黃橋森

摘要：方程作為學生首次接觸代數(shù)思維的重要概念，歷來是小學數(shù)學教與學的難點。由于學生在數(shù)學學習過程中的認知障礙與歷史上數(shù)學家所遇到的困難具有歷史相似性，研究首先梳理方程的發(fā)展歷史，在此基礎上設計基于數(shù)學史的“認識方程”教學，以期幫助學生理解學習方程的必要性。

關鍵詞：方程 數(shù)學史 教學

方程作為學生首次接觸代數(shù)思維的重要概念，歷來是小學數(shù)學教與學的難點。[[]]在實際教學中，由于算術思維定勢，學生往往難以理解方程的抽象性和必要性，產(chǎn)生了“明明可以算術解題，為何還要引入方程解題？”等疑惑，未能形成主動學習方程概念的心理缺口。研究表明，學生在數(shù)學學習過程中的認知障礙與歷史上數(shù)學家所遇到的困難具有歷史相似性。[[]]因此，本文將簡單梳理方程的歷史，在此基礎上分析教材的編排體系，最終設計基于數(shù)學史的“認識方程”教學。

一、“方程”的相關歷史

1.用文字表示方程與解法

方程最早誕生于古巴比倫時期， 是利用文字來表示一個代數(shù)問題及解法。

遺憾的是，文字描述的方式不具備現(xiàn)代方程的簡潔性，只是單純用作記錄某種特定題目的簡便方法，便于后人流傳。

2.用縮寫表示未知數(shù)

公元3世紀前后，古希臘數(shù)學家丟番圖首次利用字母音節(jié)“ζ”表示未知數(shù)?！凹僭O兩數(shù)的和是100，差是40，較小數(shù)為ζ，則較大數(shù)是40+ζ，可得出2ζ+40=100，求得較小數(shù)ζ=30，較大數(shù)是70?！?/p>

這種縮寫表示，極大地方便了書寫，但這僅是指定詞組字母代替題目中的特定未知數(shù)。如果未知數(shù)的量不同或讀法不同，則列出的方程也不同，解法也相距甚遠。

顯然，縮寫表示，并沒有給解方程帶來更大的便捷性，有待進一步的簡化。

3.用字母表示“任意數(shù)”

16世紀初，法國數(shù)學家韋達認識到一般二次方程（我們今日的表示方法）所處理的是整個一類的表達式。他將表示為

從這開始，字母表示為任意數(shù)的符號。[[]]這既解決了縮寫表示的局限性，給予二元一次方程更加簡捷的解答，又為現(xiàn)代方程的小寫字母表示方式打下基礎。

概述方程的發(fā)展史，就是人們圍繞便捷解題的核心要義，不斷將方程符號化、程序化、簡潔化的一個過程。

二、教材中的“方程”教學

以北師大版《認識方程》第三課時“方程”為例，教材以天平平衡關系為切入口，引導學生用字母表示等量關系，從而給出了方程的特征概念，強調的是學生思維的循序漸進。然而教無定法，從基于數(shù)學史的角度分析，教師能從以下兩點對教材進行解讀。

首先，這樣的教學編排與歷史事實不符。其次，教材內容未能較好體現(xiàn)學習方程的必要性。方程的價值是便捷解題，但第二學段的解決問題，大部分易于使用算術方法，只有少部分問題要求使用方程解題，可能會造成了學生對學習方程的不理解和不重視。

那該如何進行“方程”教學，突出方程的優(yōu)越性和必要性呢？基于數(shù)學史的“方程”教學未嘗不是一個好的設想，值得我們探究。

三、基于數(shù)學史的“方程”教學

數(shù)學教學應“淡化形式，注重實質”。[[]]方程，歸根結底是人們解決問題的一種高效方法。因此，在實際教學中，我們可以以解決代數(shù)難題為核心，引導學生初步認識方程的定義與概念，感受方程的便捷性和優(yōu)越性。

1.復習舊知

以練代講，完成“用字母表示數(shù)和等量關系”復習題，為學生知識遷移做好鋪墊的同時，滲透符號化思想。

2.初識方程

（1）探究丟番圖問題，嘗試語言表述方程與解法

問題1：已知兩數(shù)的和是100，差是40，求這兩個數(shù)是多少？

設計意圖：采用“復制式”的教學方式，設置具有挑戰(zhàn)性的算術難題，激發(fā)學生的探究欲望，體現(xiàn)引入方程的意義。

啟發(fā)性提問：假設這兩個未知數(shù)，一個叫較大數(shù)，另一個叫較小數(shù)，那題目中的等量關系如何表述？

設計意圖：引導學生利用文字表示未知數(shù)，再譯成“文字方程”，可降低學生的認知負荷，發(fā)展簡單的代數(shù)思維。

（2）初步嘗試，用符號表示等量關系

問題2：除了文字表述，我們還可以用什么表示未知數(shù)？試一試，用你喜歡的方式表示兩個未知數(shù)，然后表述題目的等量關系。

設計意圖：鼓勵學生對數(shù)學問題進行大膽假設，經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)的過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。

問題3：你能不能用學過的“字母表示數(shù)”方法呢？請用你喜歡的字母表示其中一個未知數(shù)，另一個未知數(shù)如何表示？

設計意圖：進一步分解問題的難度，引導學生使用丟番圖的方法，體驗方程的便捷性與簡潔性，數(shù)學化簡為易的樂趣。

（3）設一個未知數(shù)，表示等量關系

問題4：現(xiàn)在，你能用這個你喜歡的未知數(shù)列出一個關于此問題的等式嗎？

設計意圖：大膽鼓勵學生進行自主探索、解決問題，培養(yǎng)學生靈活運用知識解決問題的能力，再次感受方程表示問題的簡潔性及優(yōu)越性。

師生共同歸納得出：如果可以求解這個含有未知數(shù)的等式，就能更高效地求解此類問題。此時給出方程的定義：“像這種含有未知數(shù)的等式，可以更高效地求解一些數(shù)學問題，我們稱之為方程?！边@樣，既可引起學生學習后續(xù)解方程的興趣，又能解決學生對方程作用的疑惑。

四、小結

現(xiàn)行小學教材中，方程教學多以簡單的等量關系為切入口，定義方程為“含有未知數(shù)的等式”，這種處理方式能幫助學生較好的降低認知負荷，是一種科學高效的編制方式。稍顯遺憾的是，如此無法讓學生更好的體會到方程的必要性和優(yōu)越性。而基于數(shù)學史的“方程（認識方程）”教學，則是從方程產(chǎn)生的背景出發(fā)，以解決歷史難題為導向，逐步引導學生對方程認知符號化、程序化。既可幫助學生充分體驗方程的意義，又可明晰方程解題的優(yōu)越性，夯實最基本的代數(shù)學基礎。綜上所述，基于數(shù)學史的“方程”教學模式不失為一種不同的教學嘗試。