【摘 要】深刻理解數(shù)學(xué)開放題的本質(zhì)，領(lǐng)會(huì)開放性數(shù)學(xué)教學(xué)的理念和方法，用開放的思想分析教材、設(shè)計(jì)教法，駕馭課堂，以數(shù)學(xué)開放題為載體真正有效地開展開放性數(shù)學(xué)教學(xué)。以生為本，充分體現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中的主體地位，從而培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維水平，提高其數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力，真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的意義所在。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);開放題;開放性教學(xué)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2015）22-0040-03

【作者簡(jiǎn)介】毛慶華，江蘇省江陰高級(jí)中學(xué)（江蘇江陰，214443）教師。

在我國(guó)的基礎(chǔ)教育中，數(shù)學(xué)是一門非常重要的科目，對(duì)學(xué)生素質(zhì)發(fā)展乃至整個(gè)社會(huì)發(fā)展意義重大。其中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)對(duì)學(xué)生的抽象思維能力與邏輯推理能力等方面的訓(xùn)練和培養(yǎng)起到非常重要的作用。然而，當(dāng)前我國(guó)的數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)現(xiàn)狀卻令人擔(dān)憂：教學(xué)樣式往往過(guò)于統(tǒng)一，基本上是學(xué)生先看例題，期待其在原有知識(shí)儲(chǔ)備的基礎(chǔ)上找出解決辦法，然后教師示范，得出結(jié)論，進(jìn)而由教師精選練習(xí)讓學(xué)生“實(shí)戰(zhàn)演練”乃至多遍鞏固。應(yīng)該說(shuō)，這種傳統(tǒng)的習(xí)題教學(xué)理念，即“記公式定理、套題型解法”，有一定的可取之處，因?yàn)槌Ｒ?guī)練習(xí)可以加強(qiáng)學(xué)生 “雙基”能力的提升，然而一旦遇到那種非常規(guī)的求異思維問(wèn)題時(shí)，學(xué)生往往會(huì)一籌莫展。特別是面對(duì)對(duì)未知領(lǐng)域的較深刻程度的探索問(wèn)題時(shí)，學(xué)生更是無(wú)從下手。長(zhǎng)此以往，學(xué)生的思維發(fā)展必然嚴(yán)重受滯，創(chuàng)造性活動(dòng)更無(wú)從談起。

例如，筆者曾經(jīng)讓學(xué)生解決這樣一道題目：

已知α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，則下列四個(gè)論斷：①m⊥n; ②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α。以其中三個(gè)論斷作為條件、余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：

從實(shí)際情況來(lái)看，學(xué)生還是能解決這個(gè)問(wèn)題的，但大部分人在解題時(shí)容易“避難就易”，深入思考的偏少，還有的學(xué)生對(duì)解題方向的把握和調(diào)節(jié)水平較低，以致最終呈現(xiàn)出來(lái)的可引起深層次研究的答案鳳毛麟角，令人遺憾。

由此可見，突破常規(guī)的，能夠培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維能力的數(shù)學(xué)解題教學(xué)在教學(xué)過(guò)程中必須加強(qiáng)，對(duì)教師的教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式的改革已經(jīng)勢(shì)在必行?；诖?，作為近些年日漸熱起來(lái)的數(shù)學(xué)開放題經(jīng)常被搬進(jìn)課堂，以數(shù)學(xué)開放題為載體的數(shù)學(xué)開放性教學(xué)也風(fēng)生水起，方興未艾。

一、了解數(shù)學(xué)開放題，準(zhǔn)確理解并把握開放性教學(xué)本質(zhì)

所謂數(shù)學(xué)開放題教學(xué)，是指以一個(gè)開放性的數(shù)學(xué)問(wèn)題作為教學(xué)內(nèi)容載體和背景，它可以是條件開放、策略開放或者結(jié)論開放，也可以是綜合開放。開放題所給條件和得出的結(jié)論之間并不存在固有的充分必要的聯(lián)系，答案也可能具有豐富性多樣性，提問(wèn)方式的設(shè)置上也更多地考慮讓學(xué)生進(jìn)行角度不同、層次各異的探索。

開放性的教學(xué)無(wú)疑會(huì)極大提升學(xué)生的發(fā)散思維。然而，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，數(shù)學(xué)開放題以什么形式開展和呈現(xiàn)，如何收放自如，如何讓學(xué)生學(xué)習(xí)效果和能力提升達(dá)到最大化，這是擺在廣大教師面前的一個(gè)課題。

當(dāng)然說(shuō)到數(shù)學(xué)開放題教學(xué)，很多人會(huì)與當(dāng)下流行的開放性教學(xué)聯(lián)系起來(lái)，那么二者到底有何聯(lián)系？在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中能否將其有機(jī)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行教學(xué)呢？

實(shí)際上我們認(rèn)為，起碼要具備以下幾個(gè)條件才能開展數(shù)學(xué)開放題的課堂教學(xué)。首先要有適合的、確切的數(shù)學(xué)開放題。其次，教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生充當(dāng)數(shù)學(xué)活動(dòng)的主體這一點(diǎn)是根本前提。學(xué)生自主探究能力的培養(yǎng)是開展開放題教學(xué)的最終歸宿，教師在教學(xué)活動(dòng)中特別要注重問(wèn)題的提出和解決方式，循序漸進(jìn)同時(shí)又要根據(jù)學(xué)生不同的層次而設(shè)置有區(qū)別的教學(xué)。更合適的情況是，教師是引導(dǎo)課堂師生有效互動(dòng)以及資源和過(guò)程生成的有力促進(jìn)者。

開放性的數(shù)學(xué)教學(xué)則強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)、學(xué)習(xí)過(guò)程、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)和學(xué)習(xí)反饋等方面的開放性。教師靈活運(yùn)用多樣的教學(xué)方式來(lái)引導(dǎo)學(xué)生積極思考，主動(dòng)參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中，讓學(xué)生用自己的學(xué)習(xí)方式去獲得數(shù)學(xué)概念、法則，了解定理，乃至最終實(shí)現(xiàn)再創(chuàng)造。日本學(xué)者橋本吉彥曾定義：所謂的開放性的數(shù)學(xué)教學(xué)，就是在學(xué)生和數(shù)學(xué)的互動(dòng)活動(dòng)中，促進(jìn)多種問(wèn)題解決方式的生成，就是讓學(xué)生能用他們很有信心的一種方式去深入觀察并細(xì)致解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)在問(wèn)題解決的過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也得到相應(yīng)的促進(jìn)，乃至最終還有創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)。

由此，我們可以看到，數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)和開放性的數(shù)學(xué)教學(xué)在很多地方都大同小異，比如，開放都是主旋律，教學(xué)過(guò)程中都特別重視以學(xué)生為主體，讓學(xué)生在自由和諧的學(xué)習(xí)氛圍中，共同探索，相互合作，從而不斷豐富數(shù)學(xué)思維方式，不斷提高問(wèn)題解決的能力。但是我們也要清楚地看到，前者更多的是強(qiáng)調(diào)以數(shù)學(xué)開放題作為載體來(lái)豐富教學(xué)活動(dòng)，后者更注重教學(xué)理念和教學(xué)方式。只有題目，而未賦之于開放性的教學(xué)理念，就不可能真正成就有效的數(shù)學(xué)開放題教學(xué)，數(shù)學(xué)開放題教學(xué)所能體現(xiàn)的教育價(jià)值和效果也就成了一句空談。反之，只有形式，缺乏教學(xué)內(nèi)質(zhì)，特別是沒(méi)有適切的數(shù)學(xué)開放題，教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)要求也會(huì)成為鏡花水月、空中樓閣。因此，深刻理解數(shù)學(xué)開放題的本質(zhì)，領(lǐng)會(huì)開放性數(shù)學(xué)教學(xué)的理念，并在課堂教學(xué)中將二者有機(jī)結(jié)合，才能真正有效地開展開放性數(shù)學(xué)教學(xué)。

二、立足數(shù)學(xué)開放題，真實(shí)有效地開展數(shù)學(xué)開放性教學(xué)

開放性數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力有卓有成效的作用，同時(shí)還能有效地轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，那么教師如何在實(shí)際教學(xué)中開展與開放題有關(guān)的教學(xué)呢？

1.正視學(xué)生差異、注重因材施教。

因?qū)嶋H情況所限，現(xiàn)行教學(xué)基本以大班課堂為主，學(xué)生之間一般也有較大的差異，教師必須正視學(xué)生差異，注重因材施教。開放題教學(xué)初始階段，一般以簡(jiǎn)單的封閉的問(wèn)題呈現(xiàn)在學(xué)生面前為宜，以便基礎(chǔ)稍差的學(xué)生也能積極參與其中，理解和接受。當(dāng)封閉問(wèn)題得到有效解決之后，教師可以將封閉問(wèn)題改編成開放問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題展開，逐步深入研究。這種策略下，既有中下層學(xué)生以愉快的心態(tài)參與學(xué)習(xí)，而數(shù)學(xué)能力較強(qiáng)的學(xué)生也會(huì)對(duì)此饒有興趣從而使不同層次的學(xué)生都能學(xué)有所獲。

2.凸顯教學(xué)主線，明晰探究主題。

開放題的教學(xué)過(guò)程中，問(wèn)題的呈現(xiàn)要脈絡(luò)清晰，探究的主題要明確簡(jiǎn)練，每一節(jié)課盡量只解決一個(gè)或兩個(gè)中心問(wèn)題，切忌鋪陳太大，過(guò)于雜亂，教師興趣所指，容易造成學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)雜亂、含混，也容易導(dǎo)致學(xué)生精神不濟(jì)，注意力分散。

3.切忌買櫝還珠，注重按名責(zé)實(shí)。

開放題教學(xué)中常常發(fā)現(xiàn)，由于教師容易受自身傳統(tǒng)教學(xué)的慣性影響，對(duì)開放題也用注入、灌輸?shù)姆绞絹?lái)教學(xué)，以至于最終其實(shí)是上成了一節(jié)封閉課?；诖?，以數(shù)學(xué)開放題為載體的開放性教學(xué)勢(shì)在必行。這種開放性教學(xué)不是對(duì)學(xué)生單一解題模式的訓(xùn)練，而是最終培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力并增進(jìn)其創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。事實(shí)上，模式訓(xùn)練僅僅促使個(gè)體被動(dòng)接受。而能力的培養(yǎng)則是促進(jìn)個(gè)體以主動(dòng)的態(tài)度進(jìn)行同化、順應(yīng)、頓悟，從而讓促進(jìn)學(xué)生的終身發(fā)展名副其實(shí)。

4.創(chuàng)設(shè)良好氛圍，促成自主學(xué)習(xí)。

在開放題的教學(xué)過(guò)程中，特別是對(duì)問(wèn)題的分析思考、求解論證的進(jìn)程中，學(xué)生應(yīng)始終處于積極、主動(dòng)的狀態(tài);教師是問(wèn)題解決的指導(dǎo)者，教師的作用應(yīng)該主要體現(xiàn)在提示、引導(dǎo)、評(píng)價(jià)和激勵(lì)上。

（1）首先數(shù)學(xué)課堂環(huán)境應(yīng)該輕松愉快。教師可以嘗試多種呈現(xiàn)題目的方式，如實(shí)物演示、動(dòng)畫展示，或直接讓學(xué)生通過(guò)操作圖形計(jì)算器、幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件去探究問(wèn)題。

（2）根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備，提出問(wèn)題，激發(fā)其探究問(wèn)題的欲望，真正使學(xué)生的主動(dòng)參與行之有效。

（3）課堂教學(xué)中教師要善于“留白”，拿出相對(duì)充裕的時(shí)間給學(xué)生，讓學(xué)生通過(guò)自由發(fā)言、討論，凸顯學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位。這種做法可以改變教師習(xí)慣性的根據(jù)預(yù)設(shè)來(lái)控制課堂進(jìn)程的格局，更多地是根據(jù)學(xué)生課堂的即時(shí)反應(yīng)來(lái)調(diào)控教學(xué)過(guò)程。

（4）注重小組合作學(xué)習(xí)，教師可以嘗試讓大班教學(xué)與小組合作、個(gè)別指導(dǎo)相結(jié)合。通過(guò)合理分組，讓每個(gè)小組成員都能主動(dòng)參與，并因人而異，讓不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生，解決不同水平的問(wèn)題。

5.正確定位角色，教師重在指導(dǎo)。

在開放題教學(xué)中，教師要善于吸收各種信息，并進(jìn)行有效整合和重組，時(shí)刻關(guān)注不同層次學(xué)生的反應(yīng)，教師還要經(jīng)常去收集學(xué)生的反應(yīng)，如現(xiàn)場(chǎng)采訪、問(wèn)卷調(diào)查等等，主要是了解學(xué)生對(duì)這種教學(xué)模式的反饋意見，從而有效調(diào)整實(shí)際的教學(xué)。

筆者就前面提出的問(wèn)題在探索課堂上開展開放性數(shù)學(xué)教學(xué)作出一些嘗試。

附：基于數(shù)學(xué)開放題的數(shù)學(xué)開放性教學(xué)案例：

一、教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)引入高考試題，加強(qiáng)探究，激發(fā)學(xué)生研究數(shù)學(xué)開放題的興趣和欲望。

2.在問(wèn)題解決、改進(jìn)拓展的過(guò)程中，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

二、設(shè)計(jì)意圖

本題作為高考題，同時(shí)也是一道數(shù)學(xué)開放題，但開放度比較低，探究的層次和深度遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，教學(xué)中嘗試將此開放題作一定的拓展處理，變更題目的部分或全部條件，然后去探究組成新命題的真?zhèn)?，從而激發(fā)學(xué)生的探究欲望和興趣，進(jìn)而提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

三、教學(xué)過(guò)程

1.問(wèn)題引入：題目呈現(xiàn)見前文內(nèi)容。

2.問(wèn)題解決。

（1）分析：本題從形式上來(lái)看，條件和結(jié)論都是開放的，但它們卻是相關(guān)的，只要條件（或結(jié)論）確定了，結(jié)論（或條件）也會(huì)隨之而確定，從而組成一個(gè)命題，所以，從這個(gè)角度來(lái)看，這個(gè)問(wèn)題的開放度不是很大。

學(xué)生在獨(dú)立思考、組內(nèi)交流之后，一般都能得到組成命題的四種情形：①若m⊥n，a⊥β，n⊥β，則m⊥a;②若m⊥n，a⊥β，m⊥a，則n⊥β;③若m⊥n，m⊥a，n⊥β，則a⊥β;④若n⊥β，a⊥β，m⊥a，則m⊥n。

（2）將學(xué)生得到的四個(gè)命題呈現(xiàn)在黑板上，組織學(xué)生分小組進(jìn)行討論，辨析命題的真?zhèn)?，不難得到①②兩個(gè)命題是假命題，③④是真命題。

3.拓展延伸。

（1）如果把上述問(wèn)題中的垂直都改成平行的話，那么，同樣以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，能得到什么正確的命題？

學(xué)生繼續(xù)探究和解決，充分體會(huì)到數(shù)學(xué)開放題的特性和魅力，通過(guò)類比的思想方法可以得到①②兩個(gè)命題是真命題，而③④是假命題。

（2）如果把上述問(wèn)題中的“部分垂直”改成“平行”，那么結(jié)果又會(huì)如何呢？

（3）如果任選其中的三個(gè)論斷作為條件，還能得到與題中相異的另外一個(gè)論斷，使之成為真命題嗎？

可以讓學(xué)生自己修改命題，并進(jìn)行小組交流和討論，如果時(shí)間不夠，可以放在課后繼續(xù)探究。

根據(jù)高中學(xué)生的年齡特點(diǎn)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，筆者認(rèn)為基于開放題的高中數(shù)學(xué)開放性教學(xué)是有規(guī)律可循的，“創(chuàng)設(shè)情境—導(dǎo)學(xué)探究—合作交流—總結(jié)推廣”的基本流程，充分體現(xiàn)了學(xué)生“提出問(wèn)題—解決問(wèn)題—遷移延伸”的認(rèn)識(shí)過(guò)程，也完全符合“定向—內(nèi)化—發(fā)展”的心理活動(dòng)規(guī)律。

其實(shí)，不僅是開放性數(shù)學(xué)教學(xué)，創(chuàng)新教育、發(fā)散思維的培養(yǎng)、探究教學(xué)等，都可以以開放題作為載體，來(lái)進(jìn)行更為深入的研究。

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