蘇錚 陳雅琴 楊雅潔

摘要：本文基于牛頓第二定律，對(duì)排球、鼓和人進(jìn)行受力分析，進(jìn)而分析其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，最終通過(guò)數(shù)學(xué)建模，得出團(tuán)隊(duì)最佳協(xié)作策略，解決了如何提高同心鼓游戲效率的問(wèn)題。通過(guò)受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律，在理想狀態(tài)下，建立受力分析模型。在受力分析模型下，將第一次排球與鼓面碰撞作為示例，分析其運(yùn)動(dòng)狀況，將運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為四個(gè)，得到四個(gè)運(yùn)動(dòng)模型，最終得到了在理想狀態(tài)下，團(tuán)隊(duì)的最佳協(xié)作策略，給出在該策略下的顛球高度。最后在靈敏度測(cè)試和優(yōu)化階段理想狀態(tài)下，持續(xù)觀察每一次排球與同心鼓碰撞后排球的顛球高度，將同心鼓的顛球過(guò)程抽象化，作其抽象化的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，更加直觀的觀測(cè)排球的最佳顛球高度。

關(guān)鍵詞：碰撞，動(dòng)量守恒，回歸分析模型

1 引言

本文創(chuàng)新之處在于找出自變量與最佳高度之間的關(guān)系，利用物理學(xué)原理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的物理過(guò)程抽象化，運(yùn)用猜想與假設(shè)法以及整體和隔離法。最終得到含有相關(guān)自變量和因變量之間的非線性回歸方程，擬建立了回歸分析模型

1 問(wèn)題重述與分析

同心鼓是一項(xiàng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力拓展項(xiàng)目，多根繩均勻固定在鼓身上，每根繩長(zhǎng)度相同。每人牽拉一根繩使鼓面保持水平。球從距離鼓面中心上方40cm處豎直落下，由隊(duì)員合力將球顛起，并在鼓面上跳動(dòng)。在顛球過(guò)程中，隊(duì)員只可抓住繩子末端，不能接觸其它部位。參數(shù)由題目給出，球被顛起的高度應(yīng)該距離鼓面40cm以上，若低于40cm，則項(xiàng)目停止，連續(xù)顛球的次數(shù)盡可能的多。

問(wèn)題一：理想狀態(tài)下，每個(gè)人都精確控制用力方向、時(shí)機(jī)、力度，討論團(tuán)隊(duì)的最佳協(xié)作策略，并給出顛球高度。通過(guò)對(duì)排球、鼓和人進(jìn)行受力分析，將物理學(xué)模型轉(zhuǎn)化為所求的數(shù)學(xué)模型

問(wèn)題二：考慮現(xiàn)實(shí)情形，鼓面可能會(huì)傾斜，要求建立模型描述隊(duì)員的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度與某一特定時(shí)刻的鼓面傾斜角的關(guān)系，并填寫(xiě)表1，參數(shù)由題給出。對(duì)所求最佳策略下的顛球高度建立的模型進(jìn)行優(yōu)化，將未考慮的因素作為自變量，改變顛球高度及次數(shù)。考慮隊(duì)員的實(shí)際情況，可能會(huì)導(dǎo)致鼓面傾斜，通過(guò)對(duì)同心鼓受力分析，研究其物理狀態(tài)，找到與模型一中的聯(lián)系，建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型。

問(wèn)題三：考慮現(xiàn)實(shí)情況，根據(jù)模型二，試判斷問(wèn)題一中給出的策略是否需要調(diào)整？如果需要，如何調(diào)整？通過(guò)對(duì)比模型一和模型二，將未考慮的現(xiàn)實(shí)因素進(jìn)行模型調(diào)優(yōu)，使建立的數(shù)學(xué)模型更貼近現(xiàn)實(shí)情況下的要求，提高數(shù)學(xué)模型求解的準(zhǔn)確性。

問(wèn)題四：當(dāng)鼓面發(fā)生傾斜時(shí)，球跳動(dòng)的方向不再豎直，需要隊(duì)員調(diào)整拉繩的策略。假設(shè)條件由題給出，避免排球被彈出，將排球調(diào)整為豎直狀態(tài)彈跳，請(qǐng)給出在可精確控制條件下所有隊(duì)員的發(fā)力時(shí)機(jī)及力度，結(jié)合現(xiàn)實(shí)情況，分析實(shí)施效果如何。在優(yōu)化模型基礎(chǔ)上，分析排球在第一次碰撞后的運(yùn)動(dòng)軌跡及在第二次碰撞前排球和同心鼓的受力情況，再由第二次碰撞時(shí)排球的速度方向，求出排球受同心鼓的合力情況和鼓面的傾斜角度，根據(jù)優(yōu)化模型得出隊(duì)員在第二次碰撞的最佳發(fā)力時(shí)機(jī)及力度。

2模型假設(shè)

1）問(wèn)題一中假設(shè)理想情況就是隊(duì)員都可以控制用力方向、時(shí)機(jī)、力度且均相同;所有矢量向下為正方向;隊(duì)員數(shù)為8人，隊(duì)員間最小距離為60且不計(jì)繩長(zhǎng)的影響;排球與同心鼓發(fā)生碰撞后，在理想狀態(tài)下，不改變系統(tǒng)動(dòng)能

2）問(wèn)題二中假設(shè)所求的0. 1s時(shí)的傾斜角度，0.Is指的是，運(yùn)動(dòng)了0. 1s，且規(guī)定發(fā)力時(shí)機(jī)中的-0.1，指的隊(duì)員提前0.1秒施力;假設(shè)8個(gè)隊(duì)員是等間 距站位;假設(shè)每個(gè)隊(duì)員之間的角度恒為π/4，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程是不會(huì)改變隊(duì)員之間的角度

3模型的建立與求解

3.1問(wèn)題一的模型建立與求解

3.1.1模型建立與求解

①排球未接觸鼓時(shí)，做自由落體運(yùn)動(dòng)，據(jù)此建立數(shù)學(xué)模型。G為排球受到的重力，m1為排球的質(zhì)量，a1為排球的加速度，方向?yàn)樨Q直向下，受力分析如下：

根據(jù)牛頓第二定律得知：G=m1a1 （11），重力與質(zhì)量的關(guān)系為：G =mg （1.2），由（1.1）和（1 2）得出在排球做自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)：ai=g（1.3），由勻加速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律得到排球的速度、加速度和時(shí)間之間的微分關(guān)系如下：

②同心鼓上升但未與排球碰撞的過(guò)程中，做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。理想狀態(tài)下，受力情況如圖2、3所示：

圖4同心鼓在豎直向上的合力FN作用下向上運(yùn)動(dòng)由勻減速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，得同心鼓的速度、加速度和時(shí)間之間的微分關(guān)系如下：

③在排球和同心鼓在發(fā)生碰撞的過(guò)程中，根據(jù)物理學(xué)原理建立碰撞過(guò)程。由于排球與同心鼓碰撞的過(guò)程屬于非完全彈性碰撞，假設(shè)物體發(fā)生彈性形變后的恢復(fù)系數(shù)為e。由動(dòng)量守恒定律，得到如下公式：排球與同心鼓發(fā)生非完全彈性碰撞的過(guò)程中，從能量的角度來(lái)看，排球與同心鼓的動(dòng)能變?yōu)樾巫儎?shì)能，也有一部分能量轉(zhuǎn)化為克服摩擦力所產(chǎn)生的熱能，因此碰撞過(guò)程中，兩物體的動(dòng)能不守恒，且所組成的系統(tǒng)的動(dòng)能發(fā)生損耗，假設(shè)系統(tǒng)動(dòng)能的損耗為△E1，則有：

3.1.2 模型靈敏度分析與檢驗(yàn)

在理想狀態(tài)下，排球與同心鼓的碰撞是在同一豎直方向上，如圖5所示：

3.2 問(wèn)題二的模型建立與求解

3.2.1 問(wèn)題二的模型建立與求解

在問(wèn)題一的②過(guò)程中，排球正在做自由落體運(yùn)動(dòng)，需要求，在0. 1s時(shí)同心鼓鼓面的傾斜角度。需要判斷在0. 1s時(shí)，排球與鼓面是否碰撞，此時(shí)va=0，a=g，t=0.1，將這些條件帶入（1.31）、（1.32）得到：x = 4.9cm<40cm，由此得知，此時(shí)無(wú)碰撞。

在現(xiàn)實(shí)情況下，同心鼓鼓面初始狀態(tài)較繩子水平時(shí)下降了11cm，此時(shí)假設(shè)繩子與同心鼓鼓面的夾角為a，當(dāng)隊(duì)員們用力拉繩后，打破了同心鼓的平衡狀態(tài)，使得同心鼓運(yùn)動(dòng)。繩與同心鼓鼓面有一個(gè)夾角為θ。因現(xiàn)實(shí)因素，可能存在同心鼓受力不均不能水平上升，使鼓面出現(xiàn)傾斜，假設(shè)同心鼓傾斜的角度為s。

由受力分析可得，在豎直方向上隊(duì)員們對(duì)同心鼓的合力與每一名隊(duì)員的作用力呈正相關(guān)，使得同心鼓發(fā)生傾斜的作用力為恒力，欲使同心鼓向上做加速運(yùn)動(dòng)，夾角θ需大于夾角a，通過(guò)分析繩對(duì)鼓的作用力，可得出：

θ=α+β

（21）

在排球與同心鼓碰撞過(guò)程中，排球與鼓的各部分運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與問(wèn)題一中的③、④過(guò)程的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同。區(qū)別為同心鼓做向上的加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度發(fā)生變化，設(shè)該加速度為ax，則有：

3.3 問(wèn)題三的問(wèn)題求解

3.3.1 問(wèn)題的求解及改進(jìn)

答：在問(wèn)題一中，是理想狀態(tài)下，需要改變第一問(wèn)中對(duì)同心鼓的受力分析方程， 在問(wèn)題二中考慮現(xiàn)實(shí)狀況的影響因素，則將該階段的受力分析調(diào)整如下：

3.4 問(wèn)題四的模型建立與求解

3.4.1 問(wèn)題四的模型建立與求解

4. 模型評(píng)價(jià)、改進(jìn)與推廣

4.1 模型評(píng)價(jià)：

優(yōu)點(diǎn)：模型根據(jù)物理學(xué)原理推導(dǎo)，有充分理論依據(jù)，可靠性較高。使用回歸分析預(yù)測(cè)模型建立多個(gè)自變量與因變量間非線性函數(shù)關(guān)系。將不易觀察的運(yùn)動(dòng)過(guò)程抽象轉(zhuǎn)化成直觀明了的圖像。缺點(diǎn)：采用物理模型，雖考慮現(xiàn)實(shí)因素，但不全面，在求解時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)化操作，使得結(jié)果與真實(shí)值會(huì)存在一定的偏差。

4.2 模型改進(jìn)：

（1）可以采用多組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，進(jìn)一步優(yōu)化模型的穩(wěn)定性，減輕對(duì)自變量的依賴(lài)性，讓模型更加牢固

（2）應(yīng)將隊(duì)員的性別比例，以及隊(duì)員在水平面上可以運(yùn)動(dòng)的距離范圍考慮在模型中，提高模型所得數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。

4.3 模型推廣：

除使用回歸線性預(yù)測(cè)模型以及物理運(yùn)動(dòng)模型評(píng)價(jià)外，還可以嘗試使用模糊算法評(píng)價(jià)，在對(duì)系統(tǒng)模型認(rèn)識(shí)不夠深刻的情況下可以方便我們理解系統(tǒng)的模型，進(jìn)行分析。

（指導(dǎo)老師： 劉曉光）

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