◇ 山東 甘德學(xué)

函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性是高考的常考知識(shí)點(diǎn).相關(guān)題型復(fù)雜多變,對學(xué)生的理解以及推理能力具有一定要求.要想正確解答,學(xué)生需深入理解性質(zhì)的本質(zhì),掌握相關(guān)的推理技巧,做到活學(xué)活用.

1 借助函數(shù)性質(zhì)比較大小

部分習(xí)題以抽象函數(shù)為背景,要求學(xué)生比較不同定義域中函數(shù)值的大小.解答該類習(xí)題需要運(yùn)用函數(shù)的奇偶性,將不同的定義域轉(zhuǎn)化至同一定義域中,而后利用函數(shù)的單調(diào)性直接比較自變量的大小即可.教學(xué)中可為學(xué)生講解相關(guān)例題,使學(xué)生親身感受函數(shù)性質(zhì)在比較大小時(shí)的具體應(yīng)用,為更好地解答類似問題帶來良好指引.

例1已知定義在R上的偶函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)且在區(qū)間[－2,0]上為增函數(shù),則下列不等式正確的是( ).

A.a＞b＞cB.b＞c＞a

C.b＞a＞cD.c＞a＞b

解析

因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)為定義在R上的偶函數(shù)且在[－2,0]上為增函數(shù),因此,其在[0,2]上遞減.又f(x＋2)＝－f(x),則－f(x＋2)＝f(x),令x＝x＋2代入得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x),則其周期為4.又因?yàn)?因此a,b,c的大小關(guān)系為b＞c＞a,故選B.

2 借助函數(shù)性質(zhì)求和

一些函數(shù)題目要求學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識(shí)求解多個(gè)函數(shù)值之和,解題時(shí)分別求出各個(gè)函數(shù)值進(jìn)行相加通常是不現(xiàn)實(shí)的.該類習(xí)題通常需要找到函數(shù)的周期,通過計(jì)算一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值之和,再尋找多個(gè)函數(shù)值與周期之間的關(guān)系,使問題迎刃而解.教學(xué)中為提高學(xué)生解答該類問題的正確率,應(yīng)優(yōu)選經(jīng)典例題,并為學(xué)生細(xì)致地講解解題過程,使其能夠巧妙運(yùn)用函數(shù)的周期性、對稱性等對問題進(jìn)行巧妙轉(zhuǎn)化.

例2定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)f(0)＝－2,則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 008)的值為( ).

A.669 B.670 C.2 008 D.1

解析

3 借助函數(shù)性質(zhì)估算

函數(shù)估算問題一般較為新穎,很多學(xué)生不知所措.事實(shí)上,該類習(xí)題考查的仍是學(xué)生學(xué)過的知識(shí),解題的關(guān)鍵在于構(gòu)建已知條件與要估算結(jié)果的聯(lián)系.授課中教師應(yīng)注重為學(xué)生講解代表性較強(qiáng)的問題,啟發(fā)學(xué)生對題干進(jìn)行巧妙變形,以便更好地使用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性順利解答.

例3已知函數(shù)f(x)＝x3＋x＋10,實(shí)數(shù)x1,x2,x3滿足x1＋x2＜0,x2＋x3＜0,x3＋x1＜0,則f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( ).

A.一定大于30 B.一定小于30

C.等于30 D.大于、小于30均有可能

解析

該題目較為抽象,看似無從下手,實(shí)際上考查的是函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性.由條件可知f(x)－10＝x3＋x為單調(diào)遞增的奇函數(shù).

由x1＋x2＜0可知x1＜－x2,即f(x1)－10＜f(－x2)－10＝－f(x2)＋10,則f(x1)＋f(x2)＜20.同理可得f(x2)＋f(x3)＜20,f(x1)＋f(x3)＜20,則2[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)]＜60,即f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜30,故選B.

函數(shù)性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí),不同的性質(zhì)表現(xiàn)形式多種多樣,需要學(xué)生理解其本質(zhì),根據(jù)題目條件能夠進(jìn)行正確推理,搞清楚函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性等,實(shí)現(xiàn)順利解題.