“正弦定理”(第1課時(shí))教學(xué)設(shè)計(jì)及評(píng)析

鄧富鐘 張?bào)悻|

摘要：文章以“正弦定理”（第1課時(shí)）為例，通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，融觀察現(xiàn)象、合情推理于數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)與證明的過(guò)程中，設(shè)置恰當(dāng)問題，介紹可行方法，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)式研究發(fā)現(xiàn)正弦定理，并完成邏輯證明。在以單元教學(xué)設(shè)計(jì)思想為指導(dǎo)時(shí)，始終貫徹《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》所倡導(dǎo)的在課堂教學(xué)中注重學(xué)科核心素養(yǎng)養(yǎng)成的理念。

關(guān)鍵詞：正弦定理;教學(xué)設(shè)計(jì);核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

“正弦定理”（第1課時(shí)）完成了“正弦定理”教學(xué)設(shè)計(jì)、課件和微課程制作，在大學(xué)教師教育必修課程“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)”課上開展了模擬授課，在合作中完成了實(shí)踐教學(xué)，收到了預(yù)期的教學(xué)效果。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的要求，“平面向量及其應(yīng)用”這一單元的學(xué)習(xí)，主要包括平面向量的幾何意義和代數(shù)意義，平面向量的概念，平面向量的加法、減法、數(shù)乘、向量共線定理、平面向量基本定理，以及向量的應(yīng)用等學(xué)習(xí)內(nèi)容，有利于養(yǎng)成和提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

本學(xué)習(xí)單元中“正弦定理”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，我們以《標(biāo)準(zhǔn)》為指導(dǎo)，以人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)5（必修）》（以下統(tǒng)稱“教材”）內(nèi)容為素材，突出促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的教育理念，教學(xué)設(shè)計(jì)中以多元智能理論、布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué)，以及加涅的教學(xué)設(shè)計(jì)原理為理論基礎(chǔ)?？紤]到目前還沒有以《標(biāo)準(zhǔn)》為指導(dǎo)的教材，此學(xué)習(xí)內(nèi)容的設(shè)計(jì)旨在突出“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”，采用GeoGebra動(dòng)態(tài)繪圖軟件輔助教學(xué)，讓學(xué)生可以通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)正弦定理。

依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》主題三“幾何與代數(shù)”，第一單元“平面向量及其應(yīng)用”，各部分內(nèi)容的關(guān)系如圖1所示。

而依據(jù)教材第一章解三角形，各部分內(nèi)容之間的關(guān)系如圖2所示。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)施

1.教學(xué)內(nèi)容分析

“正弦定理”（第1課時(shí)）選自教材第一章第一節(jié)“正弦定理和余弦定理”。課程安排在三角函數(shù)和向量知識(shí)之后，既是三角函數(shù)知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用，又是初中階段“三角形邊角關(guān)系”和“解直角三角形”內(nèi)容的延續(xù)與拓展，更是處理可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算的其他數(shù)學(xué)問題，以及生產(chǎn)、生活中實(shí)際問題的重要工具。

2.學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)平面幾何的相關(guān)知識(shí)，并且能夠熟練地解決直角三角形的問題。在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)4（必修）》中也剛剛學(xué)習(xí)過(guò)三角函數(shù)，因此學(xué)生對(duì)于本章節(jié)的知識(shí)內(nèi)容不會(huì)感到陌生，對(duì)于知識(shí)的理解也不會(huì)有很大困難。此時(shí)學(xué)生已經(jīng)有了一定的觀察分析能力和解決問題能力，但是在前后知識(shí)的串聯(lián)和綜合運(yùn)用上會(huì)有一定的困難。創(chuàng)設(shè)適應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)水平的環(huán)境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性是教師需要首先考慮的問題。因此，多設(shè)置思維引導(dǎo)點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生分析問題、解決問題，注重前后知識(shí)之間的聯(lián)系，用已有知識(shí)解決新問題，形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

3.教學(xué)目標(biāo)確定

（1）從已有三角形知識(shí)出發(fā)，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、證明，從特殊到一般得到正弦定理，掌握正弦定理，了解正弦定理的一些推導(dǎo)方法，并學(xué)會(huì)應(yīng)用正弦定理解決斜三角形的兩類基本問題。

（2）通過(guò)對(duì)實(shí)際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的縝密思維。

（3）通過(guò)自主探究、合作交流，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱難的思維品質(zhì)和個(gè)人素養(yǎng)。

（4）培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)平面幾何、三角函數(shù)、正弦定理等知識(shí)之間的聯(lián)系，體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

（5）提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

4.教學(xué)重、難點(diǎn)

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)、探究，以及兩類基本問題的應(yīng)用。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程及證明。

5.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

教師活動(dòng)呈現(xiàn)的學(xué)習(xí)情境、提出驅(qū)動(dòng)性問題、學(xué)習(xí)任務(wù)類型;對(duì)應(yīng)學(xué)生活動(dòng)，示范指導(dǎo)學(xué)科思想方法，關(guān)注課堂生成，糾正思維錯(cuò)漏，恰當(dāng)運(yùn)用評(píng)價(jià)方式與評(píng)價(jià)工具持續(xù)評(píng)價(jià)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)。

學(xué)生活動(dòng)呈現(xiàn)在真實(shí)問題情境中開展學(xué)習(xí)活動(dòng);圍繞完成學(xué)習(xí)任務(wù)開展系列活動(dòng)，與教學(xué)環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)，學(xué)生在“分析任務(wù)一設(shè)計(jì)方案一解決問題一分享交流”中學(xué)習(xí)，并有實(shí)際收獲。

師：我們都知道，在三角形中“大邊對(duì)大角”。也就是說(shuō)，在三角形的內(nèi)角中，邊越長(zhǎng)，它所對(duì)的角也就越大。那么，三角形內(nèi)角與其對(duì)邊的這種關(guān)系是否存在一種等量關(guān)系呢？如果存在，能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系表示出來(lái)呢？同學(xué)們?cè)嚱Y(jié)合已學(xué)知識(shí)探究這個(gè)問題。

學(xué)生展開交流，三角形內(nèi)角與其對(duì)邊的這種關(guān)系會(huì)是怎樣的等量關(guān)系。

[設(shè)計(jì)意圖]從以往的“大邊對(duì)大角”的定性概念出發(fā)，向?qū)W生提出問題，引發(fā)學(xué)生對(duì)邊角關(guān)系從定性到定量的思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生也有可能沒辦法說(shuō)出準(zhǔn)確的定量關(guān)系，但是會(huì)在學(xué)生的思維中播下一顆種子，讓學(xué)生帶著問題有目的地進(jìn)行后續(xù)的學(xué)習(xí)。

師：研究問題常常從特殊情況入手，你們也可以試著從特殊三角形入手。

生1：在正三角形中，三邊等長(zhǎng)，三個(gè)角等值，其他三角形中沒有這樣的邊角關(guān)系。

[設(shè)計(jì)意圖]啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用特殊到一般的思想，嘗試從特殊三角形入手。雖然能看出一些微妙的關(guān)系，但是仍然不能完全解決問題，學(xué)生可能會(huì)自發(fā)地對(duì)三角形的邊角關(guān)系提出疑問，從而進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

師：同學(xué)們想一想，在一個(gè)特殊的直角三角形中，邊和角會(huì)有怎樣的關(guān)系？例如，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，設(shè)邊長(zhǎng)分別為AB=2，BC=1，AC=3。此時(shí)，邊與其對(duì)角有沒有等量關(guān)系？若有，其等量關(guān)系是什么？

生2：∠B的大小是∠4的兩倍，邊AB也是邊BC的兩倍，但是∠B和∠C卻不是這樣的關(guān)系，因此肯定不是角與邊直接的倍數(shù)關(guān)系，那么又是什么樣的等量關(guān)系呢？

[設(shè)計(jì)意圖]對(duì)于一個(gè)給定數(shù)據(jù)的三角形進(jìn)行分析之后，發(fā)現(xiàn)邊和角并沒有統(tǒng)一的直接倍數(shù)關(guān)系，教師進(jìn)一步設(shè)疑，為引出三角函數(shù)做鋪墊。

問題3：某國(guó)巡邏艇A正在領(lǐng)海內(nèi)執(zhí)行巡邏任務(wù)，發(fā)現(xiàn)其正東處有一不明國(guó)籍的艦船B在本國(guó)領(lǐng)海內(nèi)正以30海里/時(shí)的速度朝正北方向航行，決定向其發(fā)射預(yù)警魚雷。已知魚雷的速度為60海里/時(shí)，問怎樣確定發(fā)射角度可擊中敵艦？如果其他條件不變，劃線部分改為該艦船朝北偏西40°方向航行，此時(shí)，我方又應(yīng)該如何確定發(fā)射角度可擊中敵艦？

三、設(shè)計(jì)思想解析

1.突出單元設(shè)計(jì)思想，任務(wù)化學(xué)習(xí)活動(dòng)

教學(xué)設(shè)計(jì)突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》要求突出單元和課時(shí)學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生發(fā)展的價(jià)值，設(shè)計(jì)情境化、任務(wù)化的學(xué)習(xí)活動(dòng)，在教師的引導(dǎo)、指導(dǎo)和服務(wù)下，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的體驗(yàn)性、實(shí)踐性和整體性。

正弦定理是對(duì)任意三角形邊角關(guān)系進(jìn)行量化分析的結(jié)果，從直角三角形的邊角關(guān)系推導(dǎo)出正弦定理的一般形式。

本節(jié)課教師精心設(shè)計(jì)了符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的探究過(guò)程，從特殊三角形到給定數(shù)據(jù)的三角形，再到任意的三角形，從已知到未知逐漸深入。對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析對(duì)比和在對(duì)正弦定理的證明環(huán)節(jié)，教師通過(guò)提示和提問，啟發(fā)學(xué)生自發(fā)思考應(yīng)該采取的證明方法，使學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)得到發(fā)展。

在知識(shí)結(jié)構(gòu)建構(gòu)初期，從特殊到一般研究了一些特殊三角形的邊角關(guān)系。在這個(gè)過(guò)程中，教師讓學(xué)生親自動(dòng)手計(jì)算，通過(guò)自己的實(shí)際操作得到結(jié)果，既培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，又能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的邏輯美。

在對(duì)銳角三角形、鈍角三角形，以及任意三角形是否符合正弦定理的探究過(guò)程中，教師利用GeoGebra動(dòng)態(tài)繪圖軟件，分別繪制了能夠精確反映三角形的邊、角，以及角的正弦關(guān)系的軟件。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)輔助課堂教學(xué)，實(shí)現(xiàn)了現(xiàn)代信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂的深度融合，對(duì)于學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有積極的促進(jìn)作用。

通過(guò)不斷啟發(fā)學(xué)生回顧曾經(jīng)學(xué)過(guò)的相關(guān)內(nèi)容和掌握的解決問題方法，啟發(fā)學(xué)生自發(fā)思考找到能夠解決問題的正確方法，培養(yǎng)學(xué)生在面對(duì)困難時(shí)，充分分析已有的知識(shí)和手段，推理出對(duì)未知事物的有效探索方法的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

2.運(yùn)用GeoGebra動(dòng)態(tài)繪圖軟件設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)教學(xué)軟件多種多樣，如適合高中數(shù)學(xué)教學(xué)的軟件有GeoGebra動(dòng)態(tài)繪圖軟件、幾何畫板軟件、Z+Z超級(jí)畫板和Hawgent等。本節(jié)課設(shè)計(jì)中教師使用的是GeoGebra動(dòng)態(tài)繪圖軟件，其優(yōu)于幾何畫板軟件的性能，可以更好地服務(wù)于本節(jié)課的教學(xué)。GeoGebra動(dòng)態(tài)繪圖軟件能夠?qū)崟r(shí)對(duì)三角形的角和邊進(jìn)行測(cè)量，結(jié)合清晰的設(shè)計(jì)形式，非常有利于學(xué)生進(jìn)行觀察、對(duì)比，從而得出結(jié)論。這款數(shù)學(xué)教學(xué)軟件是由美國(guó)佛羅里達(dá)州亞特蘭大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter于2001年設(shè)計(jì)開發(fā)的免費(fèi)開源的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)軟件。

3.教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)施和學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)保持一致性

本節(jié)課在對(duì)單元教學(xué)解讀的基礎(chǔ)上，通過(guò)課堂教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生參與課堂活動(dòng)，完成對(duì)正弦定理發(fā)現(xiàn)、求證的過(guò)程。

作業(yè)與拓展學(xué)習(xí)中的問題具有層次性，逐漸深入，有利于檢測(cè)學(xué)習(xí)者當(dāng)前的學(xué)習(xí)水平。特別是問題3是應(yīng)用題，學(xué)生需要通過(guò)閱讀，捕捉解決問題的關(guān)鍵信息，經(jīng)過(guò)“邏輯推理和直觀想象”正確畫圖，通過(guò)數(shù)學(xué)抽象，完成數(shù)學(xué)建模，通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算解決問題，體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的目的。

基金項(xiàng)目：國(guó)家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃資助項(xiàng)目——中學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（201810065026）。