齊欣　劉繼征

摘 要：數(shù)學(xué)問題中分析是解決問題的前提，問題的解決源自周密細(xì)致的分析，從問題的條件、結(jié)論中提取有用的信息.本文以七年級期末數(shù)學(xué)測試中的一道試題為例，通過“一題多解、一題多變、解后反思、探尋本質(zhì)”等有效手段，教會學(xué)生思考，啟發(fā)數(shù)學(xué)思考，有效克服思維定勢，推進(jìn)培養(yǎng)創(chuàng)新意識落到實處.

關(guān)鍵詞：一題多解;學(xué)會思考;數(shù)形結(jié)合

1 試題呈現(xiàn)

題目 如圖1，已知AC//ED，ED//GF，∠BDF=90°.

（1）若∠ABD=150°，求∠GFD的度數(shù);

（2）若∠ABD=θ度，求∠GFD-∠CBD的度數(shù).

試題考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能，注重數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累和數(shù)學(xué)思想方法的滲透.對于第（1）問，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABD+∠BDE=180°，同理∠F+∠EDF=180°.根據(jù)∠ABD=150°，進(jìn)而可得∠BDE=30°，然后由∠BDF=90°計算出∠EDF的度數(shù)，進(jìn)而可得∠GFD的度數(shù);對于第（2）問，大部分學(xué)生都能類比第（1）問的思路，用θ分別表示∠F，∠CBD，毫無疑問也抑制了一部分同學(xué)的思維.為使每個學(xué)生都受到良好的數(shù)學(xué)教育，激活數(shù)學(xué)思維，教會學(xué)生思考，還應(yīng)揭示知識的數(shù)學(xué)實質(zhì)及體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而對第（2）問的解法做進(jìn)一步的分析.

2 解法展示

2.1 以數(shù)解形，各個擊破

思路1 利用第（1）問，可得∠BDE=180-θ（度），∠EDF=90-（180-θ）=θ-90（度），從而∠F=180-（θ-90）=270-θ（度），而∠CBD=180-θ（度），所以∠F-∠CBD=（270-θ）-（180-θ）=90（度）.類比第（1）問，充分發(fā)揮第（1）問的“腳手架”作用.

2.2 另起爐灶，活學(xué)活用

思路2 ∠F，∠CBD分別是∠EDF的補角、余角，聯(lián)想到一個角的補角比它的余角大90°，利用這一結(jié)論問題可解.

2.3 以形助數(shù)，多思少算

思路3 如圖2，延長FD交AC于點H，則由∠BDF=90°，得∠BDH=180°-∠BDF=90°.由AB//DE，DE//FG，得AB//FG.所以∠F=∠CHD.而∠CHD是△BDH的外角，于是將∠F與∠CBD的差轉(zhuǎn)化為∠CHD-∠CBD.利用三角形外角的性質(zhì)，問題可整體求解，以形助數(shù)，避開了繁雜的運算.

2.4 轉(zhuǎn)換視角，以退為進(jìn)

我們知道，數(shù)學(xué)要注重知識的生長點與延伸點，數(shù)學(xué)解題要善于退，學(xué)會以退為進(jìn)，學(xué)會轉(zhuǎn)換視角分析，引導(dǎo)學(xué)生從不同層次理解.從不同角度欣賞、完善，形成解決一類問題的通性通法.仔細(xì)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)∠GFD-∠CBD=（∠GFD+∠ABD）-（∠CBD+∠ABD）= ∠GFD+∠ABD-180°，因此可以將問題轉(zhuǎn)化為求∠GFD+∠ABD來解決.

思路4∠GFD+∠ABD=（∠GFD+∠EDF）+（∠BDE+∠ABD）-90°=180°+180°-90°=270°.

思路5 如圖3，連接BF，∠GFD+∠ABD=（∠ABF+∠BFG）+（∠DBF+∠BFD）=180°+90°=270°.

2.5 排除干擾，彰顯直觀

借助幾何直觀可以把復(fù)雜的幾何問題變得簡明、形象，有助于解決問題的思路探索.

思路6 如圖4，延長BD交射線FG的反向延長線于點M，過點F作FN//MB.

評注 幾何直觀可以幫助我們更好地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中要充分發(fā)揮課本中習(xí)題引領(lǐng)導(dǎo)向的作用、舉一反三的作用、聯(lián)系拓廣作用和層次練習(xí)的作用.

3 變式跟進(jìn)

變式1 如圖5，已知AB//CE，CE//DF，∠BCD=90°，求∠D-∠B的度數(shù).

變式2 如圖6，已知AB//CD，BE⊥DE，探究∠B，∠E，∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

評注 歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法.

4 后續(xù)思考

通過一題多解體會解法的多樣性，無疑是提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要機制.好的數(shù)學(xué)教學(xué)就是要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的方法欣賞世界，用數(shù)學(xué)的思維理解世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.這道試題改編自課本習(xí)題，在解題思路和方法上具有典型性和代表性，在由知識轉(zhuǎn)化為能力上具有示范性和啟發(fā)性，要提高學(xué)生重視課本和鉆研課本的自覺性、主動性和積極性，也要教會學(xué)生思考，數(shù)學(xué)教育要以培養(yǎng)思考能力為核心，加強學(xué)生思維能力的培養(yǎng).

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有通過細(xì)致地分析讓學(xué)生形成運用多種方式進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的習(xí)慣與意識;要有強烈的教會學(xué)生運用數(shù)學(xué)進(jìn)行思考的教學(xué)愿望[1].總之，在義務(wù)教育階段，要通過數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與解題實踐，讓學(xué)生打下良好的基礎(chǔ)，使發(fā)展創(chuàng)新思維能力貫徹始終.

參考文獻(xiàn)：

[1]齊欣.數(shù)學(xué)教學(xué)要強化培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識[J].中國教育學(xué)刊，2018（06）：106.

（收稿日期：2019-06-25）