求不定積分的常用方法及應(yīng)用

白燕峰

【摘 要】在高等數(shù)學(xué)中微積分是最重要的基礎(chǔ)課程之一，不定積分是微分的逆運(yùn)算，是定積分計(jì)算的基礎(chǔ)，函數(shù)積分的計(jì)算和應(yīng)用對(duì)學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)有重要的作用。在實(shí)際生活中有好多問(wèn)題可用定積分來(lái)解決。如求不規(guī)則圖形的面積、變力做功、引力計(jì)算等。與微分相比積分形式更加復(fù)雜。本文就不定積分常用的方法及其在生活中的應(yīng)用略談一二，以供大家共同探討。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);不定積分;函數(shù);原函數(shù)

【中圖分類號(hào)】G712 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2019）28-0018-02

積分是數(shù)學(xué)應(yīng)用在生活中的重要工具，通過(guò)積分可以初步解決生活中的問(wèn)題。如可以計(jì)算不規(guī)則物體的面積與體積，計(jì)算作用在物體表面上的壓力，解決生產(chǎn)生活中的供求關(guān)系等。與高中所學(xué)函數(shù)相比，有了實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值。在應(yīng)用中，由于較之微分，積分形式更加復(fù)雜，很多初等函數(shù)沒(méi)有初等原函數(shù)，如，等，無(wú)法轉(zhuǎn)化為我們熟悉的初等函數(shù)，求原函數(shù)更加困難，很多學(xué)生對(duì)復(fù)雜積分掌握不足。本文對(duì)求不定積分的常用方法進(jìn)行系統(tǒng)的介紹。并且通過(guò)例題講述積分在實(shí)際生活中的

應(yīng)用。

1? ?不定積分的定義

設(shè)函數(shù)定義在某區(qū)間I上，若存在可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)該區(qū)間上任意一點(diǎn)都有=成立，則稱是在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，稱是在區(qū)間I上的不定積分，其中C為任意常數(shù)。

2? ?換元積分法

換元積分法的中心思想是通過(guò)引入中間變量來(lái)化簡(jiǎn)原式，將復(fù)雜的不定積分式變得簡(jiǎn)單，得出原函數(shù)后再將中間變量用原變量帶入。

在求解過(guò)程中，換元法看似把與作為無(wú)關(guān)項(xiàng)對(duì)待，但這樣是成立的。在對(duì)積分中，是外部函數(shù)而是內(nèi)部函數(shù)，設(shè)F是的原函數(shù)，則，所以，在方程兩端記，則：

由于已知，

所以可得兩個(gè)積分相等：

1.1? 三角函數(shù)換元

1.2? 轉(zhuǎn)化為可被三角函數(shù)換元形式

當(dāng)被積函數(shù)形如時(shí)，可以將原式化簡(jiǎn)為轉(zhuǎn)變?yōu)榈谝环N類型。

1.3? 處理根式

當(dāng)被積函數(shù)形如等形式時(shí)，一般令此根式為一未知數(shù)，即。

3? 分部積分法

這個(gè)公式用于被積函數(shù)可以看成一個(gè)乘積并且化簡(jiǎn)后上方右面公式比左面更簡(jiǎn)潔的情況。

關(guān)于如何選擇和的注意點(diǎn)：

1.在選取時(shí)，需要保證能夠求出

2.最好比更簡(jiǎn)單

3.最好比更簡(jiǎn)單

4? ?應(yīng)用不定積分表

少數(shù)函數(shù)有初等原函數(shù)，有人已經(jīng)將其列成一個(gè)積分表，熟練應(yīng)用積分表，并靈活將所遇到的題目轉(zhuǎn)化成積分表中的公式，將大大簡(jiǎn)化我們的積分難度。通過(guò)上述積分方法整理，需要熟悉掌握基本積分方法，面對(duì)具體題目時(shí)靈活運(yùn)用，將復(fù)雜的題目歸于這些基本方法。

5? ?積分在生活中的應(yīng)用

例4：據(jù)說(shuō)古埃及大金字塔是歷時(shí)20年建成的，金字塔塔基的形狀是一個(gè)230 m×230 m的正方形，塔高125 m.若建造金字塔所用石塊的密度為3210 kg/m那么求出建成這座金字塔所作的總功，再估算建成這座金字塔需要多少工匠。

解：這座金字塔的高度為125 m，底面則為230 m× 230 m的正方形.由相似三角形的性質(zhì)，我們可以求得在高度h處的正方形邊長(zhǎng)為230（125-h） m。在高度h處薄層的體積為s2△hm3因此其質(zhì)量為3210s2△h，重量為3210gs2△hN。要建成這一層，就要把這重3210gs2△hN的物體向上抬高h(yuǎn)m，于是做功為（3210gs2△hN）（hm）=3210 gs2h△hJ，那么建成整座金字塔各層所作的總功

當(dāng)每一層的厚度△h都趨于0時(shí)，我們便得到一個(gè)定積分，又因?yàn)閔從0變到125，所以，

現(xiàn)在已經(jīng)計(jì)算出了建造這座金字塔所做的總功;下面需要估計(jì)所需工匠的人數(shù)，我們假設(shè)每個(gè)工匠每天工作10小時(shí)，每年工作300天，共干20年，又假設(shè)一個(gè)普通工匠每小時(shí)可以把10塊25kg一塊的石塊抬高1m，于是他每小時(shí)可做功（250）（9.8）1=2450J，那么每一工匠在20年內(nèi)所做功的總數(shù)為（10）（300）（20）（24550）=1.47×108。所以，所需工匠人數(shù)大約為（2.17×1012）/（1.47×108）≈5000人。

6? ?結(jié)語(yǔ)

不定積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)，也是解決之后二重積分三重積分的基礎(chǔ)，更是解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的橋梁，本文只是對(duì)不定積分的積分方法進(jìn)行了總結(jié)，要想熟練地掌握積分，還需要讀者進(jìn)行大量的訓(xùn)練，將本文的方法進(jìn)行靈活地運(yùn)用。

【參考文獻(xiàn)】

[1]D.休斯.哈雷特，A.M.克萊遜.微積分[M].北京：高等教育出版社，1997.