應(yīng)該選哪顆骰子贏面會(huì)比較大呢？

二、問題分析

從直觀上看，如果只投一次每個(gè)骰子都有贏的機(jī)會(huì)，所以我們要比較的不是投一次的結(jié)果，而是甲骰子能贏乙骰子的概率，如果大于1/2，我們就認(rèn)為甲骰子比乙骰子強(qiáng)，那么問題就轉(zhuǎn)化為是不是有一個(gè)骰子比其余三個(gè)都強(qiáng)呢？讓我們分別來計(jì)算一下。

A與B：由于B的六個(gè)數(shù)都一樣，而A有四個(gè)數(shù)比B大，所以A贏B的概率為2/3。

A與C：A想贏C必須A投出4（概率為2/3）的條件下C投出2（概率為2/3），A贏C的概率為4/9。

A與D：A想贏D必須A投出4（概率為2/3）的條件下D投出1（概率為1/2），A贏C的概率為1/3。

B與C：由于B的六個(gè)數(shù)都一樣，而C有四個(gè)數(shù)比B小，所以B贏C的概率為2/3。

B與D：由于B的六個(gè)數(shù)都一樣，而D有三個(gè)數(shù)比B小，所以B贏D的概率為1/2。

C與D：當(dāng)C投出6，必然贏D（概率為1/3），當(dāng)C投出2（概率為2/3），此時(shí)D投出1（概率為1/2），C才能贏，所以C贏D的概率為2/3。

如果我們用符號“>”來表示骰子的強(qiáng)弱，通過上述計(jì)算，我們可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)“循環(huán)”結(jié)構(gòu)（A-B-C與A-B-C-D）：

A>B， B>C， C>A，C>D， D>A

顯然，無論我們挑選哪個(gè)骰子，你會(huì)發(fā)現(xiàn)都有別的骰子贏面比你選的骰子大，也就是說這四個(gè)骰子中并沒有一個(gè)能贏過其它三個(gè)骰子，這個(gè)游戲怎么玩先選的一方都是會(huì)輸?shù)摹?/p>

曾經(jīng)在一次宴會(huì)上，股神巴菲特嘗試和他的朋友玩這個(gè)游戲，而這位朋友正是比爾蓋茨，后者察言觀色覺得股神沒安好心，仔細(xì)一算相互的概率發(fā)現(xiàn)果然有陷阱……結(jié)局是兩人相視大笑。

三、數(shù)學(xué)原理

為什么會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象，我百思不得其解.因?yàn)樵跀?shù)學(xué)中，比較運(yùn)算是有傳遞性的。如果兩個(gè)實(shí)數(shù)A>B，且B>C，那么一定有A>C。經(jīng)過與老師的交流和上網(wǎng)查詢，發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象被稱為“非傳遞性骰子”，有點(diǎn)像我們經(jīng)常玩的游戲“石頭剪刀布”，可能會(huì)形成循環(huán)。

事實(shí)上在很多生活常識和數(shù)學(xué)概念中，傳遞性都是不成立的。

比如直線a和b共面，b和c共面，而a和c就不一定共面;

比如直線a和b垂直，b和c垂直，而a和c就不一定垂直;

比如生活中，甲認(rèn)識乙，乙認(rèn)識丙，甲也不一定認(rèn)識丙;

上述這樣的例子還有很多。

我們遇到的“非傳遞性骰子”現(xiàn)象正是一個(gè)不具有傳遞性的數(shù)學(xué)事實(shí)，我們只是計(jì)算了其中兩個(gè)的勝負(fù)關(guān)系，用概率這一數(shù)字結(jié)果表現(xiàn)了出來，給人的感覺上好像有大小也就是傳遞關(guān)系，其實(shí)骰子A與B，B與C算出來的概率完全沒有可比性，也就是說二者之間是有勝負(fù)關(guān)系，但是三個(gè)放在一起是沒有必然的強(qiáng)弱關(guān)系的。

比如足球比賽也常常是這樣.即使A隊(duì)必勝B隊(duì)，B隊(duì)必勝C隊(duì)，也不能由此推斷A隊(duì)就能必勝C隊(duì)，因?yàn)檫@里也是一樣，前面兩個(gè)的勝負(fù)關(guān)系與第三場A與C的勝負(fù)是沒有必然關(guān)系的。

四、等價(jià)關(guān)系

經(jīng)過查閱相關(guān)書籍資料，我找到了一個(gè)與傳遞性有關(guān)的數(shù)學(xué)概念——等價(jià)關(guān)系。

定義：設(shè)是集合上的一個(gè)二元關(guān)系（記作“”），若滿足：

自反性：.

對稱性：.

傳遞性：.

則稱是定義在上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。與中一個(gè)元素有關(guān)系的所有元素的集合叫做的等價(jià)類。

比如三角形的相似關(guān)系就是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，與某一個(gè)給定三角形相似的所有三角形就構(gòu)成了一個(gè)等價(jià)類;再比如，直線的平行關(guān)系就不是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，因?yàn)樽陨砗妥陨聿⒉黄叫?，所以不滿足自反性，等價(jià)關(guān)系是數(shù)學(xué)中的一種特殊的關(guān)系，實(shí)際上由等價(jià)關(guān)系出發(fā)，可以將集合劃分成很多互不相同的等價(jià)類，完成對集合的一種劃分，這也是分類思想在數(shù)學(xué)中的具體體現(xiàn)。

比如我們可以將整數(shù)中所有用3除余數(shù)相同的數(shù)看成一類，也就是說，我們將等價(jià)關(guān)系定義成只要兩個(gè)整數(shù)的差能被3整除，它們就是等價(jià)的。這樣一來，整個(gè)整數(shù)集合可以被劃分成3類，我們稱為同余類。這三類中各有一個(gè)代表元：0，1，2.比如0所代表的這一類，也就是能被3整除的所有整數(shù)，由于傳遞性，它們不僅都和0是等價(jià)的，互相也是等價(jià)的。這樣一來，所有能被3整除的整數(shù)可以看成是“一個(gè)”元素0。同理，1和2就代表了被3整除余數(shù)分別為1和2的另外兩類所有整數(shù)。據(jù)說高斯在研究數(shù)論的時(shí)候就用了同余類，非常著名的中國剩余定理也和這個(gè)有關(guān)。

老師告訴我，由等價(jià)關(guān)系出發(fā)，近代數(shù)學(xué)里還研究了所謂群環(huán)域等概念，也就是更加復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)了……真的是學(xué)海無涯，這也有待我以后大學(xué)生涯的求索吧。

參考文獻(xiàn)：

[1]葉軍.《如此“有序”？——從“不可遞”骰子說開去》[J].初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，2004（04）.

[2]談祥柏.《神奇的骰子》[J].初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，1997（09）.

[3]維基百科.（詞條：等價(jià)關(guān)系，等價(jià)類）