摘? ?要：選擇和使用小學數(shù)學開放題，需要先研讀教材，找尋知識的起點，以原型題為出發(fā)點，融入內(nèi)容關涉的開放題，對課堂教學中呈現(xiàn)的知識點進行引申和拓展，有意識地拓展學生思維，幫助學生構建靈活多變的數(shù)學思維模式，提升數(shù)學課堂的深度和廣度。

關鍵詞：開放題;運算規(guī)律;數(shù)學課堂教學;兩位數(shù)乘法;

作者簡介：徐宏，高級教師，湖北省應城市實驗小學教育集團碾屋校區(qū)校長、黨支部書記，湖北省小學數(shù)學優(yōu)秀教師，孝感市骨干教師，孝感市首屆教育英才，應城市拔尖人才，應城市名師。（湖北? 應城? 432400）

中圖分類號：G623.5? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? 文章編號：1671-0568（2019）19-0021-03

教材是學生學習數(shù)學知識的直接來源，教師需要從教材上找到知識的起點，從原型題出發(fā)，選擇合適的數(shù)學開放題，滿足不同層次學生的學習需求，讓學生得到不同程度的成長。教師實施常規(guī)教學時，如能合理地選擇、使用開放題，將有助于拓展學生的思維，幫助學生構建靈活多變的數(shù)學思維模式，提升數(shù)學思維的深度和廣度。

一、以教材內(nèi)容為依托，給思維提供一個起點

學習數(shù)學概念、數(shù)學公式，教師不僅要關注學生對基礎知識的理解和掌握，更要拓展學生的思維空間，關注學生思維的深度和廣度。將基礎知識的學習與開放題的使用結合起來，既能幫助學生學習理解基礎的數(shù)學知識結構體系，又能借助開放題的使用幫助學生深入理解數(shù)學概念、公式內(nèi)涵，達到事半功倍的效果。

乘法及乘法運算中隱含的規(guī)律不易被學生發(fā)現(xiàn)，也不易被學生理解?！叭私贪妗苯滩脑诰幣艜r有意識地給學生提供探究乘法運算規(guī)律的空間。如在三年級下冊第四單元結束后，教材59頁練習十三中有這樣一道練習題（如圖1）。要求學生在計算的基礎上觀察算式中的積與兩個因數(shù)，在比較中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

教師要求學生說出自己發(fā)現(xiàn)了什么，主要是希望學生通過觀察和比較，結合兩位數(shù)乘兩位數(shù)的估算和筆算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即觀察每一道乘法算式的兩個因數(shù)和積的變化規(guī)律，探究其中蘊含的數(shù)與積之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步發(fā)現(xiàn)這一類乘法算式中積的規(guī)律，獲得借助估算和筆算來發(fā)現(xiàn)探究數(shù)學規(guī)律的初步體驗。

一般來說，探索規(guī)律總是在已有知識經(jīng)驗的基礎上來進行的，三年級學生已經(jīng)掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法，要探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)的規(guī)律。教師一般從估算入手，讓學生體會到估算不僅是一種數(shù)學計算方式，還是一種有效解決問題的常用手段。例如：

30×30≈;31×29≈;32×28≈;33×27≈;

50×50≈;51×49≈;52×48≈;53×47≈;

學生估算出結果后，展開交流。

生：這里第一排的估算結果都是900，第二排的估算結果都是2500。

師：從估算過程中發(fā)現(xiàn)了什么？

生：這里雖然第一組算式中的數(shù)都不一樣，但是結果都相同。第二組也是這樣的。

師：為什么這里的估值都是一樣的呢？

生：我們發(fā)現(xiàn)，這里第一行兩個因數(shù)估值都是30，所以估算的結果都是900。第二行兩個因數(shù)的估值都是50，所以估算的值都是2500。

很明顯，通過估算的方法只是確定了兩組算式的積的取值范圍，要探索積的變化規(guī)律還需要有進一步的探究。接下來，筆者讓學生借助筆算得出每道算式的準確結果：

30×30=900;31×29=899;32×28=896;33×27=891;

50×50=2500;51×49=2499;52×48=2496;53×47=2491;

筆者讓學生中觀察比較第一組算式，看看有什么相同點和不同點。

生：相同點是這一組數(shù)中兩個因數(shù)的和都是60。30+30=60;31+29=60;32+28=60;33+27=60。

生：不同點是每個算式的積都不一樣，而且是一個比一個小，也就是900>899>896>891。

師：兩個因數(shù)的和都是60，為什么積會減少呢？這中間有什么特殊的規(guī)律嗎？

生：好像是第一行的算式中的第一個因數(shù)每次增加1，第二個因數(shù)每次減少了1，所以積也會發(fā)生變化。

師：非常好，雖然第一個因數(shù)每次增加1，第二個因數(shù)每次減少了1，但是兩個因數(shù)的和還是60啊，積為什么會逐漸減少呢？

生：……

很顯然，學生根據(jù)已有知識經(jīng)驗，能夠發(fā)現(xiàn)乘法運算中的直觀規(guī)律，如因數(shù)的變化能夠引起積的變化。但是涉及兩個因數(shù)的和不變，比如：一個因數(shù)減少，另一個因數(shù)增加，積為什么會有變化？這需要有更深的知識結構和生活體驗，但囿于學生認知能力的局限性，進一步的探究活動常常難以為繼。

二、以開放題為抓手，提升學生思維的深度

《小學數(shù)學開放題舉一反三》中有“變幻的因數(shù)”這一章節(jié)，能夠給學生提供一個全新的角度，恰到好處地詮釋了這個問題。筆者暫時放棄對教材問題中結論的揭示，轉而出示“變幻的因數(shù)”中的例題一：用2、3、4、5這四個數(shù)字組成一道兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式（數(shù)字不可重復應用），請你寫出三道算式，比較它們乘積的大小;比一比，看看你能寫出幾道符合條件要求的算式，這些算式中誰的乘積最大，誰的乘積最小？比較以上算式的因數(shù)和積，看看你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？這三個層次的活動，能豐富學生的認知過程，強化對問題的分析和理解。首先是估算，讓學生先用估算的方法寫出的每個算式的積：32×45≈1500;24×35≈600;43×52≈2000;53×24≈1000，然后讓學生對比觀察。

師：這里哪兩個數(shù)相乘的積最大，哪兩個數(shù)相乘的積最小？

生：這里的43×52≈2000最大，24×35≈600最小。

師：如果我們要使得兩個數(shù)相乘的積最大，你會怎樣選擇？

生：因數(shù)十位上的數(shù)必須選擇最大的那兩個數(shù)。

師：如果我們要使得兩個數(shù)相乘的積最小，你會怎樣選擇？

生：因數(shù)十位上的數(shù)必須選擇最小的那兩個數(shù)。

師：那我們來選一下，兩個數(shù)相乘的積最大，你會選哪一個？

生1：43×52。

生2：我認為是42×53。

師：這兩個算式的積是一樣的嗎？究竟誰大一些？

依據(jù)以往的知識經(jīng)驗，學生知道因數(shù)最高位的大小影響積的大小這一運算基本規(guī)律，但要找出兩組數(shù)中積最大的那一組數(shù)，只能通過筆算比較。

師：為什么43×52的積大于42×53的積？請同學們對照筆算乘法算式，互相交流，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)第一個算式的十位上的5乘43得215個十，也就是2150，第二個算式的十位上的5乘42得210個十，也就是2100，第一個算式的積多一些。

師：還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)第一個算式43個位上的3乘52十位上的5得150，個位上的2乘43十位上的4得80;第二個算式42個位上的2乘53十位上的5得100，53個位上的3乘42十位上的4得120，兩者之間相差了10。所以，43×52的積大于42×53的積。

這樣學生自然而然地發(fā)現(xiàn)：兩個數(shù)相乘，十位上的大數(shù)與個位上較大的數(shù)相乘，得到的積要大一些。

有了這樣的基礎，兩個數(shù)相乘積最小的那一組就比較順利了，學生發(fā)現(xiàn)：要得到最小的積，因數(shù)十位上的數(shù)必須選擇最小的那兩個數(shù)。根據(jù)這個條件可以選擇：34×25，35×24。學生獨立完成筆算過程：34×25=850，35×24=840。交流總結得出結論：這里34個位上的4乘25十位上的2得80，25個位上的5乘34十位上的3得150;35個位上的5乘24十位上的2得100，24個位上的4乘35十位上的3得120，兩者之間相差了10。因此，34×25>35×24。

將開放題適時融入常態(tài)課堂，不僅能增加學生計算練習的密度，也讓估算和筆算過程成為展示數(shù)學現(xiàn)象、探究運算規(guī)律的有效手段，既增強了探究活動的真實性，又提高了學生參加探究活動的積極性，大大提升了探究的價值。學生在計算中不僅掌握了基礎算法，獲得探究活動的真實體驗，還完成了對數(shù)學規(guī)律的歸納和總結，加深了對數(shù)的運算規(guī)律的深層次的認識與理解。這樣的開放性研究對學生數(shù)學學習方式的拓展和多元思維的發(fā)展大有裨益。

三、借助開放題，拓展學生思維的空間

有了上述經(jīng)歷，可以繼續(xù)研討教材59頁練習十三中的練習題，第一組算式：30×30=900，31×29=899，32×28=896，33×27=891。我們先來比較各個算式中十位上的數(shù)與十位上的數(shù)相乘的積，四道算式中的十位數(shù)相乘的積分別是900、600、600、600。除了30×30外，再來看看每個算式中個位上較大數(shù)乘十位上較大數(shù)的積，算出的結果依次是：30×9=270，30×8=240，30×7=210。兩項積加起來分別是900、870、840、810。很明顯，積在逐步減少。對比兩項乘積可以發(fā)現(xiàn)，第一道算式30乘30，十位上的兩個數(shù)最大，因此乘積的百位數(shù)最大。后三道題由于個位上的數(shù)與十位上的數(shù)相乘時，只有用最大的數(shù)乘十位上的3得到的積才是最大的數(shù)，最后加起來的積也比較大。第一組的規(guī)律找到了，第二組算式的規(guī)律也就迎刃而解了。

接著，我們繼續(xù)借力開放題進行思維拓展：把2、4、6、8四個數(shù)分別填入方框中，寫成乘法算式，結果接近1000，你知道這樣的算式有哪些？（數(shù)字不允許重復使用）

□□□×□=

讓學生自由填寫算式，用自己認為可行的方法計算對比，找到自己認為合適的答案。然后集中交流。

師：你們找到哪些算式？

生1：我們組找到這些算式：248×6= ;284×6= ;286×4= ;268×4= ;486×2= ;428×6= ;284×6= ;468×2= 。

師：這些算式中哪些算式的積接近1000？

生2：接近1000的算式有：248×6≈1000;68×4≈1000;486×2≈1000;468×2≈1000;

師：究竟哪些算式的結果最接近1000呢？可以采用什么辦法來解決問題？

生：筆算。

學生的筆算結果為：248×6=1488;2268×4=1072;486×2=972;468×2=936。

師：你們認為哪個算式的結果最接近1000呢？

生：486×2=972最接近1000。

師：為什么486×2最接近1000呢？

生：因為這里的486最接近500，500乘2得1000。

學生邊計算、邊分析、邊推理，將估算與精確計算有機地融入問題的解決過程中，不僅提升了學生對于估算以及筆算應用價值的認識，同時也有效地幫助學生建構解決計算問題的一般性策略：估算→初步排除，精確計算→精準定位，結果對比→解決問題。學生從開放題的問題解決過程中獲得了常規(guī)教學中未曾體嘗過的獨特體驗，完成了對數(shù)本身內(nèi)涵的初步認識，擁有了具有極高數(shù)學思維價值的活動經(jīng)驗。

總之，開放題的選擇和使用要結合教材內(nèi)容的編排來綜合考慮。尤其對于小學數(shù)學學科來說，數(shù)學活動應該是一項邏輯性很強的思維活動，教師的教學活動不僅能引導學生學習數(shù)學知識，還能給學生提供全方位的數(shù)學思維活動空間，引導和幫助學生多角度思考問題，提高全方位解決問題的能力，培養(yǎng)發(fā)散性思維，形成開放性與創(chuàng)新性思維。從這個角度來說，將開放題融入常態(tài)課堂教學，遴選具有生活氣息的開放題，能夠極大地提升學生的數(shù)學學習積極性，不斷開闊學生的數(shù)學視野，促使學生自主建構知識結構，提高學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。

參考文獻：

[1] 楊傳岡，等.小學數(shù)學開放題舉一反三[M].南京：南京大學出版社，2014.

[2] 楊傳岡.小學數(shù)學開放題教學行思[J].教育探索，2015，（11）：31-35.

責任編輯? ?秦俊嫄