工程教育認(rèn)證中離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革探討

梁銀　董永權(quán)　郭小薈

摘? 要： 離散數(shù)學(xué)是軟件工程專業(yè)的主干課程之一，為了滿足離散數(shù)學(xué)在軟件工程專業(yè)工程教育認(rèn)證中的教學(xué)目標(biāo)，針對離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)中存在的問題，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式、教學(xué)方法、考核方式等方面進(jìn)行了改革。教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，自學(xué)能力以及對知識點(diǎn)的理解和掌握程度都有很大的提高。

關(guān)鍵詞： 離散數(shù)學(xué); 工程教育認(rèn)證; 教學(xué)改革; 教學(xué)模式; 軟件工程

中圖分類號：G642? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號：1006-8228（2019）12-91-04

Exploration on the teaching reform of discrete mathematics in engineering

education accreditation

Liang Yin， Dong Yongquan， Guo Xiaohui

（Department of Computer Science and Technology， Jiangsu Normal University， Xuzhou， Jiangsu 221116， China）

Abstract： Discrete mathematics is one of the main courses of software engineering specialty. In order to meet the teaching objectives of discrete mathematics in engineering education accreditation， the problems existing in the present discrete mathematics teaching are analyzed， and the teaching reform is carried out in four aspects， i.e. the design of teaching content， teaching mode， teaching method and assessment method. Teaching practice shows that students interest and self-learning ability have been greatly improved， and their understanding and grasp of knowledge points have been enhanced.

Key words： discrete mathematics; engineering education accreditation; teaching reform; teaching mode; software engineering

0 引言

在教育部高等學(xué)校教學(xué)指導(dǎo)委員會編寫的《普通高等學(xué)校本科專業(yè)類教學(xué)質(zhì)量國家標(biāo)準(zhǔn)》、以及美國計(jì)算機(jī)協(xié)會ACM和電子電氣工程師學(xué)會計(jì)算機(jī)分會IEEE-CS聯(lián)合制定的計(jì)算教材CC2013中，都將離散數(shù)學(xué)列為計(jì)算機(jī)類專業(yè)的一門核心課程。離散數(shù)學(xué)是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法、數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)原理、人工智能、數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、編譯原理、算法設(shè)計(jì)與分析等計(jì)算機(jī)后續(xù)專業(yè)課程的重要基礎(chǔ)，在計(jì)算機(jī)專業(yè)課程體系中起著重要的理論支撐作用[1]。同時，基于《中國工程教育認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)2015版》規(guī)定的畢業(yè)基本要求，對于軟件工程專業(yè)，離散數(shù)學(xué)是支撐畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)的主干課程之一，在工程教育認(rèn)證中，要達(dá)到以下兩個教學(xué)目標(biāo)。

目標(biāo)1：了解集合、命題和一階邏輯演算系統(tǒng)、關(guān)系、圖、樹，以及代數(shù)系統(tǒng)的基本概念，掌握從基本概念出發(fā)的計(jì)算和應(yīng)用問題的求解方法。

目標(biāo)2：掌握集合相關(guān)問題的證明與求解方法、命題和謂詞邏輯相關(guān)問題的證明與求解、關(guān)系性質(zhì)的判斷及分析證明、某種特殊關(guān)系問題的求解、圖的矩陣表達(dá)的求解、特殊圖的判斷、基于樹的各種應(yīng)用問題的求解、代數(shù)系統(tǒng)相關(guān)問題的求解。能夠針對一個問題進(jìn)行抽象分析，選擇一種關(guān)系或形式邏輯模型進(jìn)行抽象表達(dá);通過嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明的訓(xùn)練，使學(xué)生逐步習(xí)慣基于離散數(shù)學(xué)角度的思維方式，并初步掌握嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明的基本規(guī)范，熟練掌握與上述學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)的應(yīng)用問題的求解及證明方法。

由于離散數(shù)學(xué)課程具有概念多、理論性強(qiáng)、邏輯性強(qiáng)、內(nèi)容抽象程度高等特點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高，教學(xué)效果不盡如人意，不能很好地滿足以上兩個教學(xué)目標(biāo)。

1 存在問題

⑴ 內(nèi)容多，課時少

我們采用的教材是屈婉玲等編著的離散數(shù)學(xué)（第三版）[2]，教學(xué)計(jì)劃54學(xué)時，離散數(shù)學(xué)講授課時安排如表1所示。

為了在較少的課時內(nèi)完成較多的教學(xué)內(nèi)容，通常有兩種做法：一種是刪減掉一些內(nèi)容，但是這樣很難讓學(xué)生形成離散數(shù)學(xué)這門課完整的課程體系;另一種是像蜻蜓點(diǎn)水一樣，所有內(nèi)容都提及一點(diǎn)，但不深入講解，這是不利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力。

⑵ 學(xué)習(xí)目標(biāo)不明確，缺乏學(xué)習(xí)興趣

在以往的教學(xué)中，教師更注重知識點(diǎn)的講授，缺乏從專業(yè)課程的角度講授離散數(shù)學(xué)與后續(xù)專業(yè)課程之間的關(guān)系，致使學(xué)生不能體會到學(xué)習(xí)這門課程的重要性，誤認(rèn)為這只是一門純粹的數(shù)學(xué)課，與計(jì)算機(jī)專業(yè)沒有什么關(guān)系，難以引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

⑶ 作業(yè)完成質(zhì)量不高，存在抄作業(yè)現(xiàn)象

布置課后作業(yè)是為了讓學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固已講授的知識，但有的學(xué)生敷衍了事;有的學(xué)生遇到不會做的題要么不做，要么直接抄其他同學(xué)的答案;甚至有少數(shù)學(xué)生的作業(yè)是完全抄襲別人的。作業(yè)完成的質(zhì)量不高，沒有達(dá)到布置作業(yè)的目的。

⑷ 課程考核難以滿足工程教育認(rèn)證要求

以往期末試卷中考察學(xué)生對基本概念的記憶和理解的題目占試卷總分的70%左右，而考查應(yīng)用分析能力的題目較少，課程考試不能很好地反映工程教育認(rèn)證中課程教學(xué)目標(biāo)的要求。

2 教學(xué)改革

2.1 采用“線上+線下”混合式教學(xué)模式

為了滿足離散數(shù)學(xué)在工程教育認(rèn)證中的兩個教學(xué)目標(biāo)，針對教學(xué)內(nèi)容多與講授課時少的矛盾，采用“設(shè)計(jì)問題-觀看視頻-解決問題-抽查效果”教學(xué)方法，把每一章節(jié)的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行拆分，學(xué)生容易掌握的概念和知識點(diǎn)讓學(xué)生課下觀看視頻自學(xué);上課的主要講解定理的推導(dǎo)證明、知識點(diǎn)之間的關(guān)系、本課程與后續(xù)課程之間的聯(lián)系，著重培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力和計(jì)算思維。各個章節(jié)內(nèi)容分解如表2所示。

課程組的老師已經(jīng)錄制了34個單元的微課視頻，這些視頻包含了學(xué)生自學(xué)的部分，以及重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容。根據(jù)教學(xué)大綱要求，教師提前一周布置自學(xué)任務(wù)，針對自學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)幾個問題，同時把問題、視頻、課件在自主開發(fā)的教學(xué)網(wǎng)站上向?qū)W生發(fā)布;學(xué)生在規(guī)定的期限內(nèi)完成自學(xué)任務(wù)，并提交問題答案。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生如果遇到問題，可以在線與教師互動。每次完成自學(xué)任務(wù)后，教師隨機(jī)抽查幾個學(xué)生，把他們集中在一起進(jìn)行測試，檢查自學(xué)效果，確保每個學(xué)生至少被抽到兩次。實(shí)際教學(xué)表明，采用這種方法不僅很好地應(yīng)對了內(nèi)容多、課時少的問題，而且提高了學(xué)生的自學(xué)能力。

2.2 改革課堂教學(xué)方法

基于離散數(shù)學(xué)在工程教育認(rèn)證中的兩個教學(xué)目標(biāo)，為了培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，在教學(xué)過程中采用多種教學(xué)方法，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和求知欲，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

在教學(xué)中采用案例驅(qū)動與啟發(fā)式相結(jié)合的教學(xué)方法，首先講解案例的背景和需要解決的問題，然后啟發(fā)學(xué)生將問題進(jìn)行抽象，利用離散數(shù)學(xué)理論知識把問題符號化，再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考求解問題的過程[3]。例如，在講解歐拉圖時，以數(shù)學(xué)家管梅谷提出的中國郵政問題作為案例，讓學(xué)生在理解問題描述的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生把街道抽象為邊，把郵局和街道間的交叉路口抽象為頂點(diǎn)，每條邊賦予一個權(quán)值表示街道的長度，這樣得到的帶權(quán)連通圖就是要求解問題的數(shù)學(xué)模型;然后引導(dǎo)學(xué)生分析如何利用歐拉圖的知識求解問題，最終構(gòu)造出解決問題的算法步驟[4]。通過講解應(yīng)用實(shí)例轉(zhuǎn)化成能夠在計(jì)算機(jī)中求解的過程，不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維能力和應(yīng)用能力，而且能讓學(xué)生體會到這門課程的實(shí)用性，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

在教學(xué)過程中，不僅只講授離散數(shù)學(xué)課程的基本內(nèi)容，而且結(jié)合計(jì)算機(jī)專業(yè)的后續(xù)課程，深入講解每一部分內(nèi)容與后續(xù)課程的關(guān)聯(lián)性。例如，在講解命題邏輯時，與數(shù)字電路與邏輯設(shè)計(jì)課程相結(jié)合，以搶答器的設(shè)計(jì)為例，講解真值表和主析取范式在邏輯電路設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。在講解一階邏輯時，以學(xué)生-選課數(shù)據(jù)庫為例，講解量詞在數(shù)據(jù)庫的關(guān)系演算中的應(yīng)用。在講解集合論時，仍以學(xué)生-選課數(shù)據(jù)庫為例，講解集合的交、并、補(bǔ)、差和笛卡爾積等運(yùn)算在關(guān)系數(shù)據(jù)庫查詢中的應(yīng)用。在講解等價關(guān)系時，與軟件工程課程相結(jié)合，以一個簡單的用戶登錄程序的測試為例，講解等價類劃分在軟件測試用例設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。在講解圖論時，與計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)課程相結(jié)合，以網(wǎng)絡(luò)線路的鋪設(shè)為例，講解圖在網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用;同時與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法課程相結(jié)合，以工程造價為例，講解鄰接矩陣在圖的存儲結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用，以及求最小生成樹的克魯斯卡爾算法。在講解代數(shù)系統(tǒng)時，與信息安全課程相結(jié)合，以數(shù)據(jù)加密為例，講解置換群在密鑰交換中的應(yīng)用[5]。通過引入后續(xù)課程中的應(yīng)用實(shí)例，讓學(xué)生體會到離散數(shù)學(xué)課程的重要性，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.3 改革作業(yè)評判方式

為了滿足離散數(shù)學(xué)在工程教育認(rèn)證中的兩個教學(xué)目標(biāo)，給學(xué)生布置的作業(yè)以解答題和證明題為主。為避免學(xué)生抄襲作業(yè)，每次完成作業(yè)后，設(shè)計(jì)幾道難度、類型與作業(yè)接近的題目測試學(xué)生作業(yè)的掌握情況。在課堂上使用清華大學(xué)開發(fā)的雨課堂作為教學(xué)工具，把題目限時發(fā)送給學(xué)生，學(xué)生把答案寫在紙上，然后拍照以圖片的形式提交答案，把最快做完的前5名學(xué)生的名字顯示在大屏上，提出表揚(yáng)，以此激勵學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。為了在有限的時間內(nèi)獨(dú)立完成課堂測試題目，學(xué)生平時做作業(yè)時不僅要能在看書的情況下獨(dú)立完成作業(yè)，而且還要達(dá)到熟練的程度。剛開始時，學(xué)生完成情況不理想，但經(jīng)過幾次訓(xùn)練后，效果逐漸好轉(zhuǎn)。學(xué)生反映不敢再抄作業(yè)，在做作業(yè)過程中，如果遇到不會的題目，會首先看課件、視頻學(xué)習(xí)知識點(diǎn)，再看相應(yīng)的實(shí)例，直到把知識弄懂、弄透，能夠解決作業(yè)中存在的問題。學(xué)生把每次作業(yè)都看作是一次考試前的復(fù)習(xí)，為了課堂測試能取得好成績，都會認(rèn)真對待每一次作業(yè)，不再敷衍了事。

這種做法充分調(diào)動了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，不僅能很好地杜絕學(xué)生抄作業(yè)的現(xiàn)象，而且能夠督促學(xué)生及時復(fù)習(xí)學(xué)過的內(nèi)容，牢固掌握所學(xué)的知識，避免了在前面知識沒有掌握或掌握不好的情況下學(xué)習(xí)新知識，造成學(xué)不會、跟不上，從而產(chǎn)生厭學(xué)的情緒。另外，由于離散數(shù)學(xué)每一部分中的知識是緊密相連的，比如在關(guān)系中，先講解關(guān)系的基本概念，然后講關(guān)系的性質(zhì)，最后講具有某些性質(zhì)的幾種特殊關(guān)系，這些內(nèi)容是一環(huán)扣一環(huán)的，通過作業(yè)練習(xí)，學(xué)生能扎實(shí)的掌握每一環(huán)節(jié)的內(nèi)容，教師在講授新課時不需要再不斷的復(fù)習(xí)舊課，能有更多的時間深入講解新課內(nèi)容，提高了教學(xué)效率。

2.4 改革考核方式

為了達(dá)到離散數(shù)學(xué)在工程教育認(rèn)證中的兩個教學(xué)目標(biāo)，著重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用、分析、和創(chuàng)新能力，在期末試卷中刪除了用于考察學(xué)生對基本概念記憶和理解的選擇題、填空題、判斷題之類的題目，以解答題和證明題為主。

以往的考核成績由兩部分組成：平時成績（包括作業(yè)和課堂表現(xiàn)）占30%，期末考試（閉卷筆試）占70%?，F(xiàn)在加大了平時的考核力度，作業(yè)占50%，自學(xué)測試占10%，期末考試僅占40%。其中每次作業(yè)占5分，包含作業(yè)本上的完成情況和課堂上的作業(yè)測試情況，作業(yè)本上的成績占30%，課堂測試占70%，共十次作業(yè);自學(xué)測試取前兩次最好的成績。

考核方式的改變，促使學(xué)生更注重平時的學(xué)習(xí)，更注重知識的應(yīng)用與創(chuàng)新，不再為了應(yīng)付考試，突擊死記硬背知識點(diǎn)。通過學(xué)習(xí)這門課程，使學(xué)生分析問題、解決問題的能力得到了很大提升。

3 結(jié)束語

為了達(dá)到離散數(shù)學(xué)在工程教育認(rèn)證中的兩個教學(xué)目標(biāo)，在教學(xué)過程中，把教學(xué)內(nèi)容分解，采用混合式教學(xué)模式，把部分易于理解的內(nèi)容留給學(xué)生課后線上自學(xué)，課堂上主要講解定理的推導(dǎo)證明、本課程與后續(xù)課程之間的聯(lián)系，以及如何利用離散數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的分析求解過程，并采用案例驅(qū)動與啟發(fā)式相結(jié)合的教學(xué)方法，激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣。同時，考核方式的改革加大了平時學(xué)習(xí)效果的考核力度，更注重培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力、邏輯思維能力、應(yīng)用知識的能力和創(chuàng)新能力。通過教學(xué)改革，雖然取得了一些成效，但還需要持續(xù)改進(jìn)，圍繞以學(xué)生為中心的核心理念，不斷探索新的教學(xué)模式，進(jìn)一步提高教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)（References）：

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