劉丹 李澤華 方明亮

【摘要】一元函數(shù)的不定積分是高等數(shù)學(xué)積分理論中的重要基礎(chǔ)，其中第一類換元積分法常常因?yàn)槠潇`活性、復(fù)雜性成為教學(xué)的難點(diǎn).本文提出在第一類換元積分法——“湊微法”的教學(xué)過(guò)程中使用變量代換的技巧開(kāi)展教學(xué)，可以幫助學(xué)生更好地理解“湊微”的實(shí)質(zhì).同時(shí)，變量代換也是一種簡(jiǎn)潔、有效的積分方法.

【關(guān)鍵詞】不定積分;第一類換元積分法

【基金項(xiàng)目】2017年廣東省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目“高水平大學(xué)建設(shè)目標(biāo)下本科專業(yè)人才培養(yǎng)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)研究”（粵高教函[2018]1號(hào)），華南農(nóng)業(yè)大學(xué)教改項(xiàng)目（JG17018）.

在高等數(shù)學(xué)課程中，一元函數(shù)的不定積分是積分學(xué)理論的一個(gè)重要組成部分.它是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元函數(shù)的定積分、多元函數(shù)的重積分和線（面）積分乃至微分方程理論的重要基礎(chǔ)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、提高計(jì)算能力有著重要的作用.不定積分知識(shí)理論比較簡(jiǎn)單：一元函數(shù)的不定積分是一元函數(shù)微分的逆運(yùn)算，本質(zhì)上求得一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，使其導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù).因而，可以利用基本求導(dǎo)公式，推導(dǎo)出基本積分公式表.當(dāng)然，僅有基本積分公式表是難以計(jì)算出大部分不定積分的.雖然求積運(yùn)算是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算，但是求積是遠(yuǎn)遠(yuǎn)難于求導(dǎo)的，甚至存在不可積的函數(shù).這就需要輔助計(jì)算的技巧、方法，即不定積分的計(jì)算方法.總體而言，不定積分的計(jì)算方法總體上可以分為兩大類：換元積分法和分部積分法.其中，分部積分法主要用來(lái)處理兩種不同類型函數(shù)乘積的不定積分，方法簡(jiǎn)單，而且目前已經(jīng)總結(jié)出一套較適用的分部積分的“口訣”（反對(duì)冪三指），學(xué)生容易理解且掌握程度較好.相比較而言，換元積分法，主要用來(lái)處理復(fù)合函數(shù)的不定積分，其靈活性高，而且計(jì)算難度比較大，是學(xué)生理解和掌握的難點(diǎn).換元積分法中的第一類換元積分法，又稱為“湊微法”，由于沒(méi)有固定的“湊微”模式，學(xué)生在學(xué)習(xí)和實(shí)際操作過(guò)程中往往需要耐心觀察和多次嘗試才能成功“湊微”，因此，成為學(xué)生在學(xué)習(xí)不定積分時(shí)最難以掌握的積分方法.本文對(duì)第一類換元積分法的教學(xué)方法進(jìn)行了研究，提出了由“變量代換”過(guò)渡到“湊微”的教學(xué)策略.

我們首先以同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》中的例題為例，來(lái)看看傳統(tǒng)的教學(xué)方法：

例1?求∫13+2xdx.

分析?被積函數(shù)13+2x=1u，u=3+2x.這里缺少dudx=2這樣一個(gè)因子，但由于dudx是個(gè)常數(shù)，故可改變系數(shù)湊出這個(gè)因子：

13+2x=12·13+2x·2=12·13+2x（3+2x）′，

從而令u=3+2x，便有

du=d（3+2x）=2dx，于是

∫13+2xdx=∫12·13+2x·（3+2x）′dx=12∫1udu=12ln|u|+C=12ln|3+2x|+C.

這種教學(xué)方法不僅對(duì)“換元”的過(guò)程解釋得煩瑣、復(fù)雜，往往讓學(xué)生摸不著“頭腦”，因而，在開(kāi)始學(xué)習(xí)階段，許多學(xué)生并不能很好地掌握這種方法.

通過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，我們認(rèn)為完全可以在開(kāi)始實(shí)施教學(xué)的階段，直接教授學(xué)生使用變量代換的方法來(lái)積分;而在學(xué)生掌握“變量代換”的方法之后，可以采用“湊微”與變量代換相結(jié)合的教學(xué)方法，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)到“完全湊微法”的過(guò)渡;在學(xué)生完全熟練掌握之后，可以省略變量代換的過(guò)程，直接“湊微”.

我們?nèi)砸陨鲜隼?來(lái)說(shuō)明.

事實(shí)上，在給出例1的正確解答前，我們可以讓學(xué)生先看下面的錯(cuò)解：

∫13+2xdx=ln|3+2x|+C.

上述解法顯然是錯(cuò)誤的，因?yàn)榉e出來(lái)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并不等于被積函數(shù).產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的原因在于：被積函數(shù)13+2x是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，外層函數(shù)為1u，內(nèi)層函數(shù)為u=3+2x，而積分變量為x，這與基本積分公式∫1udu=ln|u|+C中要求積分變量和被積函數(shù)的變量保持一致的積分規(guī)則不符.如何解決上述復(fù)合函數(shù)內(nèi)部整體變量和積分變量不一致的問(wèn)題呢？可以采取整體變量代換的技巧：

解?令u=3+2x，對(duì)等式u=3+2x兩邊同時(shí)求微分，得到du=2dx，因而，dx=12du，此時(shí)

∫13+2xdx=∫1u·12du=12ln|u|+C=12ln|3+2x|+C.

注意，關(guān)于變量u積出原函數(shù)之后，還需要將變量u用3+2x換回，以確保原函數(shù)是關(guān)于變量x的函數(shù).

我們?cè)儆米兞看鷵Q的方法來(lái)看下面例題的解答.

例2?求∫2xex2dx.

分析?注意到被積函數(shù)中有復(fù)合函數(shù)ex2，其內(nèi)層函數(shù)是x2，因而，可以嘗試設(shè)u=x2，因而，du=2xdx，或者dx=12xdu，此時(shí)原被積表達(dá)式可化為∫eudu，這是一個(gè)基本積分公式，求出原函數(shù)之后，再將u用x2代換即可求出該不定積分.

解?令u=x2，則du=2xdx，

所以∫2xex2dx=∫eudu=eu+C=ex2+C.

例3?求∫cosxxdx.

解?令u=x，則du=12xdx，故

∫cosxxdx=2∫cosudu=2sinu+C=2sinx+C.

通過(guò)對(duì)上述三個(gè)例題的分析及解答過(guò)程，我們可以發(fā)現(xiàn)，相對(duì)于傳統(tǒng)教材的分析和教學(xué)方法，直接使用變量代換的教學(xué)方法更加簡(jiǎn)潔、明了，也能讓學(xué)生更容易理解和掌握.

在學(xué)生完全領(lǐng)會(huì)和掌握使用變量代換的技巧求不定積分之后，我們可以考慮將“湊微”的思想融入其中，我們以例1和例2為例來(lái)說(shuō)明這個(gè)過(guò)程.

例4?求∫13+2xdx.

分析?注意到被積表達(dá)式13+2x是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，其內(nèi)層函數(shù)是3+2x，因而，考慮將積分變量從x變?yōu)?+2x，由于d（3+2x）=2dx，故dx=12d（3+2x），即∫13+2xdx=∫13+2x·12d（3+2x）.再設(shè)u=3+2x，可以更清楚地看到，原不定積分可化為∫1u·12du=12ln|u|+C=12ln|3+2x|+C.

例5?求∫2xex2dx.

分析?因?yàn)楸环e函數(shù)中含有復(fù)合函數(shù)ex2，其內(nèi)層函數(shù)為x2，且dx2=2xdx，于是∫2xex2dx=∫ex2dx2，令u=x2，則原式=∫eudu=eu+C=ex2+C.

上面兩個(gè)例題的分析與解答過(guò)程可以總結(jié)為：首先找出被積函數(shù)中的復(fù)合函數(shù)，再湊出被積函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)的微分，然后做變量代換，化為基本初等積分公式，從而求出不定積分.因而，第一類換元積分法的本質(zhì)就是在微分上“湊出”復(fù)合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)，并最終轉(zhuǎn)化為已知積分公式的函數(shù)（尤其是基本初等函數(shù)）的不定積分.

在學(xué)生比較熟練地掌握了“湊微”的技巧，特別是能記住一些常見(jiàn)的“湊微”公式之后，我們可以省略上述變量代換的步驟，直接“湊微”，直接求外層函數(shù)的不定積分即可.

最后，要強(qiáng)調(diào)的是，要想熟練掌握和運(yùn)用該技巧，需要學(xué)生首先牢固記住常見(jiàn)的“湊微”公式.其次，我們認(rèn)為在引導(dǎo)學(xué)生“湊微”時(shí)，先觀察、尋找被積函數(shù)g（x）中的復(fù)合函數(shù)f（φ（x）），然后利用其他部分函數(shù)和dx湊出微分d（φ（x）），再根據(jù)前后恒等的關(guān)系，乘微分可能產(chǎn)生的系數(shù)的倒數(shù).在教學(xué)過(guò)程中，利用動(dòng)畫或者板書的形式來(lái)展現(xiàn)這一過(guò)程，均能取得比較好的教學(xué)效果.

事實(shí)上，變量代換的技巧，不僅僅是幫助學(xué)生理解“湊微法”的橋梁，也是一種較為方便的積分方法.對(duì)層數(shù)較多的復(fù)合函數(shù)，如果直接使用“湊微”法，往往需要逐層“湊微”，過(guò)程復(fù)雜，計(jì)算難度大.但若直接采用變量代換的方法，卻能起到“直達(dá)”目的的效果.

當(dāng)被積函數(shù)是由兩層以上的函數(shù)復(fù)合而成時(shí)，如果采用湊微法，往往需要多次連續(xù)湊微，對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)具有相當(dāng)大的難度.然而，采用變量代換法，直接將內(nèi)層函數(shù)（不管有幾層）設(shè)為變量u，往往能直達(dá)目的，直接將形式煩瑣的被積表達(dá)式簡(jiǎn)化為基本積分公式.

但是，我們也應(yīng)該明確，變量代換法只是求不定積分的眾多方法中的一種，并不能用來(lái)解決所有的不定積分.如∫x31+x2dx，這個(gè)題目就不能直接用變量代換的方法求解，而是需要先對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行一定的變形，再“湊微”或者變量代換.總之，不定積分的計(jì)算方法靈活、技巧性高，在引導(dǎo)學(xué)生掌握了基本的方法和技巧后，要想達(dá)到熟練的程度，還需要一定量的課后練習(xí).

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]范云曄.一元函數(shù)不定積分湊微分法求解技巧的幾點(diǎn)思考[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（17）：114，116.

[4]熊歐.不定積分湊微分法的教學(xué)新探[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（21）：12，14.

[5]李小斌，朱佑彬.不定積分的一個(gè)注記[J].高等數(shù)學(xué)研究，2018（6）：15-17.